Categoria: Funções com radicais

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A distância entre os automóveis

Funções com radicais: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 177 Ex. 11

Enunciado

Dois automóveis circulam à mesma velocidade, em estradas perpendiculares, em direção a um cruzamento.
Um deles encontra-se a $5$ km do cruzamento e o outro a $6$ km.

Representa graficamente a função que dá a distância entre os dois automóveis à medida que se aproximam do cruzamento.

Utilizando a calculadora gráfica, determina quando é que a distância entre os automóveis é mínima.…

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A dobra numa folha de papel

Funções com radicais: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 177 Ex. 10

Enunciado

Considere uma folha de papel retangular de comprimento 24 unidades e largura 18 unidades.
Dobramos a folha de papel de modo que o vértice A coincida com o vértice C e vincamos a folha.

Qual é o comprimento do vinco?

  • Sugestão: Comece por dobrar uma folha de papel retangular e descubra as relações entre os vários elementos geométricos.
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Um triângulo inscrito numa semicircunferência

Funções com radicais: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 174 Ex. 16

Enunciado

Considere o triângulo da figura inscrito numa semicircunferência de centro C.

  1. Justifique que o triângulo é retângulo.
     
  2. Exprima a área do triângulo em função do raio e do cateto de comprimento $x$.
     
  3. Qual deve ser o raio da circunferência para que o triângulo tenha área $10$ e um cateto seja duplo do outro?
Simplifica as seguintes expressões com radicais 0

Simplifica as seguintes expressões com radicais

Funções com radicais: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 174 Ex. 12

Enunciado

Simplifica as seguintes expressões com radicais:

  1. ${ – \sqrt[3]{2} + 2\sqrt[3]{2} + 3\sqrt[2]{2}}$
     
  2. $\frac{{\sqrt {45} }}{{\sqrt {500} }} – \sqrt {80} $
     
  3. $5\sqrt[3]{{16}} – 3\sqrt[3]{{54}} \times \sqrt[3]{5}$

Resolução >> Resolução

  1.  
    \[\begin{array}{*{20}{l}}
      { – \sqrt[3]{2} + 2\sqrt[3]{2} + 3\sqrt[2]{2}}& = &{\left( { – 1 + 2 + 3} \right)\sqrt[3]{2}} \\
      {}& = &{4\sqrt[3]{2}}
    \end{array}\]
     
  2.  
    \[\begin{array}{*{20}{l}}
      {\frac{{\sqrt {45} }}{{\sqrt {500} }} – \sqrt {80} }& = &{\frac{{\sqrt {{3^2} \times 5} }}{{\sqrt {{{10}^2} \times 5} }} – \sqrt {{4^2} \times 5} } \\
      {}& = &{\frac{{3\sqrt 5 }}{{10\sqrt 5 }} – 4\sqrt 5 } \\
      {}& = &{\frac{3}{{10}} – 4\sqrt 5 }
    \end{array}\]
     
  3.  
    \[\begin{array}{*{20}{l}}
      {5\sqrt[3]{{16}} – 3\sqrt[3]{{54}} \times \sqrt[3]{5}}& = &{5\sqrt[3]{{{2^3} \times 2}} – 3\sqrt[3]{{{3^3} \times 2}} \times \sqrt[3]{5}} \\
      {}& = &{10\sqrt[3]{2} – 9\sqrt[3]{2} \times \sqrt[3]{5}} \\
      {}& = &{10\sqrt[3]{2} – 9\sqrt[3]{{10}}}
    \end{array}\]

 

<< Enunciado
Resolva, em $\mathbb{R}$, as seguintes equações 0

Resolva, em $\mathbb{R}$, as seguintes equações

Funções com radicais: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 173 Ex. 11

Enunciado

Resolva, em $\mathbb{R}$, as seguintes equações:

  1. ${x^4} = 625$
     
  2. ${x^3} =  – 125$
     
  3. ${x^4} + 81 = 0$
     
  4. ${x^3} – 343 = 0$

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  1.  
    \[\begin{array}{*{20}{l}}
      {{x^4} = 625}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{l}}
      {x =  – \sqrt[4]{{625}}}& \vee &{x = \sqrt[4]{{625}}}
    \end{array}} \\
      {}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{l}}
      {x =  – \sqrt[4]{{{5^4}}}}& \vee &{x = \sqrt[4]{{{5^4}}}}
    \end{array}} \\
      {}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{l}}
      {x =  – 5}& \vee &{x = 5}
    \end{array}}
    \end{array}\]
     
  2.  
    \[\begin{array}{*{20}{l}}
      {{x^3} =  – 125}& \Leftrightarrow &{x = \sqrt[3]{{ – 125}}} \\
      {}& \Leftrightarrow &{x =  – \sqrt[3]{{{5^3}}}} \\
      {}& \Leftrightarrow &{x =  – 5}
    \end{array}\]
     
  3.  
    \[\begin{array}{*{20}{l}}
      {{x^4} + 81 = 0}& \Leftrightarrow &{{x^4} =  – 81} \\
      {}& \Leftrightarrow &{x \in \emptyset }
    \end{array}\]
     
  4.  
    \[\begin{array}{*{20}{l}}
      {{x^3} – 343 = 0}& \Leftrightarrow &{{x^3} = 343} \\
      {}& \Leftrightarrow &{x = \sqrt[3]{{{7^3}}}} \\
      {}& \Leftrightarrow &{x = 7}
    \end{array}\]

 

<< Enunciado
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A Patrícia, usando o GeoGebra

Funções com radicais: Infinito 11 A - Parte 2 Pág. 209 Ex. 99

Enunciado

A Patrícia, usando o GeoGebra, construiu os gráficos das funções perímetro e área do triângulo [OBD], como mostra a figura.

O ponto D é um ponto móvel sobre a semicircunferência, cujo diâmetro mede 4 cm, e x é o comprimento de [BD].

  1. A Patrícia esqueceu-se de identificar as funções.
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Considere as funções

Funções com radicais: Infinito 11 A - Parte 2 Pág. 208 Ex. 94

Enunciado

Considere as funções definidas em $\mathbb{R}$ por:

$f(x)=\frac{3x}{{{x}^{2}}-4}$ $f(x)=\frac{{{x}^{2}}}{x+2}$ $f(x)=\sqrt{{{x}^{2}}-4}$
$f(x)=\left| {{x}^{2}}-4 \right|$ $f(x)=\frac{{{x}^{2}}-4}{{{x}^{2}}}$

$f(x)=\frac{{{x}^{3}}}{{{x}^{2}}-9}$

  • Determine o domínio das funções dadas.
     
  • Calcule, para cada uma delas: $f(-x)$, $f(x-2)$ e $-f(x)$.
     
  • Algumas das funções é par? E ímpar?

Resolução >> Resolução

  • $f(x)=\frac{3x}{{{x}^{2}}-4}$
     
    ${{D}_{f}}=\left\{ x\in \mathbb{R}:{{x}^{2}}-4\ne 0 \right\}=\mathbb{R}\backslash \left\{ -2,2 \right\}$
     
    $f(-x)=\frac{-3x}{{{(-x)}^{2}}-4}=-\frac{3x}{{{x}^{2}}-4}$
     
    $f(x-2)=\frac{3(x-2)}{{{(x-2)}^{2}}-4}=\frac{3x-6}{{{x}^{2}}-4x}$
     
    $-f(x)=-\frac{3x}{{{x}^{2}}-4}$
     
    A função é ímpar, pois $f(-x)=-f(x),\forall x\in {{D}_{f}}$.
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A função polinomial definida por $f(x)={{x}^{4}}$ não é injectiva

Funções com radicais: Infinito 11 A - Parte 2 Pág. 208 Ex. 93

Enunciado

A função polinomial definida por $f(x)={{x}^{4}}$ não é injectiva.

Encontre uma restrição g da função f de modo que g seja injectiva.

Caracterize ${{g}^{-1}}$.

Resolução >> Resolução

Uma restrição g, injectiva, da função f pode ser, por exemplo: \[\begin{matrix}
   g: & \mathbb{R}_{0}^{+}\to \mathbb{R}  \\
   {} & x\to {{x}^{4}}  \\
\end{matrix}\]

Ora, ${{D}_{g}}=\mathbb{R}_{0}^{+}=D{{‘}_{{{g}^{-1}}}}$ e $D{{‘}_{g}}=\mathbb{R}_{0}^{+}={{D}_{{{g}^{-1}}}}$.…

Sendo f e g funções reais de variável real 0

Sendo f e g funções reais de variável real

Funções com radicais: Infinito 11 A - Parte 2 Pág. 206 Ex. 85

Enunciado

Sendo f e g funções reais de variável real, caracterize $f\circ g$ e $g\circ f$, em cada um dos casos:

  1. $\begin{matrix}
       f(x)=\sqrt{x} & \text{e} & g(x)={{x}^{2}}+1  \\
    \end{matrix}$
     
  2. $\begin{matrix}
       f(x)={{(x-1)}^{3}} & \text{e} & g(x)=\sqrt[3]{x}+1  \\
    \end{matrix}$

Resolução >> Resolução

  1. Ora, ${{D}_{f\circ g}}=\left\{ x\in \mathbb{R}:x\in {{D}_{g}}\wedge g(x)\in {{D}_{f}} \right\}=\left\{ x\in \mathbb{R}:x\in \mathbb{R}\wedge ({{x}^{2}}+1)\in \mathbb{R}_{0}^{+} \right\}=\mathbb{R}$.