Categoria: Derivadas

Mostre que a função, apesar de contínua, não tem derivada em $x = 0$ 0

Mostre que a função, apesar de contínua, não tem derivada em $x = 0$

Derivadas: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 82 Ex. 20

Enunciado

Mostre que a função $f$, de domínio $\mathbb{R}$, apesar de contínua, não tem derivada em $x = 0$:

\[\begin{array}{*{20}{c}}
  {f\left( x \right)}& = &{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
  x& \Leftarrow &{x > 0} \\
  { – {x^2}}& \Leftarrow &{x \leqslant 0}
\end{array}} \right.}
\end{array}\]

Resolução >> Resolução

 \[\begin{array}{*{20}{c}}
  {f\left( x \right)}& = &{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
  x& \Leftarrow &{x > 0} \\
  { – {x^2}}& \Leftarrow &{x \leqslant 0}
\end{array}} \right.}
\end{array}\]

Calculemos as derivadas laterais no ponto $x = 0$:

\[\begin{array}{*{20}{l}}
  {\begin{array}{*{20}{l}}
  {f’\left( {{0^ – }} \right)}& = &{\mathop {\lim }\limits_{h \to {0^ – }} \frac{{f\left( {0 + h} \right) – f\left( 0 \right)}}{h}} \\
  {}& = &{\mathop {\lim }\limits_{h \to {0^ – }} \frac{{ – {{\left( {0 + h} \right)}^2} – 0}}{h}} \\
  {}& = &{\mathop {\lim }\limits_{h \to {0^ – }} \frac{{ – {h^2}}}{h}} \\
  {}& = &{\mathop {\lim }\limits_{h \to {0^ – }} \left( { – h} \right)} \\
  {}& = &0
\end{array}}&{}&{}&{}&{\begin{array}{*{20}{l}}
  {f’\left( {{0^ + }} \right)}& = &{\mathop {\lim }\limits_{h \to {0^ + }} \frac{{f\left( {0 + h} \right) – f\left( 0 \right)}}{h}} \\
  {}& = &{\mathop {\lim }\limits_{h \to {0^ + }} \frac{{\left( {0 + h} \right) – 0}}{h}} \\
  {}& = &{\mathop {\lim }\limits_{h \to {0^ + }} \frac{h}{h}} \\
  {}& = &{\mathop {\lim }\limits_{h \to {0^ + }} \left( 1 \right)} \\
  {}& = &1
\end{array}}
\end{array}\]

Como $f’\left( {{0^ – }} \right) \ne f’\left( {{0^ + }} \right)$, então a função $f$ não tem derivada no ponto de abcissa $0$, apesar de contínua.…

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Mostre que a função não admite extremo em $x = 0$

Derivadas: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 82 Ex. 19

Enunciado

Mostre que a derivada da função definida por \[\begin{array}{*{20}{c}}
  {f\left( x \right)}& = &{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
  x& \Leftarrow &{x > 0} \\
  {{x^2} + 1}& \Leftarrow &{x \leqslant 0}
\end{array}} \right.}
\end{array}\]

muda de sinal quando passa da esquerda para a direita de zero, mas a função $f$ não tem máximo nem mínimo nesse ponto.…

Mostre que 0

Mostre que

Derivadas: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 82 Ex. 18

Enunciado

Mostre que:

  1. a função definida por $f\left( x \right) = {x^3} + 2$ é estritamente crescente em $\mathbb{R}$;
     
  2. a função definida por $g\left( x \right) = {x^3} – 2x + 12$ é estritamente crescente em $\left] {1, + \infty } \right[$;
     
  3. a função definida por $r\left( x \right) =  – {x^2} + 2$ é estritamente crescente em $\left] { – \infty ,0} \right[$;
     
  4. a função definida por $s\left( x \right) =  – \frac{3}{x}$ é estritamente crescente em $\left] { – \infty ,0} \right[$, mas não é crescente no seu domínio.
0

Uma escultura em cimento

Derivadas: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 89 Ex. 5

Enunciado

Na figura, está representado um projeto de uma escultura em cimento para o jardim de uma escola, constituída por uma esfera colocada sobre um cubo.

Pretende-se que a escultura tenha uma altura total de $2$ metros.

Apresentam-se, a seguir, as vistas de frente de três possíveis concretizações do projeto.…

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Uma colónia de bactérias

Derivadas: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 89 Ex. 4

Enunciado

A população inicial de uma colónia de bactérias é $100 000$ unidades.

Depois de $t$ horas, a colónia tem uma população $P\left( t \right)$, que obedece à lei polinomial seguinte:

\[P\left( t \right) = 10000\,{t^3}\]

  1. Qual é o número de bactérias após $10$ horas?
     
  2. Encontre a lei que indica a taxa de variação da população $P\left( t \right)$ em relação ao tempo $t$.
0

Uma partícula move-se sobre uma reta

Derivadas: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 88 Ex. 2

Enunciado

Uma partícula move-se sobre uma reta de forma que, após $t$ segundos, ela encontra-se a $s\left( t \right) = 2{t^2} + 3t$ metros da sua posição inicial.

  1. Determine a posição da partícula após $2$ s.
     
  2. Determine a posição da partícula após $3$ s.
     
  3. Calcule a velocidade média da partícula no intervalo de tempo $\left[ {2,3} \right]$ (em segundos).
Duas regras de derivação 0

Duas regras de derivação

Derivadas: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 73 Ex. 2

Enunciado

Determine regras de derivação que permitam calcular facilmente derivadas de funções do tipo:

\[\begin{array}{*{20}{c}}
  {f\left( x \right) = \frac{k}{{x – a}}}&{}&{}&{g\left( x \right) = \frac{k}{{{x^2}}}}
\end{array}\]

Resolução >> Resolução

\[\begin{array}{*{20}{c}}
  {f\left( x \right) = \frac{k}{{x – a}}}&{}&{}&{g\left( x \right) = \frac{k}{{{x^2}}}}
\end{array}\]

Seja $k$ constante e ${x_0} \in \mathbb{R}\backslash \left\{ a \right\}$.…

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Uma bola desce um plano inclinado

Funções racionais: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 64 Ex. 5

Enunciado

Uma bola desce um plano inclinado, onde foi espalhado um gel que dificulta o movimento.

A distância, $d$, em centímetros, da bola ao topo do plano inclinado em função do tempo, $t$, em segundos, é dada por: \[d\left( t \right) = 1,3{t^2} – t + 2\]

  1. Represente graficamente a função $d$ na situação descrita.
0

Mais sobre derivadas

11.º Ano: Ficha de Trabalho

Apresenta-se uma Ficha de Trabalho com problemas relativos à interpretação geométrica da taxa de variação, ao sinal da derivada e sentido de variação da função e à determinação de extremos relativos de uma função.

A Ficha de Trabalho contém soluções e ainda uma Proposta de Resolução.

Bom Trabalho!

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SURF, Fresco e Natural

Enunciado

Uma nova empresa de refrigerantes pretende lançar no mercado embalagens de sumo de fruta, com capacidade de dois litros.

Por questões de marketing, as embalagens deverão ter a forma de um prisma quadrangular regular.

  1. Mostre que a área total da embalagem, em dm2, é dada por \[A(x)=2{{x}^{2}}+\frac{8}{x}\]
    (x é o comprimento da aresta da base, em dm)
    Nota: Recorde que $1\ litro=1\ d{{m}^{3}}$.