Categoria: Equações

Resolve cada um das equações 0

Resolve cada um das equações

Equações do 1.º grau: Matematicamente Falando 8 - Parte 2 Pág. 61 Ex. 6

Enunciado

Resolve cada um das equações em ordem a x e a y:

  1. $x+3y=5$
     
  2. $\frac{3x+y}{2}=3$

Resolução >> Resolução

  1. Resolvendo a equação em ordem a x, vem: \[\begin{array}{*{35}{l}}
       x+3y=5 & \Leftrightarrow  & x=5-3y  \\
    \end{array}\]
     
    Resolvendo a equação em ordem a y, vem: \[\begin{array}{*{35}{l}}
       x+3y=5 & \Leftrightarrow  & 3y=5-x  \\
       {} & \Leftrightarrow  & y=\frac{5-x}{3}  \\
    \end{array}\]
     
  2. Resolvendo a equação em ordem a x, vem: \[\begin{array}{*{35}{l}}
       \frac{3x+y}{\underset{(1)}{\mathop{2}}\,}=\underset{(2)}{\mathop{3}}\, & \Leftrightarrow  & 3x+y=6  \\
       {} & \Leftrightarrow  & 3x=6-y  \\
       {} & \Leftrightarrow  & \frac{3x}{3}=\frac{6-y}{3}  \\
       {} & \Leftrightarrow  & x=2-\frac{y}{3}  \\
    \end{array}\]
     
    Resolvendo a equação em ordem a y, vem: \[\begin{array}{*{35}{l}}
       \frac{3x+y}{\underset{(1)}{\mathop{2}}\,}=\underset{(2)}{\mathop{3}}\, & \Leftrightarrow  & 3x+y=6  \\
       {} & \Leftrightarrow  & y=6-3x  \\
    \end{array}\]
<< Enunciado
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Ficha de Trabalho

8.º Ano: Equações, Do Espaço ao Plano e Decomposição de Figuras - Teorema de Pitágoras

A presente Ficha de Trabalho aborda os temas: Equações, Do Espaço ao Plano e Decomposição de Figuras – Teorema de Pitágoras.

As dificuldades que encontres durante a sua resolução deves tentar superá-las consultando o manual e o caderno diário; depois, poderás tirar as dúvidas na aula ou na sala de estudo.…

Quatro equações 0

Quatro equações

Equações: Matematicamente Falando 7 - Parte 2 Pág. 67 Ex. 19

Enunciado

Resolve e classifica cada uma das equações:

  1. $7x-3=7x$
     
  2. $8x+1=2x+1$
     
  3. $-2x+3=-2x+3$
     
  4. $5x+2=5(x-2)$

Resolução >> Resolução

  1.  
    \[\begin{array}{*{35}{l}}
       7x-3=7x & \Leftrightarrow  & 7x-7x=3  \\
       {} & \Leftrightarrow  & 0x=3  \\
    \end{array}\]
    Como sabemos, o produto de qualquer número por zero é nulo.
    Logo, a equação é impossível. O seu conjunto-solução é vazio: $S=\left\{ {} \right\}$.
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Três casas

Equações: Matematicamente Falando 7 - Parte 2 Pág. 67 Ex. 16

Enunciado

Na figura está representada uma estrada em que existem três casas: A, B e C.

A distância entre A e B é o triplo da distância entre B e C.

Qual a distância entre A e B?

Resolução >> Resolução

Desigando por $y$ a distância entre as casas B e C, então $3y$ representará a distância entre as casas A e B.…

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No quadro…

Equações: Matematicamente Falando 7 - Parte 2 Pág. 67 Ex. 14

Enunciado

Analisa a situação exposta no quadro:

  1. Escreve um texto para o problema.
  2. Escreve uma equação que o traduz.
  3. Resolve o problema.

Resolução >> Resolução

  1. Apresenta-se um texto possível para enunciado do problema:

    “Considera o triângulo [ABC] , onde as amplitudes dos seus ângulos internos estão indicadas na figura, com a expresso em graus.

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A área do triângulo

Equações: Matematicamente Falando 7 - Parte 2 Pág. 67 Ex. 13

Enunciado

A área do triângulo é 9 cm2.

Qual é o seu perímetro?

Resolução >> Resolução

Sabendo que a área de um triângulo pode ser expressa por \[{{A}_{Tri\hat{a}ngulo}}=\frac{b\times h}{2}\] onde b e h designam, respectivamente, os comprimentos da base e da altura (estes segmentos têm de ser perpendiculares), temos: \[\frac{4\times (x+2)}{2}=9\ \ \ (\text{Porqu }\!\!\hat{\mathrm{e}}\!\!\text{ ?})\]

Resolvendo a equação, vem: \[\begin{array}{*{35}{l}}
   \frac{4\times (x+2)}{2}=9 & \Leftrightarrow  & \frac{1}{2}\times 4\times (x+2)=9  \\
   {} & \Leftrightarrow  & 2\times (x+2)=9  \\
   {} & \Leftrightarrow  & 2x+4=9  \\
   {} & \Leftrightarrow  & 2x=5  \\
   {} & \Leftrightarrow  & x=\frac{5}{2}  \\
   {} & \Leftrightarrow  & x=2,5  \\
\end{array}\]

Portanto:

  • a base do triângulo tem de comprimento: $2,5+2=4,5$ (cm);
     
  • o maior dos lados tem de comprimento: $2\times 2,5+1=6$ (cm);
     
  • o menor dos lados tem de comprimento: $2,5$ (cm).
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Os ângulos

Equações: Matematicamente Falando 7 - Parte 2 Pág. 66 Ex. 12

Enunciado

Observa os ângulos.

Qual é o valor de $x$?

Resolução >> Resolução

Considerando que a soma dos dois ângulos considerados é um ângulo raso, cuja amplitude é 180º, temos: \[\begin{array}{*{35}{l}}
   (4x-18)+(3x+30)=180 & \Leftrightarrow  & 4x-18+3x+30=180  \\
   {} & \Leftrightarrow  & 7x=180-12  \\
   {} & \Leftrightarrow  & \frac{7x}{7}=\frac{168}{7}  \\
   {} & \Leftrightarrow  & x=24  \\
\end{array}\]

Assim, para $x=24$, temos:

  • $A\widehat{V}B=4\times 24{}^\text{o}-18{}^\text{o}=78{}^\text{o}$
     
  • $B\widehat{V}C=3\times 24{}^\text{o}+30{}^\text{o}=102{}^\text{o}$
     
  • $A\widehat{V}B+B\widehat{V}C=78{}^\text{o}+102{}^\text{o}=180{}^\text{o}$

Portanto, $x=24$ (graus).…

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O desenho da Ana

Equações: Matematicamente Falando 7 - Parte 2 Pág. 66 Ex. 11

Enunciado

A Ana fez este desenho à mão e com pouco rigor.

Todas as dimensões estão expressas em centímetros.

Qual é o valor de $x$? Pensas que a Ana cometeu um erro? Porquê?

Resolução >> Resolução

Admitindo que os lados da figura são exclusivamente segmentos de recta horizontais ou verticais, tem-se (porquê?): \[(x+1)+(2x+9)=x+5+2+x\]

Resolvendo a equação, vem: \[\begin{array}{*{35}{l}}
   (x+1)+(2x+9)=x+5+2+x & \Leftrightarrow  & x+2x+10=2x+7  \\
   {} & \Leftrightarrow  & 3x-2x=7-10  \\
   {} & \Leftrightarrow  & x=-3  \\
\end{array}\]

O valor de $x$ que satisfaz as condições estabelecidas é $-3$.…

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O perímetro

Equações: Matematicamente Falando 7 - Parte 2 Pág. 66 Ex. 10

Enunciado

Determina $x$ de tal modo que o perímetro da figura seja 85 cm.

Resolução >> Resolução

Partindo do lado superior da figura e rodando no sentido contrário ao dos ponteiros do relógio, o comprimento dos lados do polígono (admitindo que os lados consecutivos são perpenduculares) é dado por:

  • $4x+2$
  • $3x$
  • $(4x+2)-2x=2x+2$ (Porquê?)
  • $2x$
  • $2x$
  • $3x+2x=5x$ (Porquê?)

Logo, o problema pode ser equacionado por: \[(4x+2)+3x+(2x+2)+2x+2x+5x=85\]

Resolvendo a equação, vem: \[\begin{array}{*{35}{l}}
   (4x+2)+3x+(2x+2)+2x+2x+5x=85 & \Leftrightarrow  & 18x=85-4  \\
   {} & \Leftrightarrow  & \frac{18x}{18}=\frac{81}{18}  \\
   {} & \Leftrightarrow  & x=\frac{9}{2}  \\
   {} & \Leftrightarrow  & x=4,5  \\
\end{array}\]

Portanto, $x=4,5$ (cm).…

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Quadrado e rectângulo

Equações: Matematicamente Falando 7 - Parte 2 Pág. 66 Ex. 9

Enunciado

Considera um quadrado de lado $2x$ e um rectângulo de dimensões $x$ e $x+4$.

Para que valores de $x$ as duas figuras têm o mesmo perímetro?

Resolução >> Resolução

O perímetro do quadrado pode ser expresso por: ${{P}_{Q}}=4\times (2x)$.

O perímetro do rectângulo pode ser expresso por: ${{P}_{R}}=2\times x+2\times (x+4)$.…