Categoria: Os números reais

Determina a soma 0

Determina a soma

Os números reais: Matematicamente Falando 9 - Pág. 113 Ex.8

Enunciado

Determina a soma dos números inteiros maiores que $-6$ que satisfazem a inequação:$$2-\frac{x-2}{4}>3+\frac{x-3}{3}$$

Resolução >> Resolução

Começando por resolver a inequação, temos:

$$\begin{array}{*{35}{l}}
   \underset{(12)}{\mathop{2}}\,-\frac{x-2}{\underset{(3)}{\mathop{4}}\,}>\underset{(12)}{\mathop{3}}\,+\frac{x-3}{\underset{(4)}{\mathop{3}}\,} & \Leftrightarrow  & 24-3x+6>36+4x-12  \\
   {} & \Leftrightarrow  & -7x>-6  \\
   {} & \Leftrightarrow  & x<\frac{6}{7}  \\
\end{array}$$

\[S=\left] -\infty ,\frac{6}{7} \right[\]

Os números inteiros maiores que $-6$ que satisfazem a inequação são: $-5$, $-4$, $-3$, $-2$, $-1$ e $0$.…

Considera as seguintes inequações 0

Considera as seguintes inequações

Os números reais: Matematicamente Falando 9 - Pág. 113 Ex.7

Enunciado

Considera as seguintes inequações:

$$\begin{matrix}
   6x-2<0 & {} & -4x\ge -2 & {} & -3x+2>1  \\
\end{matrix}$$

  1. Resolve cada uma delas, apresentando a solução na forma de intervalo.
     
  2. Os números $\frac{1}{3}$ e $-\frac{1}{3}$ são soluções comuns às três inequações? Justiifca.

Resolução >> Resolução

  1. 1.ª inequação:
    $$\begin{array}{*{35}{l}}
       6x-2<0 & \Leftrightarrow  & 6x<2  \\
       {} & \Leftrightarrow  & x<\frac{1}{3}  \\
    \end{array}$$
    \[{{S}_{1}}=\left] -\infty ,\frac{1}{3} \right[\]2.ª inequação:
    $$\begin{array}{*{35}{l}}
       -4x\ge -2 & \Leftrightarrow  & x\le \frac{1}{2}  \\
    \end{array}$$
    \[{{S}_{2}}=\left] -\infty ,\frac{1}{2} \right]\]3.ª inequação:
    $$\begin{array}{*{35}{l}}
       -3x+2>1 & \Leftrightarrow  & -3x>-1  \\
       {} & \Leftrightarrow  & x<\frac{1}{3}  \\
    \end{array}$$
    \[{{S}_{3}}=\left] -\infty ,\frac{1}{3} \right[\]
  2. Os números $\frac{1}{3}$ e $-\frac{1}{3}$ não são soluções comuns às três inequações, pois, ainda que $-\frac{1}{3}$ seja solução das três inequações, $\frac{1}{3}$ apenas é solução da 2.ª inequação.
Um retângulo 0

Um retângulo

Os números reais: Matematicamente Falando 9 - Pág. 112 Ex.4

Enunciado

Um retângulo tem de comprimento $2\sqrt{3}+2$ e de largura $\sqrt{3}-1$.

  1. Calcula o perímetro do retângulo.
     
  2. Mostra que a área do retângulo é um número inteiro.

Resolução >> Resolução

  1. Na unidade de comprimento considerada, o perímetro do retângulo é:
    $$\begin{array}{*{35}{l}}
       P & = & 2\times (2\sqrt{3}+2)+2\times (\sqrt{3}-1)  \\
       {} & = & 4\sqrt{3}+4+2\sqrt{3}-2  \\
       {} & = & 2+6\sqrt{3}  \\
    \end{array}$$
  2. Na unidade de área considerada, a área do retângulo é:
    $$\begin{array}{*{35}{l}}
       A & = & (2\sqrt{3}+2)\times (\sqrt{3}-1)  \\
       {} & = & 2\times {{\left( \sqrt{3} \right)}^{2}}-2\sqrt{3}+2\sqrt{3}-2  \\
       {} & = & 2\times 3-2  \\
       {} & = & 4  \\
    \end{array}$$
<< Enunciado
Traduz por uma condição 0

Traduz por uma condição

Os números reais: Matematicamente Falando 9 - Pág. 107 Ex.36

Enunciado

Traduz por uma condição:

Na reta real, a distância de um ponto à origem é inferior a 4 unidades.”

Resolução >> Resolução

Comecemos por representar na reta real os pontos cuja distância à origem é inferior a $4$ unidades:

Os pontos que verificam essa condição possuem abcissas que definem o intervalo \[\left] -4,4 \right[\]

Logo, esse lugar geométrico pode ser caraterizado por qualquer uma das condições seguintes:

\[x>-4\wedge x<4\]

\[-4<x<4\]

\[\left| x \right|<4\]

 

<< Enunciado
Representa em extensão os seguintes conjuntos 0

Representa em extensão os seguintes conjuntos

Os números reais: Matematicamente Falando 9 - Pág. 107 Ex.35

Enunciado

Representa em extensão os seguintes conjuntos:

  1. $A=\left\{ x\in \mathbb{Z}:3(x-1)>4(x+2)\wedge -12\le x+3 \right\}$
     
  2. $B=\left\{ x\in \mathbb{N}:4x-9\le x<2x+1 \right\}$
     
  3. $C=\left\{ x\in \mathbb{R}:3<\frac{x}{4}\vee 2(x-3)<6x \right\}$

Resolução >> Resolução

  1. $A=\left\{ x\in \mathbb{Z}:3(x-1)>4(x+2)\wedge -12\le x+3 \right\}$
     
    Comecemos por resolver a condição:
    $$\begin{array}{*{35}{l}}
       \begin{matrix}
       3(x-1)>4(x+2) & \wedge  & -12\le x+3  \\
    \end{matrix} & \Leftrightarrow  & \begin{matrix}
       3x-3>4x+8 & \wedge  & -x\le 15  \\
    \end{matrix}  \\
       {} & \Leftrightarrow  & \begin{matrix}
       -x>11 & \wedge  & x\ge -15  \\
    \end{matrix}  \\
       {} & \Leftrightarrow  & \begin{matrix}
       x<-11 & \wedge  & x\ge -15  \\
    \end{matrix}  \\
       {} & \Leftrightarrow  & \begin{matrix}
       x\ge -15 & \wedge  & x<-11  \\
    \end{matrix}  \\
    \end{array}$$
    Ora, o conjunto A é constituído pelos números inteiros relativos pertencentes ao intervalo \[\left[ -15,+\infty  \right[\cap \left] -\infty ,-11 \right[=\left[ -15,-11 \right[\]

    Logo:
    $$\begin{array}{*{35}{l}}
       A & = & \left\{ x\in \mathbb{Z}:3(x-1)>4(x+2)\wedge -12\le x+3 \right\}  \\
       {} & = & \left\{ x\in \mathbb{Z}:\begin{matrix}
       x\ge -15 & \wedge  & x<-11  \\
    \end{matrix} \right\}  \\
       {} & = & \left\{ -15,-14,-13,-12 \right\}  \\
    \end{array}$$
     
  2. $B=\left\{ x\in \mathbb{N}:4x-9\le x<2x+1 \right\}$
     
    Comecemos por resolver a condição:
    $$\begin{array}{*{35}{l}}
       4x-9\le x<2x+1 & \Leftrightarrow  & \begin{matrix}
       4x-9\le x & \wedge  & x<2x+1  \\
    \end{matrix}  \\
       {} & \Leftrightarrow  & \begin{matrix}
       3x\le 9 & \wedge  & -x<1  \\
    \end{matrix}  \\
       {} & \Leftrightarrow  & \begin{matrix}
       x\le 3 & \wedge  & x>-1  \\
    \end{matrix}  \\
       {} & \Leftrightarrow  & \begin{matrix}
       x>-1 & \wedge  & x\le 3  \\
    \end{matrix}  \\
    \end{array}$$
    Ora, o conjunto B é constituído pelos números naturais pertencentes ao intevalo
    \[\left] -1,+\infty  \right[\cap \left] -\infty ,3 \right]=\left] -1,3 \right]\]

    Logo:
    $$\begin{array}{*{35}{l}}
       B & = & \left\{ x\in \mathbb{N}:4x-9\le x<2x+1 \right\}  \\
       {} & = & \left\{ x\in \mathbb{N}:\begin{matrix}
       x>-1 & \wedge  & x\le 3  \\
    \end{matrix} \right\}  \\
       {} & = & \left\{ 1,2,3 \right\}  \\
    \end{array}$$
     
  3. $C=\left\{ x\in \mathbb{R}:3<\frac{x}{4}\vee 2(x-3)<6x \right\}$
     
    Comecemos por resolver a condição:
    $$\begin{array}{*{35}{l}}
       \begin{matrix}
       \underset{(4)}{\mathop{3}}\,<\frac{x}{\underset{(1)}{\mathop{4}}\,} & \vee  & 2(x-3)<6x  \\
    \end{matrix} & \Leftrightarrow  & \begin{matrix}
       12<x & \vee  & 2x-6<6x  \\
    \end{matrix}  \\
       {} & \Leftrightarrow  & \begin{matrix}
       x>12 & \vee  & -4x<6  \\
    \end{matrix}  \\
       {} & \Leftrightarrow  & \begin{matrix}
       x>12 & \vee  & x>-\frac{3}{2}  \\
    \end{matrix}  \\
       {} & \Leftrightarrow  & \begin{matrix}
       x>-\frac{3}{2} & \vee  & x>12  \\
    \end{matrix}  \\
    \end{array}$$
    Ora, o conjunto C é constituído pelos números reais pertencentes ao intervalo
    \[\left] -\frac{3}{2},+\infty  \right[\cup \left] 12,+\infty  \right[=\left] -\frac{3}{2},+\infty  \right[\]
    Nota: O intervalo representado a amarelo encontra-se sobreposto ao intervalo representado a azul.
Resolve as inequações 0

Resolve as inequações

Os números reais: Matematicamente Falando 9 - Pág. 105 Ex.33

Enunciado

Resolve as inequações:

  1. $-2x-3>3x-13$
     
  2. $3(x+2)<5(1+x)$
     
  3. $5(x+4)>2x$
     
  4. $12x-(x-1)\ge 7x$
     
  5. $5(1+3x)+\frac{1}{2}>5x$
     
  6. $\frac{1}{3}+\frac{1}{2}(x-1)>2x+1$
     
  7. $\frac{y+3}{6}\le 2-\frac{4-3y}{2}$
     
  8. $\frac{7x-3}{4}-\frac{9x-4}{8}>0$
     
  9. ${{(3+x)}^{2}}>{{x}^{2}}-1+7x$

Resolução >> Resolução

  1.  
    $$\begin{array}{*{35}{l}}
       -2x-3>3x-13 & \Leftrightarrow  & -2x-3x>-13+3  \\
       {} & \Leftrightarrow  & -5x>-10  \\
       {} & \Leftrightarrow  & \frac{-5x}{-5}<\frac{-10}{-5}  \\
       {} & \Leftrightarrow  & x<2  \\
    \end{array}$$
    O conjunto solução é: \[S=\left] -\infty ,2 \right[\] 
  2.  
    $$\begin{array}{*{35}{l}}
       3(x+2)<5(1+x) & \Leftrightarrow  & 3x+6<5+5x  \\
       {} & \Leftrightarrow  & -2x<-1  \\
       {} & \Leftrightarrow  & \frac{-2x}{-2}>\frac{-1}{-2}  \\
       {} & \Leftrightarrow  & x>\frac{1}{2}  \\
    \end{array}$$
    O conjunto solução é:\[S=\left] \frac{1}{2},+\infty  \right[\]
  3.  
    $$\begin{array}{*{35}{l}}
       5(x+4)>2x & \Leftrightarrow  & 5x+20>2x  \\
       {} & \Leftrightarrow  & 3x>-20  \\
       {} & \Leftrightarrow  & \frac{3x}{3}>\frac{-20}{3}  \\
       {} & \Leftrightarrow  & x>-\frac{20}{3}  \\
    \end{array}$$
    O conjunto solução é:\[S=\left] -\frac{20}{3},+\infty  \right[\]
  4.  
    $$\begin{array}{*{35}{l}}
       12x-(x-1)\ge 7x & \Leftrightarrow  & 12x-x+1\ge 7x  \\
       {} & \Leftrightarrow  & 4x\ge -1  \\
       {} & \Leftrightarrow  & \frac{4x}{4}\ge \frac{-1}{4}  \\
       {} & \Leftrightarrow  & x\ge -\frac{1}{4}  \\
    \end{array}$$
    O conjunto solução é:\[S=\left[ -\frac{1}{4},+\infty  \right[\]
  5.  
    $$\begin{array}{*{35}{l}}
       5(1+3x)+\frac{1}{2}>5x & \Leftrightarrow  & \underset{(2)}{\mathop{5}}\,+\underset{(2)}{\mathop{15x}}\,+\frac{1}{\underset{(1)}{\mathop{2}}\,}>\underset{(2)}{\mathop{5x}}\,  \\
       {} & \Leftrightarrow  & 10+30x+1>10x  \\
       {} & \Leftrightarrow  & 20x>-11  \\
       {} & \Leftrightarrow  & x>-\frac{11}{20}  \\
    \end{array}$$
    O conjunto solução é:\[S=\left] -\frac{11}{20},+\infty  \right[\]
  6.  
    $$\begin{array}{*{35}{l}}
       \frac{1}{3}+\frac{1}{2}(x-1)>2x+1 & \Leftrightarrow  & \underset{(2)}{\mathop{\frac{1}{3}}}\,+\underset{(3)}{\mathop{\frac{x}{2}}}\,-\underset{(3)}{\mathop{\frac{1}{2}}}\,>\underset{(6)}{\mathop{2x}}\,+\underset{(6)}{\mathop{1}}\,  \\
       {} & \Leftrightarrow  & 2+3x-3>12x+6  \\
       {} & \Leftrightarrow  & -9x>7  \\
       {} & \Leftrightarrow  & x<-\frac{7}{9}  \\
    \end{array}$$
    O conjunto solução é:\[S=\left] -\infty ,-\frac{7}{9} \right[\]
  7.  
    $$\begin{array}{*{35}{l}}
       \frac{y+3}{\underset{(1)}{\mathop{6}}\,}\le \underset{(6)}{\mathop{2}}\,-\frac{4-3y}{\underset{(3)}{\mathop{2}}\,} & \Leftrightarrow  & y+3\le 12-12+9y  \\
       {} & \Leftrightarrow  & -8y\le -3  \\
       {} & \Leftrightarrow  & \frac{-8y}{-8}\ge \frac{-3}{-8}  \\
       {} & \Leftrightarrow  & y\ge \frac{3}{8}  \\
    \end{array}$$
    O conjunto solução é:\[S=\left[ \frac{3}{8},+\infty  \right[\]
  8.  
    $$\begin{array}{*{35}{l}}
       \frac{7x-3}{\underset{(2)}{\mathop{4}}\,}-\frac{9x-4}{\underset{(1)}{\mathop{8}}\,}>\underset{(8)}{\mathop{0}}\, & \Leftrightarrow  & 14x-6-9x+4>0  \\
       {} & \Leftrightarrow  & 5x>2  \\
       {} & \Leftrightarrow  & x>\frac{2}{5}  \\
    \end{array}$$
    O conjunto solução é:\[S=\left] \frac{2}{5},+\infty  \right[\]
  9.  
    $$\begin{array}{*{35}{l}}
       {{(3+x)}^{2}}>{{x}^{2}}-1+7x & \Leftrightarrow  & 9+6x+{{x}^{2}}>{{x}^{2}}-1+7x  \\
       {} & \Leftrightarrow  & -x>-10  \\
       {} & \Leftrightarrow  & x<10  \\
    \end{array}$$
    O conjunto solução é:\[S=\left] -\infty ,10 \right[\]
<< Enunciado
0

Atenção!

Os números reais: Matematicamente Falando 9 - Pág. 101 Ex. 9

Enunciado

Um aluno escreveu no seu caderno diário a nota :

 

Este resultado é curioso, não é? Onde está o erro? Resolução >> Resolução Considerando a monotonia parcial da multiplicação, ao multiplicar $-5<-4$ por $h$ há duas situações:

  1. Se $h>0$, então: $$-5h<-4h$$
  2. Se $h<0$, então: $$-5h>-4h$$

Assim, ao substituir $h$ por $-2$ deve ter-se em consideração a situação 2: $$\begin{array}{*{35}{l}}    -5\times (-2)>-4\times (-2) & \Leftrightarrow  & 10>8  \\ \end{array}$$

<< Enunciado
Sobre um número real 0

Sobre um número real

Os números reais: Matematicamente Falando 9 - Pág. 101 Ex. 8

Enunciado

Um número $x$ verifica a condição $\frac{2}{3}<x<\frac{3}{4}$.

Enquadra os seguintes números:

  1. $x-1$
     
  2. $x+2$
     
  3. $3x$
     
  4. $-4x$

Resolução >> Resolução

  1. Pela monotonia da adição, adicionando $-1$ a ambos os membros da desigualdade, vem: $$\begin{array}{*{35}{l}}
       \frac{2}{3}<x<\frac{3}{4} & \Leftrightarrow  & \frac{2}{\underset{(1)}{\mathop{3}}\,}-\underset{(3)}{\mathop{1}}\,<x-1<\frac{3}{\underset{(1)}{\mathop{4}}\,}-\underset{(4)}{\mathop{1}}\,  \\
       {} & \Leftrightarrow  & -\frac{1}{3}<x-1<-\frac{1}{4}  \\
    \end{array}$$
  2.  Pela monotonia da adição, adicionando $2$ a ambos os membros da desigualdade, vem: $$\begin{array}{*{35}{l}}
       \frac{2}{3}<x<\frac{3}{4} & \Leftrightarrow  & \frac{2}{\underset{(1)}{\mathop{3}}\,}+\underset{(3)}{\mathop{2}}\,<x+2<\frac{3}{\underset{(1)}{\mathop{4}}\,}+\underset{(4)}{\mathop{2}}\,  \\
       {} & \Leftrightarrow  & \frac{8}{3}<x+2<\frac{11}{4}  \\
    \end{array}$$
  3. Pela monotonia parcial da multiplicação, multiplicando por $3$ ambos os membros da desigualdade, vem: $$\begin{array}{*{35}{l}}
       \frac{2}{3}<x<\frac{3}{4} & \Leftrightarrow  & 3\times \frac{2}{3}<3\times x<3\times \frac{3}{4}  \\
       {} & \Leftrightarrow  & 2<3x<\frac{9}{4}  \\
    \end{array}$$
  4. Pela monotonia parcial da multiplicação, multiplicando por $-4$ ambos os membros da desigualdade, vem: $$\begin{array}{*{35}{l}}
       \frac{2}{3}<x<\frac{3}{4} & \Leftrightarrow  & -4\times \frac{2}{3}>-4\times x>-4\times \frac{3}{4}  \\
       {} & \Leftrightarrow  & -\frac{8}{3}>-4x>-3  \\
       {} & \Leftrightarrow  & -3<-4x<-\frac{8}{3}  \\
    \end{array}$$
<< Enunciado
0

Ficha de Trabalho

9.º Ano: Os números reais; Inequações

A presente Ficha de Trabalho aborda o tema Os números reais; Inequações.

As dificuldades que encontres durante a sua resolução deves tentar superá-las consultando o manual e o caderno diário; depois, poderás tirar as dúvidas na aula ou na sala de estudo.

A realização da Ficha de Trabalho de forma empenhada contribuirá para uma preparação adequada para o Teste de Avaliação.…

O resultado de cada expressão 0

O resultado de cada expressão

Os números reais: Matematicamente Falando 9 - Pág. 101 Ex. 4

Enunciado

Copia o quadro e indica, com uma cruz, o resultado de cada expressão:

… é igual a … $2$ $\sqrt{2}$ $2\sqrt{2}$ $4\sqrt{2}$
$\sqrt{2}+\sqrt{2}$        
$\sqrt{2}\times \sqrt{2}$        
$\frac{10\sqrt{2}}{5}$        
$\frac{2}{\sqrt{2}}$        
$5\sqrt{2}-3\sqrt{2}$        
${{\left( \sqrt{2}+1 \right)}^{2}}-{{\left( \sqrt{2}-1 \right)}^{2}}$        
${{\left( \frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2} \right)}^{2}}$        

Resolução >> Resolução

… é igual a … $2$ $\sqrt{2}$ $2\sqrt{2}$ $4\sqrt{2}$
$\sqrt{2}+\sqrt{2}$     ×  
$\sqrt{2}\times \sqrt{2}$ ×      
$\frac{10\sqrt{2}}{5}$     ×  
$\frac{2}{\sqrt{2}}$   ×     
$5\sqrt{2}-3\sqrt{2}$     ×  
${{\left( \sqrt{2}+1 \right)}^{2}}-{{\left( \sqrt{2}-1 \right)}^{2}}$       × 
${{\left( \frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2} \right)}^{2}}$ ×       

 $$\frac{2}{\sqrt{2}}=\frac{2}{\sqrt{2}}\times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$$

$${{\left( \sqrt{2}+1 \right)}^{2}}-{{\left( \sqrt{2}-1 \right)}^{2}}=\left[ \left( \sqrt{2}+1 \right)+\left( \sqrt{2}-1 \right) \right]\times \left[ \left( \sqrt{2}+1 \right)-\left( \sqrt{2}-1 \right) \right]=2\sqrt{2}\times 2=4\sqrt{2}$$

<< Enunciado