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The Beauty of Diagrams

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Divulgação

Webcast

  • CvTv – A Matemática das Coisas
    29 de Julho de 2011 | 23:18

    Nesta página poderá consultar os vídeos que estão disponíveis na CvTv – A Matemática das Coisas.

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    CvTv - A Matemática das Coisas

    A Matemática dos Seguros

    No âmbito do ciclo de colóquios A Matemática das Coisas, realizou-se no dia 22 de Maio, no Pavilhão do Conhecimento-Ciência Viva, uma palestra sobre a Matemática dos Seguros com a participação de Teresa Caravina – MACIF Portugal Author: Ciencia Viva TV - CvTv Posted: May 25, 2010, 12:00 am

    A Matemática dos Telemóveis - Luis Correia

    Como se distinguem os utilizadores de telemóveis entre si durante um telefonema?…

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  • Escolhas de Carlos Fiolhais
    27 de Abril de 2011 | 1:43

    Escolhas de livros dobre ciência feitas por Carlos Fiolhais com o objectivo de disseminação do interesse e gosto pela ciência.

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  • Eureka – Boas Ideias em Ciência
    27 de Abril de 2011 | 0:34

    Eureka: o canal da UCV sobre a ciência feita na Universidade de Coimbra.

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  • Matemáticos na Universidade de Coimbra
    26 de Abril de 2011 | 1:29

    A Universidade de Coimbra formou e teve como docentes um número significativo de Matemáticos que ficaram na história pelo contributo que deram para o desenvolvimento desta área do saber. A presente colecção olhará para a vida de alguns destes nomes, e para o modo como projectaram o nome da Universidade e da investigação nacional além fronteiras.

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Isto é Matemática

Isto é Matemática

Para acabar de vez com o mito
IEMs

O “Isto é Matemática” pretende de uma forma simples e realista apresentar a forma como a Matemática nos rodeia em grande parte da nossa vida.

Promovido pela Sociedade Portuguesa de Matemática, apresentado por Rogério Martins, Matemático e Professor Universitário, Direção Criativa de Tiago DaCunha Caetano e com Produção e Realização de Sigma 3, o programa “Isto é Matemática” é emitido pelo canal cabo SIC Notícias.…

11.º Ano

Prove que a sucessão de termo geral ${u_n} = 1 - {\left( { - 1} \right)^n}$ não é um infinitamente pequeno

Sucessões reais: Aleph 11 - Volume 3 Pág. 74 Ex. 8

Enunciado

Prove qua a sucessão de termo geral ${u_n} = 1 – {\left( { – 1} \right)^n}$ não é um infinitamente pequeno.

Resolução >> Resolução

\[{u_n} = 1 - {\left( { - 1} \right)^n}\]

A sucessão $\left( {{u_n}} \right)$ é um infinitamente pequeno se e só se $\forall \delta  \in {\mathbb{R}^ + },\,\,\exists p \in \mathbb{N}:\,\,n > p \Rightarrow \left| {{u_n}} \right| < \delta $.…

11.º Ano

Prove que a sucessão é um infinitamente pequeno

Sucessões reais: Aleph 11 - Volume 3 Pág. 74 Ex. 7

Enunciado

Prove que a sucessão de termo geral ${v_n} = \frac{5}{{n + 3}}$ é um infinitamente pequeno.

Resolução >> Resolução

\[{v_n} = \frac{5}{{n + 3}}\]

Seja $\delta  \in {\mathbb{R}^ + }$.

\[\begin{array}{*{20}{l}}
  {\left| {{v_n}} \right| < \delta }& \Leftrightarrow &{\left| {\frac{5}{{n + 3}}} \right| < \delta } \\
  {}& \Leftrightarrow &{\frac{5}{{n + 3}} < \delta } \\
  {}& \Leftrightarrow &{n\delta  + 3\delta  > 5} \\
  {}& \Leftrightarrow &{n > \frac{{5 - 3\delta }}{\delta }}
\end{array}\]

Conclui-se que $\forall \delta  \in {\mathbb{R}^ + },\,\,\exists p \in \mathbb{N}:\,\,n > p \Rightarrow \left| {{v_n}} \right| < \delta $.…

11.º Ano

De uma sucessão sabe-se que ${u_{2011}} = {10^{2011}} + 1$

Sucessões reais: Aleph 11 - Volume 3 Pág. 71 Ex. 5

Enunciado

Seja $\left( {{u_n}} \right)$ uma sucessão tal que: ${u_{2011}} = {10^{2011}} + 1$.

  1. A sucessão  é um infinitamente grande positivo?
     
  2. Será $\left( {{u_n}} \right)$ um infinitamente grande negativo?
     
  3. Será que $\left( {{u_n}} \right)$ não é um infinitamente grande?

Resolução >> Resolução

\[{u_{2011}} = {10^{2011}} + 1\]

  1. A sucessão  é um infinitamente grande positivo?
11.º Ano

Averigue se a sucessão é um infinitamente grande

Sucessões reais: Aleph 11 - Volume 3 Pág. 70 Ex. 3

Enunciado

Considere a seguinte afirmação:

“A sucessão de termo geral ${c_n} = {\left( { – 1} \right)^n}{n^3}$ é um infinitamente grande.”

Averigue se esta afirmação é verdadeira ou falsa.

Resolução >> Resolução

\[{c_n} = {\left( { - 1} \right)^n}{n^3}\]

A sucessão $\left( {{c_n}} \right)$ é um infinitamente grande se e só se $\left( {\left| {{c_n}} \right|} \right)$ for um infinitamente grande positivo.…

11.º Ano

Prove que a sucessão é um infinitamente grande negativo

Sucessões reais: Aleph 11 - Volume 3 Pág. 70 Ex. 2

Enunciado

Seja $\left( {{b_n}} \right)$ uma sucessão tal que ${b_n} = \frac{{3 – 4n}}{2}$.

  1. Prove que a sucessão é um infinitamente grande negativo, usando a definição e sem usar a definição.
     
  2. Determine a menor ordem a partir da qual os termos da sucessão são inferiores a $ – 500$.
11.º Ano

Prove que a sucessão é um infinitamente grande positivo

Sucessões reais: Aleph 11 - Volume 3 Pág. 70 Ex. 1

Enunciado

Considere a sucessão de termo geral ${a_n} = {n^2} + 1$.

Prove que a sucessão é um infinitamente grande positivo:

  1. usando a definição;
     
  2. sem usar a definição.

Resolução >> Resolução

\[{a_n} = {n^2} + 1\]

  1. Seja $M \in {\mathbb{R}^ + }$.
    \[\begin{array}{*{20}{l}}
      {{a_n} > M}& \Leftrightarrow &{{n^2} + 1 > M} \\
      {}& \Leftrightarrow &{{n^2} > M - 1} \\
      {}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{l}}
      {\left( {\begin{array}{*{20}{l}}
      {n \in \mathbb{N}}& \wedge &{M \in \left] {0,1} \right[}
    \end{array}} \right)}& \vee &{\left( {\begin{array}{*{20}{l}}
      {n > \sqrt {M - 1} }& \wedge &{M \in \left[ {1, + \infty } \right[}
    \end{array}} \right)}
    \end{array}}
    \end{array}\]
    Pelo exposto, conclui-se que $\forall M \in {\mathbb{R}^ + },\,\,\exists p \in \mathbb{N}:\,\,n > p \Rightarrow {a_n} > M$.
11.º Ano

A sucessão é monótona? E limitada?

Sucessões reais: Aleph 11 - Volume 3 Pág. 60 Ex. 11

Enunciado

A sucessão de termo geral ${u_n} = n – {\left( { – 1} \right)^n}$ é limitada? E monótona?

Resolução >> Resolução

Ora, ${u_n} = n – {\left( { – 1} \right)^n} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
  {n + 1}& \Leftarrow &{n\,\,{\text{ímpar}}} \\
  {n – 1}& \Leftarrow &{n\,\,{\text{par}}}
\end{array}} \right.$

 

Como ${u_1} = 2$, ${u_2} = 1$ e ${u_3} = 4$, então a sucessão não é monótona, pois ${u_1} > {u_2} < {u_3}$.…

11.º Ano

Estude a monotonia da sucessão definida por recorrência

Sucessões reais: Aleph 11 - Volume 3 Pág. 59 Ex. 6

Enunciado

Estude a monotonia da sucessão definida por recorrência:

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
  {{r_1} = 1} \\
  {{r_n} = \frac{{{r_{n - 1}}}}{2},n \geqslant 2}
\end{array}} \right.\]

Resolução >> Resolução

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
  {{r_1} = 1} \\
  {{r_n} = \frac{{{r_{n - 1}}}}{2},n \geqslant 2}
\end{array}} \right.\]

A sucessão pode, também, ser definida por:

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
  {{r_1} = 1} \\
  {{r_{n + 1}} = \frac{{{r_n}}}{2},\forall n \in \mathbb{N}}
\end{array}} \right.\]

 

Antes de mais, convém reparar que todo o termo da sucessão é um número positivo, pois o primeiro termo é $1$ e, a partir deste, o termo consecutivo é metade do anterior (o que permite concluir que a sucessão é estritamente decrescente).…

11.º Ano

Mostre que é limitada a sucessão de termo geral ${u_n} = {\left( { - \frac{1}{5}} \right)^n}\frac{{4n{{\left( { - 1} \right)}^n} - 8}}{{5n + 3}}$

Sucessões reais: Aleph 11 - Volume 3 Pág. 57 Ex. 11
Primeiros termos da sucessão

Enunciado

Mostre que é limitada a sucessão de termo geral ${u_n} = {\left( { – \frac{1}{5}} \right)^n}\frac{{4n{{\left( { – 1} \right)}^n} – 8}}{{5n + 3}}$.

Resolução >> Resolução

\[{u_n} = {\left( { - \frac{1}{5}} \right)^n}\frac{{4n{{\left( { - 1} \right)}^n} - 8}}{{5n + 3}}\]

 

Consideremos duas sucessões, \(\left( {{a_n}} \right)\) e \(\left( {{b_n}} \right)\), tais que os termos de ordem ímpar de \(\left( {{u_n}} \right)\) são termos da primeira e os termos de ordem par de \(\left( {{u_n}} \right)\) são termos da segunda:

\(n\)

\(1\)

\(2\)

\(3\)

\(4\)

\(5\)

\({a_n}\)

\(\frac{3}{{10}}\)

\(\frac{{16}}{{325}}\)

\(\frac{2}{{225}}\)

\(\frac{{24}}{{14375}}\)

\(\frac{1}{{3125}}\)

\({u_n}\)

\(\frac{3}{{10}}\)

\(0\)

\(\frac{2}{{225}}\)

\(\frac{8}{{14375}}\)

\(\frac{1}{{3125}}\)

\({b_n}\)

\( – \frac{1}{{10}}\)

\(0\)

\(\frac{2}{{1125}}\)

\(\frac{8}{{14375}}\)

\(\frac{3}{{21875}}\)

 

Desta forma, caso as sucessões \(\left( {{a_n}} \right)\) e \(\left( {{b_n}} \right)\) sejam limitadas, então também será limitada a sucessão \(\left( {{u_n}} \right)\).…

11.º Ano

A sucessão de termo geral ${u_n} = \operatorname{sen} \left( {\frac{{n\pi }}{2}} \right)$ é limitada? E monótona?

Sucessões reais: Aleph 11 - Volume 3 Pág. 57 Ex. 8

Enunciado

A sucessão de termo geral ${u_n} = \operatorname{sen} \left( {\frac{{n\pi }}{2}} \right)$ é limitada? E monótona?

Resolução >> Resolução

\[{u_n} = \operatorname{sen} \left( {\frac{{n\pi }}{2}} \right)\]

A sucessão $\left( {{u_n}} \right)$ é a restrição a $\mathbb{N}$ da função \[\begin{array}{*{20}{l}}
  {f:}&{\mathbb{R} \to \mathbb{R}} \\
  {}&{x \to \operatorname{sen} \left( {\frac{\pi }{2}x} \right)}
\end{array}\]

que possui contradomínio $D{‘_f} = \left[ { - 1,1} \right]$.…

11.º Ano

Estude a monotonia da seguinte sucessão

Sucessões reais: Aleph 11 - Volume 3 Pág. 56 Ex. 4

Enunciado

Estude a monotonia da sucessão definida por recorrência:

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
  {{b_1} = 1} \\
  {{b_n} = 1 - {b_{n - 1}},n \geqslant 2}
\end{array}} \right.\]

Resolução >> Resolução

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
  {{b_1} = 1} \\
  {{b_n} = 1 - {b_{n - 1}},n \geqslant 2}
\end{array}} \right.\]

Comecemos por calcular os três primeiros termos da sucessão: \[\begin{array}{*{20}{l}}
  {{b_1} = 1}&{}&{{b_2} = 1 - {b_1} = 1 - 1 = 0}&{}&{{b_3} = 1 - {b_2} = 1 - 0 = 1}
\end{array}\]

Como ${b_1} > {b_2} < {b_3}$, conclui-se que a sucessão não é monótona.…