A Casinha da Matemática Blog

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A mecânica de Galileu

A Queda Livre – Galileu Descreve o Movimento
Abordaremos o desenvolvimento de um importante exemplo de investigação básica: o estudo dos corpos em queda livre feito por Galileu Galilei. Embora o problema físico da queda livre seja por si só interessante, o estudo será orientado para a maneira como Galileu, um dos primeiros cientistas modernos, apresentou os seus argumentos. A sua perspetiva do mundo, a sua maneira de pensar, o seu uso da matemática e a sua confiança nos testes experimentais, marcam o estilo da ciência moderna. É por isto que estes aspetos do seu trabalho são tão importantes para nós como os resultados reais da sua investigação.
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Tails You Win: The Science of Chance

Professor David Spiegelhalter tries to pin down what chance is and how it works in the real world

 

 

David Spiegelhalter

Smart and witty, jam-packed with augmented-reality graphics and fascinating history, this film, presented by professor David Spiegelhalter, tries to pin down what chance is and how it works in the real world. For once this really is ‘risky’ television.

The film follows in the footsteps of …

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Quatro pontos de uma circunferência

Circunferência: Matematicamente Falando 9 - Parte 1 Pág. 129 Ex. 8

Enunciado

Na figura, está representada uma circunferência de centro O e nela quatro pontos A, B, C e D, tais que \(\overline {AB} = \overline {CD} \).

  1. Justifica que \(\overline {BD} = \overline {AC} \).
  2. Supondo que a amplitude do arco maior BC mede 185º (o arco menor
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A circunferência tem centro em P

Circunferência: Matematicamente Falando 9 - Parte 1 Pág. 129 Ex. 7

Enunciado

A circunferência tem centro em P.

Qual é o valor da amplitude x? E de y?

Resolução >> Resolução

Ora, \(x = A\widehat BD = \frac{{\overparen{AD}}}{2} = \frac{{2 \times A\widehat CD}}{2} = A\widehat CD = 40^\circ \).

E, \(y = A\widehat PD = \overparen{AD} = 2 \times …

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O é o centro da circunfrência

Circunferência: Matematicamente Falando 9 - Parte 1 Pág. 129 Ex. 6

Enunciado

Na figura, O é o centro da circunferência e \(a = 28^\circ \).

  1. Classifica o triângulo [ETO] quanto aos lados e quanto aos ângulos.
  2. Calcula o valor de x, amplitude do ângulo EQT.

Resolução >> Resolução

  1. O triângulo [ETO], quanto aos lados, é isósceles e, quanto aos
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O triângulo [MAR] é retângulo

Circunferência: Matematicamente Falando 9 - Parte 1 Pág. 129 Ex. 5

Enunciado

O triângulo [MAR], representado na figura, é retângulo em A e os seus três vértices pertencem à circunferência.

Sabendo que \(\overparen{MA} = \overparen{QM}\) e que \(M\widehat RA = 30^\circ \), calcula \(Q\widehat AR\).

Resolução >> Resolução

Como o triângulo é retângulo e está inscrito na circunferência, então …

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Triângulo inscrito na circunferência

Circunferência: Matematicamente Falando 9 - Parte 1 Pág. 129 Ex. 4

Enunciado

O triângulo [ABC] está inscrito na circunferência de centro O.

Determina a amplitude do comprimento do diâmetro [AC] da circunferência.

Resolução >> Resolução

O ângulo ABC é reto, pois está inscrito num arco de semicircunferência: \(A\widehat BC = \frac{{\overparen{AC}}}{2} = \frac{{180^\circ }}{2} = 90^\circ \).

Aplicando o …

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O é centro da circunferência

Circunferência: Matematicamente Falando 9 - Parte 1 Pág. 129 Ex. 3

Enunciado

Na figura, O é centro da circunferência e \(x = 40^\circ \).

  1. Determina a amplitude do ângulo AOB.
  2. Quais são os valores das amplitudes y e z?

Resolução >> Resolução

  1. Ora, \(A\widehat OB = \overparen{AB} = 2 \times x = 2 \times 40^\circ = 80^\circ \).
  2. Ora,
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Considera a circunferência de centro O

Circunferência: Matematicamente Falando 9 - Parte 1 Pág. 129 Ex. 2

Enunciado

Considera a circunferência de centro O.

  1. [AB] e [DC] são diâmetros. Porquê?
  2. Se \(A\widehat OD = 34^\circ \), calcula:
  • \(C\widehat OB\)
  • \(A\widehat BD\)
  • \(\overparen{DB}\)
  • \(B\widehat AD\)
  • \(A\widehat DB\)

Resolução >> Resolução

  1. [AB] e [DC] são diâmetros, pois são cordas que contêm o centro da circunferência.
     
  2. Se \(A\widehat
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Duas circunferências concêntricas

Circunferência: Matematicamente Falando 9 - Parte 1 Pág. 123 Ex. 7

Enunciado

Na figura estão representadas duas circunferências de centro O e a corda [AC] tangente à circunferência de raio menor em B.

Justifica que \(\overline {AB} = \overline {BC} \).

Resolução >> Resolução

A reta tangente a uma circunferência é perpendicular ao raio dirigido ao ponto de tangência.…

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Duas circunferências

Circunferência: Matematicamente Falando 9 - Parte 1 Pág. 123 Ex. 6

Enunciado

Na figura estão representadas duas circunferências, respetivamente, de centros O e B, três diâmetros, [AC], [BD] e [OF], e o raio [BE] paralelo a [AO].

Justifica que:

  1. Os ângulos AOB, COD e EBF são iguais.
  2. As cordas [AB], [CD] e [EF] são iguais.
  3. Os arcos AB, CD
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Uma reta perpendicular a uma corda da circunferência

Circunferência: Matematicamente Falando 9 - Parte 1 Pág. 123 Ex. 5

Enunciado

Sabendo que r é perpendicular a [AB], determina o valor de x.

Resolução >> Resolução

Já vimos anteriormente (aqui, por exemplo) que a reta r é a mediatriz da corda [AB].

Assim, C é o ponto médio do segmento de reta [AB], pelo que será:…

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Duas retas tangentes a uma circunferência

Circunferência: Matematicamente Falando 9 - Parte 1 Pág. 123 Ex. 4

Enunciado

Sabendo que as retas PA e PB são tangentes à circunferência e que \(\overparen{AB} = 140^\circ \), determina as amplitudes dos quatro ângulos internos do quadrilátero [OAPB].

Resolução >> Resolução

Como a reta tangente a uma circunferência é perpendicular ao raio no ponto de tangência, então \(O\widehat …

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Uma reta tangente à circunferência

Circunferência: Matematicamente Falando 9 - Parte 1 Pág. 123 Ex. 3

Enunciado

Calcula x, sabendo que t é uma reta tangente à circunferência.

Resolução >> Resolução

Tendo em consideração que a reta tangente a uma circunferência é perpendicular ao raio dirigido ao ponto de tangência, temos:

\[x = O\widehat AB – O\widehat AC = 90^\circ – 50^\circ = 40^\circ …