Category: Equações de grau superior ao 1.º

Resolve as seguintes equações 0

Resolve as seguintes equações

Equações de grau superior ao 1.º: Matematicamente Falando 8 - Parte 2 Pág. 81 Ex. 9

Enunciado

Resolve as seguintes equações:

  1. $x(x-1)=0$
     
  2. $(a-1)(a+1)=0$
     
  3. ${{x}^{2}}-2x=0$
     
  4. ${{a}^{2}}-6a+9=0$
     
  5. $4{{y}^{2}}+25=20y$
     
  6. ${{c}^{2}}-0,25=0$
     
  7. $0,04{{x}^{2}}-0,4x+1=0$
     
  8. ${{x}^{2}}=0,01$

Resolução >> Resolução

  1.  
    \[\begin{array}{*{35}{l}}
       x(x-1)=0 & \Leftrightarrow  & \begin{array}{*{35}{l}}
       x=0 & \vee  & x-1=0  \\
    \end{array}  \\
       {} & \Leftrightarrow  & \begin{array}{*{35}{l}}
       x=0 & \vee  & x=1  \\
    \end{array}  \\
    \end{array}\]
     
  2.  
    \[\begin{array}{*{35}{l}}
       (a-1)(a+1)=0 & \Leftrightarrow 
Determina o conjunto-solução de cada uma das equações 0

Determina o conjunto-solução de cada uma das equações

Equações de grau superior ao 1.º: Matematicamente Falando 8 - Parte 2 Pág. 78 Ex. 23

Enunciado

Determina o conjunto-solução de cada uma das equações:

  1. ${{x}^{2}}-6x+9=0$
     
  2. ${{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+x=0$
     
  3. ${{x}^{2}}-16=0$
     
  4. $x({{x}^{2}}-25)=0$
     
  5. $8{{x}^{3}}-2x=0$
     
  6. $4{{x}^{2}}+4x+1=0$
     
  7. ${{x}^{2}}-36=0$
     
  8. ${{x}^{2}}-{{(3x+1)}^{2}}=0$
     
  9. ${{(x+1)}^{2}}-(x+1)=0$

Resolução >> Resolução

  1.  
    \[\begin{array}{*{35}{l}}
       {{x}^{2}}-6x+9=0 & \Leftrightarrow  & {{(x-3)}^{2}}=0  \\
       {} & \Leftrightarrow  & (x-3)=0  \\
       {} & \Leftrightarrow  & x=3  \\
    \end{array}\]
     
    Portanto, o conjunto-solução da equação é $S=\left\{
Resolve as equações, utilizando a lei do anulamento do produto 6

Resolve as equações, utilizando a lei do anulamento do produto

Equações de grau superior ao 1.º: Matematicamente Falando 8 - Parte 2 Pág. 77 Ex. 22

Enunciado

Resolve as equações, utilizando a lei do anulamento do produto:

  1. $x(x+2)=0$
     
  2. $(2x+1)(x-\frac{1}{3})=0$
     
  3. ${{x}^{2}}+3x=0$
     
  4. $3{{z}^{2}}-12z=0$
     
  5. $(x-3)(2+7x)=0$
     
  6. $x(x+1)+2(x+1)=0$
     
  7. $-x(x+4)=0$
     
  8. $(x+4)x-3(x+4)=0$
     
  9. $3(x-2)(x+2)=0$
     
  10. $16x+2{{x}^{2}}=0$
     
  11. $2{{m}^{2}}+5m=0$

Resolução >> Resolução

Lei do anulamento do produto

Um produto é nulo se e só se pelo menos um dos factores for nulo.

$\begin{matrix}
A\times B=0

Será possível factorizar o trinómio $4{{x}^{2}}+10x+9$ ? 0

Será possível factorizar o trinómio $4{{x}^{2}}+10x+9$ ?

Equações de grau superior ao 1.º: Matematicamente Falando 8 - Parte 2 Pág. 75 Ex. 21
Será possível factorizar o trinómio $4{{x}^{2}}+10x+9$ ?
Decompõe em factores os polinómios 0

Decompõe em factores os polinómios

Equações de grau superior ao 1.º: Matematicamente Falando 8 - Parte 2 Pág. 75 Ex. 20

Enunciado

Decompõe em factores os polinómios:

  1. ${{x}^{2}}-6x+9$
     
  2. $4{{x}^{2}}+4x+1$
     
  3. ${{a}^{2}}+2ab+{{b}^{2}}$
     
  4. ${{y}^{2}}-25$
     
  5. $4{{a}^{2}}-1$
     
  6. $8{{x}^{3}}y-2x{{y}^{3}}$
     
  7. $2{{x}^{2}}+12x+18$
     
  8. $3{{a}^{2}}x+6ax+3x$
     
  9. ${{x}^{3}}-x$
     
  10. ${{a}^{2}}(a-2)-2a(a-2)+(a-2)$

Resolução >> Resolução

  1.  
    $\begin{array}{*{35}{l}}
       {{x}^{2}}-6x+9 & = & {{(x-3)}^{2}}  \\
       {} & = & (x-3)(x-3)  \\
    \end{array}$
     
  2.  
    $\begin{array}{*{35}{l}}
       4{{x}^{2}}+4x+1 & = & {{(2x+1)}^{2}}  \\
       {} & = & (2x+1)(2x+1)  \\
    \end{array}$
     
  3.  
    $\begin{array}{*{35}{l}}
Transforma as seguintes expressões em produtos 0

Transforma as seguintes expressões em produtos

Equações de grau superior ao 1.º: Matematicamente Falando 8 - Parte 2 Pág. 74 Ex. 19

Enunciado

Transforma as seguintes expressões em produtos, colocando os factores comuns em evidência:

  1. $mx+nx$
     
  2. $6+3x$
     
  3. $4a-8$
     
  4. $5x-10{{x}^{2}}$
     
  5. $8{{x}^{2}}+2x-4$
     
  6. $5{{a}^{3}}-15{{a}^{2}}+5a$
     
  7. $\frac{1}{5}{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}$
     
  8. $3(x-5)+x(x-5)$
     
  9. $\frac{1}{2}(x-2)+(x-2)x$
     
  10. ${{(x+7)}^{2}}-(x+7)$
     
  11. ${{(x-2)}^{2}}-2(x-2)$
     
  12. $6+2y+3x+xy$

Resolução >> Resolução

  1.  
    $mx+nx=x(m+n)$
     
  2.  
    $6+3x=3(2+x)$
     
  3.  
    $4a-8=4(a-2)$
     
  4.  
    $5x-10{{x}^{2}}=5x(1-2x)$
     
  5.  
    $8{{x}^{2}}+2x-4=2(4{{x}^{2}}+x-2)$
     
  6.  
    $5{{a}^{3}}-15{{a}^{2}}+5a=5a({{a}^{2}}-3a+1)$
     
  7.  
    $\frac{1}{5}{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}={{x}^{2}}(\frac{1}{5}x-3)$
     
  8.  
    $3(x-5)+x(x-5)=(x-5)(3+x)$
     
  9.  
    $\frac{1}{2}(x-2)+(x-2)x=(x-2)(\frac{1}{2}+x)$
     
  10.  
    $\begin{array}{*{35}{l}}
       {{(x+7)}^{2}}-(x+7) & = & (x+7)\left[ (x+7)-1 \right]  \\
       {} &
Calcula mentalmente 0

Calcula mentalmente

Equações de grau superior ao 1.º: Matematicamente Falando 8 - Parte 2 Pág. 81 Ex. 8

Enunciado

Calcula mentalmente: $\begin{matrix}
   {{101}^{2}} & {} & {{99}^{2}} & {} & 49\times 51  \\
\end{matrix}$

Explica como procedeste.

Resolução >> Resolução

\[\begin{array}{*{35}{l}}
   {{101}^{2}} & = & {{(100+1)}^{2}}  \\
   {} & = & 10000+200+1  \\
   {} & = & 10201  \\
\end{array}\]
 

\[\begin{array}{*{35}{l}}
   {{99}^{2}} & = & {{(100-1)}^{2}}  …

Desenvolve e simplifica 0

Desenvolve e simplifica

Equações de grau superior ao 1.º: Matematicamente Falando 8 - Parte 2 Pág. 81 Ex. 7

Enunciado

Desenvolve e simplifica cada uma das seguintes expressões:

  1. $15x-{{(x+7)}^{2}}$
     
  2. $x(x-1)-{{(x-2)}^{2}}$
     
  3. $(x+2)(x-3)+{{(x+1)}^{2}}$
     
  4. ${{(x+\frac{1}{2})}^{2}}-{{(x-\frac{1}{2})}^{2}}-\frac{3}{4}(x-1)(x+1)$

Resolução >> Resolução

  1.  
    \[\begin{array}{*{35}{l}}
       15x-{{(x+7)}^{2}} & = & 15x-({{x}^{2}}+14x+49)  \\
       {} & = & 15x-{{x}^{2}}-14x-49  \\
       {} & = & -{{x}^{2}}+x-49  \\
    \end{array}\]
     
  2.  
    \[\begin{array}{*{35}{l}}
       x(x-1)-{{(x-2)}^{2}} & = & {{x}^{2}}-x-({{x}^{2}}-4x+4)  \\
       {} & = & {{x}^{2}}-x-{{x}^{2}}+4x-4) 
Completa 0

Completa

Equações de grau superior ao 1.º: Matematicamente Falando 8 - Parte 2 Pág. 71 Ex. 18

Enunciado

Completa:

  1. $(….+….)(2x-….)=….-9$
     
  2. $(4a+….)(….-….)=16{{a}^{2}}-25$
     
  3. $(….-x)(….+….)=4-{{x}^{2}}$

Resolução >> Resolução

  1. $(….+….)(2x-….)=….-9$
     
    $(2x+3)(2x-3)=4{{x}^{2}}-9$
     
  2. $(4a+….)(….-….)=16{{a}^{2}}-25$
     
    $(4a+5)(4a-5)=16{{a}^{2}}-25$
     
  3. $(….-x)(….+….)=4-{{x}^{2}}$
     
    $(2-x)(2+x)=4-{{x}^{2}}$
<< Enunciado
Calcula 0

Calcula

Equações de grau superior ao 1.º: Matematicamente Falando 8 - Parte 2 Pág. 71 Ex. 17

Enunciado

Calcula:

  1. $(x+5)(x-5)$
     
  2. $(2x-1)(2x+1)$
     
  3. $(1-x)(1+x)$
     
  4. $(1-\frac{1}{2}x)(1+\frac{1}{2}x)$
     
  5. $(4xy-3)(4xy+3)$

Resolução >> Resolução

  1.  
    \[\begin{array}{*{35}{l}}
       (x+5)(x-5) & = & {{x}^{2}}-{{5}^{2}}  \\
       {} & = & {{x}^{2}}-25  \\
    \end{array}\]
     
  2.  
    \[\begin{array}{*{35}{l}}
       (2x-1)(2x+1) & = & {{(2x)}^{2}}-{{1}^{2}}  \\
       {} & = & 4{{x}^{2}}-1  \\
    \end{array}\]
     
  3.  
    \[\begin{array}{*{35}{l}}
       (1-x)(1+x) & = & {{1}^{2}}-{{x}^{2}}  \\
       {} & =
Completa 0

Completa

Equações de grau superior ao 1.º: Matematicamente Falando 8 - Parte 2 Pág. 70 Ex. 16

Enunciado

Completa:

  1. ${{(x+….)}^{2}}=….+8x+16$
     
  2. ${{(….+4)}^{2}}=9{{x}^{2}}+24x+….$
     
  3. ${{(5x-….)}^{2}}=….-….+9$
     
  4. ${{(….-….)}^{2}}={{x}^{2}}-2x+….$

Resolução >> Resolução

  1. ${{(x+….)}^{2}}=….+8x+16$
     
    ${{(x+4)}^{2}}={{x}^{2}}+8x+16$
     
  2. ${{(….+4)}^{2}}=9{{x}^{2}}+24x+….$
     
    ${{(3x+4)}^{2}}=9{{x}^{2}}+24x+16$
     
  3. ${{(5x-….)}^{2}}=….-….+9$
     
    ${{(5x-3)}^{2}}=25{{x}^{2}}-30x+9$
     
  4. ${{(….-….)}^{2}}={{x}^{2}}-2x+….$
     
    ${{(x-1)}^{2}}={{x}^{2}}-2x+1$
<< Enunciado
Calcula 0

Calcula

Equações de grau superior ao 1.º: Matematicamente Falando 8 - Parte 2 Pág. 70 Ex. 15

Enunciado

Calcula:

  1. ${{(2x-3)}^{2}}$
     
  2. ${{(x+7)}^{2}}$
     
  3. ${{\left( y+\frac{1}{2} \right)}^{2}}$
     
  4. ${{(4a-3b)}^{2}}$
     
  5. ${{(-x-1)}^{2}}$
     
  6. ${{(x+1)}^{2}}$

Resolução >> Resolução

  1.  
    \[\begin{array}{*{35}{l}}
       {{(2x-3)}^{2}} & = & {{(2x)}^{2}}+2\times 2x\times (-3)+{{(-3)}^{2}}  \\
       {} & = & 4{{x}^{2}}-12x+9  \\
    \end{array}\]
     
  2.  
    \[\begin{array}{*{35}{l}}
       {{(x+7)}^{2}} & = & {{x}^{2}}+2\times x\times 7+{{7}^{2}}  \\
       {} & = & {{x}^{2}}+14x+49  \\
    \end{array}\]
     
  3.  
    \[\begin{array}{*{35}{l}}
       {{\left( y+\frac{1}{2}
0

Um triângulo rectângulo

Equações de grau superior ao 1.º: Matematicamente Falando 8 - Parte 2 Pág. 81 Ex. 6

Enunciado

Determina o valor de x de modo que o triângulo seja rectângulo.

Resolução >> Resolução

Para que o triângulo seja rectângulo terá de se verificar: ${{x}^{2}}+{{9}^{2}}={{(x+4)}^{2}}$. (Porquê?)

Assim, temos:

\[\begin{array}{*{35}{l}}
   {{x}^{2}}+{{9}^{2}}={{(x+4)}^{2}} & \Leftrightarrow  & {{x}^{2}}+81=(x+4)(x+4)  \\
   {} & \Leftrightarrow  & {{x}^{2}}+81={{x}^{2}}+4x+4x+16  \\
   {} & \Leftrightarrow  & 8x=65  …

0

O número de azulejos

Equações de grau superior ao 1.º: Matematicamente Falando 8 - Parte 2 Pág. 81 Ex. 5

Enunciado

Queremos dispor em forma de quadrado vários azulejos, de forma também quadrada.

Experimentámos de duas maneiras. Da primeira vez sobraram 39. Acrescentámos então mais um azulejo de cada lado. Desta vez faltaram 50.

De quantos azulejos dispúnhamos inicialmente?

Resolução >> Resolução

Seja N o número de azulejos …

Dados os polinómios 0

Dados os polinómios

Equações de grau superior ao 1.º: Matematicamente Falando 8 - Parte 2 Pág. 80 Ex. 4

Enunciado

Dados os polinómios:

$A=2{{x}^{2}}-x-1$ $B=-3{{x}^{2}}+3x$ $C=4{{x}^{3}}-3$ $D=2x+6$
  1. Qual é o grau de cada um dos polinómios?
     
  2. Calcula, reduzindo os termos semelhantes:
  • $A+B$
     
  • $A+C+D$
     
  • $2B-3D$
     
  • $C\times D$

Resolução >> Resolução

$A=2{{x}^{2}}-x-1$ $B=-3{{x}^{2}}+3x$ $C=4{{x}^{3}}-3$ $D=2x+6$
  1. Os polinómios A e B são de grau 2, o polinómio C é de
0

Observa os rectângulos

Equações de grau superior ao 1.º: Matematicamente Falando 8 - Parte 2 Pág. 80 Ex. 3

Enunciado

Observa os rectângulos.

Calcula:

  1. a área de cada um dos rectângulos na forma reduzida;
     
  2. a diferença entre a área do rectângulo A e a área do rectângulo B.

Resolução >> Resolução

  1. A área dos rectângulos pode ser expressa por:
     
    $\begin{array}{*{35}{l}}
       {{A}_{A}} & = & 0,5x\times 3y  \\
Indica pares de monómios semelhantes 0

Indica pares de monómios semelhantes

Equações de grau superior ao 1.º: Matematicamente Falando 8 - Parte 2 Pág. 80 Ex. 2

Enunciado

Indica pares de monómios semelhantes:

(I) (II) (III) (IV) (V) (VI)
$4x$ $8{{a}^{2}}$ $-2{{a}^{2}}x$ $3,4x$ ${{a}^{2}}x$ ${{a}^{2}}$

Resolução >> Resolução

(I) (II) (III) (IV) (V) (VI)
$4x$ $8{{a}^{2}}$ $-2{{a}^{2}}x$ $3,4x$ ${{a}^{2}}x$ ${{a}^{2}}$

São semelhantes os monómios: I e IV; II e VI; III e V.

 

<<
Completa o seguinte quadro 0

Completa o seguinte quadro

Equações de grau superior ao 1.º: Matematicamente Falando 8 - Parte 2 Pág. 80 Ex. 1
Completa o seguinte quadro:
Calcula e simplifica 0

Calcula e simplifica

Equações de grau superior ao 1.º: Matematicamente Falando 8 - Parte 2 Pág. 67 Ex. 14
Calcula e simplifica: $2x({{x}^{2}}+3x-\frac{1}{2})$ $-3x(-x+4)$ $({{x}^{2}}-7x)\times \frac{{{x}^{3}}}{2}$ $(n-2)(n+3)$ $(3a-1)({{a}^{2}}+\frac{1}{4})$ $(1-m-{{m}^{2}})(m+2)$ $(\frac{a}{2}-3)({{a}^{2}}-6a)$
Calcula e simplifica 0

Calcula e simplifica

Equações de grau superior ao 1.º: Matematicamente Falando 8 - Parte 2 Pág. 66 Ex. 13

Enunciado

Calcula e simplifica:

  1. $3\times 5x$
     
  2. $2a\times (-a)$
     
  3. $-3yz\times \frac{1}{3}y$
     
  4. $-2{{x}^{2}}\times (-5{{x}^{3}})$
     
  5. $3{{a}^{2}}b\times \frac{ab}{3}$
     
  6. ${{({{x}^{2}}y)}^{2}}$
     
  7. ${{\left( -\frac{1}{2}m{{n}^{2}}p \right)}^{3}}$

Resolução >> Resolução

  1. $3\times 5x=(3\times 5)\times x=15x$
     
  2. $2a\times (-a)=2\times (a\times (-a))=2\times (-{{a}^{2}})=-2{{a}^{2}}$
     
  3. $-3yz\times \frac{1}{3}y=(-3\times \frac{1}{3})\times (yz\times y)=-1\times {{y}^{2}}z=-{{y}^{2}}z$
     
  4. $-2{{x}^{2}}\times (-5{{x}^{3}})=(-2\times (-5))\times ({{x}^{2}}\times {{x}^{3}})=10\times {{x}^{5}}=10{{x}^{5}}$
     
  5. $3{{a}^{2}}b\times \frac{ab}{3}=(3\times \frac{1}{3})\times ({{a}^{2}}b\times ab)=1\times {{a}^{3}}{{b}^{2}}={{a}^{3}}{{b}^{2}}$