Categoria: Funções racionais

Resolva, em $\mathbb{R}$, a equação 0

Resolva, em $\mathbb{R}$, a equação

Funções racionais: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 53 Ex. 2

Enunciado

Resolva, em $\mathbb{R}$, a equação seguinte: \[{\frac{{2x + 4}}{{x – 3}} = \frac{{x – 2}}{{x + 5}}}\]

Resolução >> Resolução

\[\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{2x + 4}}{{\mathop {x{\rm{ }} – {\rm{ }}3}\limits_{\left( {x + 5} \right)} }} = \frac{{x – 2}}{{\mathop {x{\rm{ }} + {\rm{ }}5}\limits_{\left( {x – 3} \right)} }}}& \Leftrightarrow &{\frac{{2{x^2} + 10x + 4x + 20 – {x^2} + 3x + 2x – 6}}{{\left( {x – 3} \right)\left( {5 + 5} \right)}} = 0}\\{}& \Leftrightarrow &{\frac{{{x^2} + 19x + 14}}{{\left( {x – 3} \right)\left( {5 + 5} \right)}} = 0}\\{}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} + 19x + 14 = 0}& \wedge &{\left( {x – 3} \right)\left( {5 + 5} \right) \ne 0}\end{array}}\\{}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{l}}{x = \frac{{ – 19 \pm \sqrt {361 – 56} }}{2}}& \wedge &{\begin{array}{*{20}{c}}{x \ne 3}& \wedge &{x \ne  – 5}\end{array}}\end{array}}\\{}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{l}}{x = \frac{{ – 19 – \sqrt {305} }}{2}}& \vee &{x = \frac{{ – 19 + \sqrt {305} }}{2}}\end{array}}\end{array}\]

<< Enunciado
0

Concentração do composto

Funções racionais: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 53 Ex. 1

Enunciado

Juntou-se ácido puro a $30$ gramas de uma substância $30$% ácida.

Seja $x$ o número de gramas de ácido puro adicionado.

  1. Determine uma expressão que represente a concentração do composto formado.
     
  2. Represente graficamente a função da alínea anterior.
     
  3. Entre que valores varia a função?
     
  4. Qual a quantidade de ácido puro que devemos adicionar para produzir uma solução $75$% ácida?
Determine o conjunto solução de cada uma das condições 0

Determine o conjunto solução de cada uma das condições

Funções racionais: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 52 Ex. 12

Enunciado

Considere a função $f$ definida por: \[f\left( x \right) = \frac{x}{{{x^2} – 3x + 2}}\]

Determine o conjunto solução de cada uma das inequações:

  1. $f\left( x \right) > 0$
     
  2. $f\left( {x – 2} \right) > 0$

Resolução >> Resolução

  1.  
    \[\begin{array}{*{20}{l}}
      {f\left( x \right) > 0}& \Leftrightarrow &{\frac{x}{{{x^2} – 3x + 2}} > 0} \\
      {}& \Leftrightarrow &{\frac{x}{{\left( {x – 1} \right)\left( {x – 2} \right)}} > 0} \\
      {}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{l}}
      {\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
      {x < 0} \\
      {\left( {x – 1} \right)\left( {x – 2} \right) < 0}
    \end{array}} \right.}& \vee &{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
      {x > 0} \\
      {\left( {x – 1} \right)\left( {x – 2} \right) > 0}
    \end{array}} \right.}
    \end{array}} \\
      {}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{l}}
      {\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
      {x < 0} \\
      {x \in \left] {1,2} \right[}
    \end{array}} \right.}& \vee &{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
      {x > 0} \\
      {x \in \left] { – \infty ,1} \right[ \cup \left] {2, + \infty } \right[}
    \end{array}} \right.}
    \end{array}} \\
      {}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{l}}
      {x \in \emptyset }& \vee &{x \in \left] {0,1} \right[ \cup \left] {2, + \infty } \right[}
    \end{array}} \\
      {}& \Leftrightarrow &{x \in \left] {0,1} \right[ \cup \left] {2, + \infty } \right[}
    \end{array}\]
     
  2. Seja $g\left( x \right) = f\left( {x – 2} \right)$.
0

Considera a função $g\left( x \right) = \frac{1}{x}$

Funções racionais: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 52 Ex. 10

Enunciado

Considera a função $g\left( x \right) = \frac{1}{x}$, de domínio $\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}$.

  1. Que transformações geométricas se devem efetuar a partir do gráfico de $g$ para se obter o gráfico da função \[f\left( x \right) = \frac{{x – 1}}{{2x – 3}}\] de domínio $\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{3}{2}} \right\}$, representada graficamente ao lado.
0

Três funções

Funções racionais: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 51 Ex. 9

Enunciado

  1. Represente graficamente, no mesmo referencial, as seguintes funções:
    \[\begin{array}{*{20}{r}}
      {f\left( x \right) = x + 1}&{\text{;}}&{g\left( x \right) = f\left( {\frac{1}{x}} \right)}&{\text{e}}&{h\left( x \right) = \frac{1}{{f\left( x \right)}}}
    \end{array}\]
  2. Determine o domínio de cada uma das funções anteriores.
     
  3. Compare os três gráficos.
    Quais os pontos dos gráficos de $g$ e de $h$ que se mantém invariantes relativamente ao gráfico de $f$?
0

Determine as assíntotas do gráfico das seguintes funções

Funções racionais: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 51 Ex. 8

Enunciado

Determine as assíntotas do gráfico de cada uma das seguintes funções:

\[\begin{array}{*{20}{c}}
  {f\left( x \right) = \frac{{2x – 1}}{{x + 3}}}&{\text{e}}&{g\left( x \right) = \frac{{2{x^2} – 7x + 3}}{{x – 3}}}
\end{array}\]

Resolução >> Resolução

\[{f\left( x \right) = \frac{{2x – 1}}{{x + 3}}}\]

  • ${D_f} = \left\{ {x \in \mathbb{R}:x + 3 \ne 0} \right\} = \mathbb{R}\backslash \left\{ { – 3} \right\}$

\[f\left( x \right) = \frac{{2x – 1}}{{x + 3}} = \frac{{2\left( {x + 3} \right) – 7}}{{x + 3}} = 2 + \frac{{ – 7}}{{x + 3}}\]

 \[\begin{array}{*{20}{c}}
  {\mathop {\lim }\limits_{x \to  – {3^ – }} f\left( x \right) =  + \infty }&{\text{e}}&{\mathop {\lim }\limits_{x \to  – {3^ + }} f\left( x \right) =  – \infty }
\end{array}\]

Logo, a reta de equação $x =  – 3$ é uma assíntota vertical bilateral do gráfico de $f$.…

0

Uma peça de forma cilíndrica

Funções racionais: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 51 Ex. 6

Enunciado

Uma empresa de alumínio pretende fabricar uma peça de forma cilíndrica, com capacidade de $500$ cm3.

As tampas superior e inferior são feitas de alumínio especial que custa $5$ cêntimos por centímetro quadrado.

A superfície lateral é feita de material mais barato, que custa $2$ cêntimos por centímetro quadrado.…

Considere a função $h$ 0

Considere a função $h$

Funções racionais: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 50 Ex. 5

Enunciado

Considere a função $h$, definida por: \[h\left( x \right) = \frac{{2{x^2} + x – 1}}{{x – 3}}\]

  1. Escreva $h\left( x \right)$ na forma \[a + bx + \frac{c}{{x – 3}}\]
     
  2. A partir da decomposição obtida na alínea anterior, determine:
    \[\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } h\left( x \right)\]
    \[\mathop {\lim }\limits_{x \to  – \infty } h\left( x \right)\]
    \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} h\left( x \right)\]
     
  3. Tendo em consideração os resultados obtidos anteriormente, esboce o gráfico da função.
0

Uma espécie rara de insetos

Funções racionais: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 50 Ex. 4

Enunciado

Uma espécie rara de insetos foi descoberta na floresta tropical do Brasil.

Ambientalistas colocaram os insetos numa área protegida.

A população de insetos no mês $t$, após terem sido colocados na área protegida, é dado pela função: \[P\left( t \right) = \frac{{45\left( {1 + 0,6t} \right)}}{{3 + 0,02t}}\]

  1. Qual era a população quando $t = 0$?
Resolva, em $\mathbb{R}$, as seguintes inequações 0

Resolva, em $\mathbb{R}$, as seguintes inequações

Funções racionais: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 50 Ex. 3

Enunciado

Resolva, em $\mathbb{R}$, as seguintes inequações:

  1. $\frac{{x + 1}}{{x – 2}} > 0$
     
  2. $\frac{{ – 5}}{{1 – 2x}} < 0$
     
  3. $\frac{2}{{{x^2} + 2x}} – \frac{{x + 1}}{{x + 2}} < 0$

Resolução >> Resolução

  1.  
    \[\begin{array}{*{20}{l}}
      {\frac{{x + 1}}{{x – 2}} > 0}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{l}}
      {\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
      {x + 1 < 0} \\
      {x – 2 < 0}
    \end{array}} \right.}& \vee &{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
      {x + 1 > 0} \\
      {x – 2 > 0}
    \end{array}} \right.}
    \end{array}} \\
      {}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{l}}
      {\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
      {x <  – 1} \\
      {x < 2}
    \end{array}} \right.}& \vee &{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
      {x >  – 1} \\
      {x > 2}
    \end{array}} \right.}
    \end{array}} \\
      {}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{l}}
      {x <  – 1}& \vee &{x > 2}
    \end{array}} \\
      {}& \Leftrightarrow &{x \in \left] { – \infty , – 1} \right[ \cup \left] {2, + \infty } \right[}
    \end{array}\]
     
  2.  
    \[\begin{array}{*{20}{l}}
      {\frac{{ – 5}}{{1 – 2x}} < 0}& \Leftrightarrow &{1 – 2x > 0} \\
      {}& \Leftrightarrow &{x < \frac{1}{2}} \\
      {}& \Leftrightarrow &{x \in \left] { – \infty ,\frac{1}{2}} \right[}
    \end{array}\]
     
  3.  
    \[\begin{array}{*{20}{l}}
      {\frac{2}{{{x^2} + 2x}} – \frac{{x + 1}}{{\mathop {x + 2}\limits_{\left( x \right)} }} < 0}& \Leftrightarrow &{\frac{{2 – {x^2} – x}}{{x\left( {x + 2} \right)}} < 0} \\
      {}& \Leftrightarrow &{\frac{{{x^2} + x – 2}}{{x\left( {x + 2} \right)}} > 0} \\
      {}& \Leftrightarrow &{\frac{{\left( {x – 1} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{x\left( {x + 2} \right)}} > 0} \\
      {}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{l}}
      {\frac{{\left( {x – 1} \right)}}{x} > 0}& \wedge &{x \ne  – 2}
    \end{array}} \\
      {}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{l}}
      {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
      {\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
      {x – 1 < 0} \\
      {x < 0}
    \end{array}} \right.}& \vee &{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
      {x – 1 > 0} \\
      {x > 0}
    \end{array}} \right.}
    \end{array}} \right)}& \wedge &{x \ne  – 2}
    \end{array}} \\
      {}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{l}}
      {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
      {\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
      {x < 1} \\
      {x < 0}
    \end{array}} \right.}& \vee &{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
      {x > 1} \\
      {x > 0}
    \end{array}} \right.}
    \end{array}} \right)}& \wedge &{x \ne  – 2}
    \end{array}} \\
      {}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{l}}
      {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
      {x < 0}& \vee &{x > 1}
    \end{array}} \right)}& \wedge &{x \ne  – 2}
    \end{array}} \\
      {}& \Leftrightarrow &{x \in \left] { – \infty , – 2} \right[ \cup \left] { – 2,0} \right[ \cup \left] {1, + \infty } \right[}
    \end{array}\]
<< Enunciado