Category: Geometria Analítica

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Um cubo

Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 191 Ex. 69

Enunciado

Na figura está representado um cubo, em referencial o.n. Oxyz.

Sabe-se que:

  • a face [OPQR] está contida no plano xOy;
  • a face [OSVR] está contida no plano xOz;
  • a face [OSTP] está contida no plano yOz;
  • uma equação do plano VTQ é $x+y+z=6$.
  1. Mostre que o volume
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Um cone de revolução

Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 191 Ex. 68

Enunciado

Na figura está representado, num referencial o.n. Oxyz, um cone de revolução.

Sabe-se que:

  • A base do cone está contida no plano xOy e tem o seu centro na origem do referencial.
  • [AC] e [BD] são diâmetros da base.
  • O ponto A pertence ao semieixo positivo Ox.
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Considere num referencial ortonormado

Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 190 Ex. 67

Enunciado

Considere num referencial ortonormado Oxyz:

  • o ponto $A\,(10,0,0)$
  • o ponto $B\,(0,2,1)$
  • o ponto $C\,(0,5,0)$
  • a recta AB
  • a recta BC
  1. Justifique que as rectas AB e BC são complanares e mostre que o plano $\alpha $ por elas definido admite como equação $x+2y+6z=10$.
     
  2. Determine uma equação vectorial
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Considere os pontos A e B

Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 190 Ex. 66

Enunciado

Considere, num referencial o.n. Oxyz, os pontos $A\,(5,0,0)$ e $B\,(0,3,1)$.

  1. Mostre que a recta AB está contida no plano de equação $x+2y-z=5$.
     
  2. Determine as coordenadas de um ponto C, pertencente ao eixo Oz e de cota positiva, de tal modo que o triângulo [ABC] seja rectângulo em
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Uma caixa cilíndrica

Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 190 Ex. 65

Enunciado

Na figura está representada, em referencial o.n. Oxyz, uma caixa cilíndrica construída num material de espessura desprezável.

A caixa contém duas bolas encostadas uma à outra e às bases da caixa cilíndrica.

  • O cilindro tem uma das bases no plano xOz.
  • O centro dessa base é o
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Um octaedro

Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 189 Ex. 64

Enunciado

Considere o referencial o.n. (O,x,y,z) e o octaedro regular representado na figura.

As arestas [AC], [CD], [DE] e [EA] estão contidas no plano xOy e o vértice B pertence ao eixo das cotas. O ponto C tem coordenadas $(2,2,0)$.

  1. Prove que o ponto B tem as coordenadas
Uma recta e a sua intersecção com dois planos 0

Uma recta e a sua intersecção com dois planos

Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 189 Ex. 63

Enunciado

Suponha que a recta r: $x=y=z$ intersecta o plano $\alpha $: $x-2y-z=2$ no ponto P e o plano $\beta $: $x-2y-z=4$, no ponto Q.

Qual é, então, na unidade considerada, a norma do vector $PQ$?

Resolução >> Resolução

Comecemos por determinar as coordenadas dos pontos P e …

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Um paralelepípedo de altura variável

Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 189 Ex. 62

Enunciado

A figura representa um paralelepípedo de altura variável, sendo:

  • $\overline{AB}=4\,cm$
     
  • $\overline{BC}=3\,cm$
     
  • $\overrightarrow{AF}\overset{\hat{\ }}{\mathop{{}}}\,\overrightarrow{AC}=\alpha $
  1. Mostre que o volume do paralelepípedo é dado por $V(\alpha )=60\,tg\,\alpha $.
     
  2. Determine o valor exacto do volume do sólido quando $\cos (\frac{\pi }{2}+\alpha )$ é igual a $-\frac{2}{3}$.
     
  3. Calcule o valor do
Dados dois pontos, A e B 0

Dados dois pontos, A e B

Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 189 Ex. 61

Enunciado

Num referencial o.n. tridimensional, estão representados o ponto $A\,(2,-3,1)$ e o ponto $B\,(3,2,6)$.

  1. Determine a intersecção da recta AB com o plano xOy.
     
  2. Determine o lugar geométrico dos pontos equidistantes de A e de B.

Resolução >> Resolução

  1. Como $A\,(2,-3,1)$ e $B\,(3,2,6)$, então o vector $\overrightarrow{AB}=(1,5,5)$ é
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Uma circunferência

Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 188 Ex. 60

Enunciado

Na figura ao lado estão representados:

  • uma circunferência de centro O e raio 1 unidade de comprimento;
  • um diâmetro [AB] e uma corda [CD], perpendicular a esse diâmetro.

Designando por $\alpha $ a amplitude do ângulo AOC, em radianos:

  1. determine o valor de $\overrightarrow{AB}\,.\,\overrightarrow{CD}$;
     
  2. mostre que a
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Na figura estão representados três pontos

Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 188 Ex. 59

Enunciado

Na figura estão representados três pontos, num referencial o.n. Oxyz.

Sabe-se que:

  • ponto A tem coordenadas $(0,5,2)$;
  • ponto B pertence ao plano xOz;
  • ponto C pertence ao plano xOy;
  • $(x,y,z)=(5,4,-1)+k(1,2,-1)\,,\,\,k\in \mathbb{R}$ é uma equação vectorial da recta BC.
  1. Mostre que o ponto B tem coordenadas $(3,0,1)$ e
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Um prisma triangular regular

Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 188 Ex. 58

Enunciado

Na figura está representado, em referencial o.n. Oxyz, um prisma triangular regular:

Sabe-se que:

  • o vértice O coincide com a origem do referencial;
  • o vértice P pertence ao semieixo positivo Ox;
  • o vértice R pertence ao semieixo positivo Oy;
  • o segmento [QR] tem comprimento 6.
  1. Indique, justificando,