Categoria: Equações do 1.º grau

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Num circuito eléctrico

Equações do 1.º grau: Matematicamente Falando 8 - Parte 2 Pág. 61 Ex. 5

Enunciado

Num circuito eléctrico, a diferença de potencial (V) entre dois pontos está relacionada com a intensidade da corrente que o percorre (I) e com a resistência do circuito (R), segundo a fórmula $V=RI$.

Resolve esta equação:

  1. em ordem a R;
     
  2. em ordem a I.

Resolução >> Resolução

  1. Resolvendo a equação em ordem a R, vem: \[\begin{array}{*{35}{l}}
       V=RI & \Leftrightarrow  & RI=V  \\
       {} & \Leftrightarrow  & \frac{RI}{I}=\frac{V}{I}  \\
       {} & \Leftrightarrow  & R=\frac{V}{I}  \\
    \end{array}\]
     
  2. Resolvendo a equação em ordem a I, vem: \[\begin{array}{*{35}{l}}
       V=RI & \Leftrightarrow  & RI=V  \\
       {} & \Leftrightarrow  & \frac{RI}{R}=\frac{V}{R}  \\
       {} & \Leftrightarrow  & I=\frac{V}{R}  \\
    \end{array}\]
<< Enunciado
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Relação entre graus Celsius e graus Fahrenheit

Equações do 1.º grau: Matematicamente Falando 8 - Parte 2 Pág. 58 Ex. 1

Enunciado

A relação entre graus Celsius e graus Fahrenheit é a seguinte: \[\frac{F-32}{9}=\frac{C}{5}\]

  1. Resolve a equação em ordem a F.
     
  2. Resolve a equação em ordem a C.

Resolução >> Resolução

  1. Resolvendo a equação em ordem a F, vem: \[\begin{array}{*{35}{l}}
       \frac{F-32}{\underset{(5)}{\mathop{9}}\,}=\frac{C}{\underset{(9)}{\mathop{5}}\,} & \Leftrightarrow  & 5F-160=9C  \\
       {} & \Leftrightarrow  & 5F=9C+160  \\
       {} & \Leftrightarrow  & F=\frac{9C+160}{5}  \\
    \end{array}\]
      
  2. Resolvendo a equação em ordem a C, vem: \[\begin{array}{*{35}{l}}
       \frac{F-32}{\underset{(5)}{\mathop{9}}\,}=\frac{C}{\underset{(9)}{\mathop{5}}\,} & \Leftrightarrow  & 5F-160=9C  \\
       {} & \Leftrightarrow  & 9C=5F-160  \\
       {} & \Leftrightarrow  & C=\frac{5F-160}{9}  \\
    \end{array}\]
<< Enunciado
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O perímetro de um triângulo

Equações do 1.º grau: Matematicamente Falando 8 - Parte 2 Pág. 59 Ex. 6

Enunciado

Considera o triângulo da figura (medidas expressas em centímetros).

  1. Escreve uma equação ue te permita calcular o perímetro P do triângulo.
     
  2. Obtiveste em 1. uma equação com duas variáveis, P e x, resolvida em ordem a P.
    Resolve-a em ordem a x.

Resolução >> Resolução

  1. Ora, $P=x+(x+1)+(x+2)\Leftrightarrow P=3x+3$.
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As economias do Nuno

Equações do 1.º grau: Matematicamente Falando 8 - Parte 2 Pág. 61 Ex. 4

Enunciado

O Nuno gasta $\frac{2}{5}$ das suas economias e depois a quarta parte do que lhe resta. No fim, sobram-lhe ainda 10,80 euros.

Quanto dinheiro tinha no início?

Resolução >> Resolução

Seja x o dinheiro (em euros) inicial do Nuno.

Assim, temos:

  • Primeiro gasto: $\frac{2x}{5}$
     
  • O que resta ao fim do primeiro gasto: $x-\frac{2x}{5}$
     
  • Segundo gasto: $\frac{1}{4}\left( x-\frac{2x}{5} \right)$
     

Logo, \[\begin{array}{*{35}{l}}
   \frac{2x}{5}+\frac{1}{4}\left( x-\frac{2x}{5} \right)+10,8=x & \Leftrightarrow  & \frac{2x}{\underset{(4)}{\mathop{5}}\,}+\frac{x}{\underset{(5)}{\mathop{4}}\,}-\frac{x}{\underset{(2)}{\mathop{10}}\,}+\underset{(20)}{\mathop{10,8}}\,=\underset{(20)}{\mathop{x}}\,  \\
   {} & \Leftrightarrow  & 8x+5x-2x+216=20x  \\
   {} & \Leftrightarrow  & 9x=216  \\
   {} & \Leftrightarrow  & x=24  \\
\end{array}\]

No início, o Nuno tinha 24 euros.…

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A idade da Rita

Equações do 1.º grau: Matematicamente Falando 8 - Parte 2 Pág. 61 Ex. 3

Enunciado

A Rita diz que daqui a 18 anos, a terça parte da sua idade será metade da sua idade actual.

Qual é a idade da Rita?

Resolução >> Resolução

Seja x a idade (em anos) actual da Rita.

Assim, temos:

  • A idade da Rita daqui a 18 anos: $x+18$
     
  • A terça parte da idade da Rita daqui a 18 anos: $\frac{x+18}{3}$
     
  • Metade da idade actual da Rita: $\frac{x}{2}$
     

Logo, \[\begin{array}{*{35}{l}}
   \frac{x+18}{\underset{(2)}{\mathop{3}}\,}=\frac{x}{\underset{(3)}{\mathop{2}}\,} & \Leftrightarrow  & 2x+36=3x  \\
   {} & \Leftrightarrow  & x=36  \\
\end{array}\]

A Rita tem 36 anos.…

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Uma equipa de futebol

Equações do 1.º grau: Matematicamente Falando 8 - Parte 2 Pág. 61 Ex. 2

Enunciado

Uma equipa de futebol ganhou $\frac{4}{7}$ dos jogos que efectuou, empatou $\frac{2}{5}$ dos jogos e perdeu 6.

Quantos jogos efectuou esta equipa?

Resolução >> Resolução

Seja x o número de jogos efectuados por esta equipa.

Assim, temos:

  • Número de vitórias: $\frac{4x}{7}$
     
  • Número de empates: $\frac{2x}{5}$
     
  • Número de derrotas: $6$
     

Logo, \[\begin{array}{*{35}{l}}
   \frac{4x}{\underset{(5)}{\mathop{7}}\,}+\frac{2x}{\underset{(7)}{\mathop{5}}\,}+\underset{(35)}{\mathop{6}}\,=\underset{(35)}{\mathop{x}}\, & \Leftrightarrow  & 20x+14x+210=35x  \\
   {} & \Leftrightarrow  & -x=-210  \\
   {} & \Leftrightarrow  & x=210  \\
\end{array}\]

A equipa efectuou 210 jogos.…

Liga cada equação à sua solução 0

Liga cada equação à sua solução

Equações do 1.º grau: Matematicamente Falando 8 - Parte 2 Pág. 61 Ex. 1

Enunciado

Liga cada equação à sua solução:

1 \[(x-7)-(3x+2)=9\] A  \[2,7\]
2  \[\frac{x+3}{2}=\frac{x-5}{3}\] B  \[-19\]
3  \[\frac{2}{3}(a+1)=\frac{a}{6}\] C  \[-9\]
4  \[6x-\frac{3}{2}=5x+\frac{6}{5}\] D  \[-\frac{4}{5}\]
5  \[b-\frac{1}{3}(b-1)=\frac{b}{4}\] E  \[-\frac{4}{3}\]

Resolução >> Resolução

\[\begin{array}{*{35}{l}}
   (x-7)-(3x+2)=9 & \Leftrightarrow  & x-7-3x-2=9  \\
   {} & \Leftrightarrow  & -2x=18  \\
   {} & \Leftrightarrow  & x=-9  \\
\end{array}\]
 

\[\begin{array}{*{35}{l}}
   \frac{x+3}{\underset{(3)}{\mathop{2}}\,}=\frac{x-5}{\underset{(2)}{\mathop{3}}\,} & \Leftrightarrow  & 3x+9=2x-10  \\
   {} & \Leftrightarrow  & x=-19  \\
\end{array}\]
 

\[\begin{array}{*{35}{l}}
   \frac{2}{3}(a+1)=\frac{a}{6} & \Leftrightarrow  & \frac{2a}{\underset{(2)}{\mathop{3}}\,}+\frac{2}{\underset{(2)}{\mathop{3}}\,}=\frac{a}{\underset{(1)}{\mathop{6}}\,}  \\
   {} & \Leftrightarrow  & 4a+4=a  \\
   {} & \Leftrightarrow  & 3a=-4  \\
   {} & \Leftrightarrow  & a=-\frac{4}{3}  \\
\end{array}\]
 

\[\begin{array}{*{35}{l}}
   \underset{(10)}{\mathop{6x}}\,-\frac{3}{\underset{(5)}{\mathop{2}}\,}=\underset{(10)}{\mathop{5x}}\,+\frac{6}{\underset{(2)}{\mathop{5}}\,} & \Leftrightarrow  & 60x-15=50x+12  \\
   {} & \Leftrightarrow  & 10x=27  \\
   {} & \Leftrightarrow  & x=2,7  \\
\end{array}\]
 

\[\begin{array}{*{35}{l}}
   b-\frac{1}{3}(b-1)=\frac{b}{4} & \Leftrightarrow  & \underset{(12)}{\mathop{b}}\,-\frac{b}{\underset{(4)}{\mathop{3}}\,}+\frac{1}{\underset{(4)}{\mathop{3}}\,}=\frac{b}{\underset{(3)}{\mathop{4}}\,}  \\
   {} & \Leftrightarrow  & 12b-4b+4=3b  \\
   {} & \Leftrightarrow  & 5b=-4  \\
   {} & \Leftrightarrow  & b=-\frac{4}{5}  \\
\end{array}\]
 

CHAVE
1 2 3 4 5
C B E A D

 

<< Enunciado
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Num cabaz

Equações do 1.º grau: Matematicamente Falando 8 - Parte 2 Pág. 57 Ex. 5

Enunciado

Num cabaz há maçãs, pêssegos e bananas.

O número de maçãs é duplo do dos pêssegos e o número de bananas é um terço do dos pêssegos.

Quantas são as peças de cada qualidade de fruta se o cabaz tiver 15 frutos?

Rsolução >> Rsolução

Designando o número de pêssegos por x, temos:

  • Número de maçãs: $2x$
     
  • Número de bananas: $\frac{x}{3}$

 
Assim, vem:

\[\begin{array}{*{35}{l}}
   x+2x+\frac{x}{3}=15 & \Leftrightarrow  & 3x+6x+x=45\,\,(\text{Porqu }\!\!\hat{\mathrm{e}}\!\!\text{ ?})  \\
   {} & \Leftrightarrow  & 10x=45  \\
   {} & \Leftrightarrow  & x=4,5  \\
\end{array}\]

Como o número de pêssegos tem de ser um número inteiro positivo, conclui-se que o problema é impossível.…

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A um certo número

Equações do 1.º grau: Matematicamente Falando 8 - Parte 2 Pág. 57 Ex. 4

Enunciado

A um certo número adicionou-se $\frac{2}{3}$ do número.

A essa soma subtraiu-se $\frac{1}{3}$ da soma, tendo-se obtido $10$.

Qual é o número?

Resolução >> Resolução

 Designando esse número por x, temos:

  • Dois terços do número: $\frac{2x}{3}$
     
  • Essa soma: $x+\frac{2x}{3}$
     
  • Um terço da soma: $\frac{1}{3}(x+\frac{2x}{3})$

 
Assim, temos:

\[\begin{array}{*{35}{l}}
   (x+\frac{2x}{3})-\frac{1}{3}(x+\frac{2x}{3})=10 & \Leftrightarrow  & \underset{(9)}{\mathop{x}}\,+\frac{2x}{\underset{(3)}{\mathop{3}}\,}-\frac{x}{\underset{(3)}{\mathop{3}}\,}-\frac{2x}{\underset{(1)}{\mathop{9}}\,}=\underset{(9)}{\mathop{10}}\,  \\
   {} & \Leftrightarrow  & 9x+6x-3x-2x=90  \\
   {} & \Leftrightarrow  & 10x=90  \\
   {} & \Leftrightarrow  & x=9  \\
\end{array}\]

Portanto, o número procurado é 9.…

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Verifica se o número indicado é solução da equação

Equações do 1.º grau: Matematicamente Falando 8 - Parte 2 Pág. 57 Ex. 3

Enunciado

Verifica, sem resolveres as equações, se o número indicado entre parênteses é ou não solução da equação:

  1. $\frac{a-2}{5}+\frac{a+3}{2}=\frac{1}{10}$, $(0)$;
     
  2. $\frac{3(x-1)}{2}-\frac{2(x-1)}{3}=0$, $(1)$

Resolução >> Resolução

  1. Substituindo a por $0$, vem:
    \[\begin{array}{*{35}{l}}
       \frac{0-2}{5}+\frac{0+3}{2}=\frac{1}{10} & \Leftrightarrow  & -\frac{2}{\underset{(2)}{\mathop{5}}\,}+\frac{3}{\underset{(5)}{\mathop{2}}\,}=\frac{1}{10}  \\
       {} & \Leftrightarrow  & -\frac{4}{10}+\frac{15}{10}=\frac{1}{10}  \\
       {} & \Leftrightarrow  & \frac{11}{10}=\frac{1}{10}  \\
    \end{array}\]
    Como a proposição obtida é falsa, $0$ não é solução da equação.