Categoria: Funções exponenciais e logarítmicas

Determine a expressão designatória da função derivada 0

Determine a expressão designatória da função derivada

Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 47 Ex. 19

Enunciado

Determine a expressão designatória da função derivada de cada uma das funções:

  1. $f:x \to 2\operatorname{sen} x + 5$
     
  2. $g:t \to t – 2\operatorname{sen} t$
     
  3. $h:\theta  \to {\theta ^2}\operatorname{sen} \theta $

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  1.  
    $$\begin{array}{*{20}{l}}
      {f'(x)}& = &{\left( {2\operatorname{sen} x + 5} \right)’} \\
      {}& = &{2 \times \left( {\operatorname{sen} x} \right)’ + 0} \\
      {}& = &{2\cos x}
    \end{array}$$
     
  2.  
    $$\begin{array}{*{20}{l}}
      {g'(t)}& = &{\left( {t – 2\operatorname{sen} t} \right)’} \\
      {}& = &{t’ – 2 \times \left( {\operatorname{sen} t} \right)’} \\
      {}& = &{1 – 2\cos t}
    \end{array}$$
     
  3.  
    $$\begin{array}{*{20}{l}}
      {h'(\theta )}& = &{\left( {{\theta ^2}\operatorname{sen} \theta } \right)’} \\
      {}& = &{\left( {{\theta ^2}} \right)’ \times \operatorname{sen} \theta  + {\theta ^2} \times \left( {\operatorname{sen} \theta } \right)’} \\
      {}& = &{2\theta \operatorname{sen} \theta  + {\theta ^2}\cos \theta }
    \end{array}$$
<< Enunciado
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Função logística

 

Evolução de uma população

Pierre Francois Verhulst (1804-1849)

Suponha-se uma população de uma determinada espécie que vive, se reproduz e morre numa determinada região, sem que haja emigração ou imigração de indivíduos dessa espécie.

Em cada instante, designe-se por $P(t)$ o número de indivíduos dessa população.

Um primeiro aspecto que convém notar é que se vai representar por uma função real de variável real um número de indivíduos que é necessariamente inteiro.…

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Número de habitantes de um certo país

Funções exponenciais e logarítmicas: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 210 Ex. 34

Enunciado

Admita que o número de habitantes de um certo país é dado por:

$$N(t)=\frac{100}{1+9\times {{e}^{-0,18\,t}}}$$

com $N$ expresso em milhões e sendo $t$ o número de anos contados desde o início do ano 2000.

  1. Determine o número de habitantes do referido país em 2000.
     
  2. Passado quanto tempo (em mês e ano) a população duplicou?
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Um depósito num banco

Funções exponenciais e logarítmicas: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 204 Ex. 13

Enunciado

Se o capital de ${{C}_{0}}$ euros for depositado num banco, numa conta a prazo à taxa anual $r$ e os juros forem capitalizados $n$ vezes ao ano, o capital $C$ acumulado, ao fim de $t$ anos, será dado, em euros, pela expressão

$$C(t)={{C}_{0}}{{\left( 1+\frac{r}{n} \right)}^{nt}}$$

Sabendo que se depositaram 1000 € à taxa anual de 4%, calcule o capital acumulado após 10 anos se os juros forem capitalizados:

  1. anualmente;
     
  2. trimestralmente;
     
  3. mensalmente;
     
  4. de hora a hora;
     
  5. de minuto a minuto;
     
  6. continuamente.
Considere as funções 0

Considere as funções

Funções exponenciais e logarítmicas: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 204 Ex. 12

Enunciado

Considere as funções $$\begin{array}{*{35}{l}}
   f:x\to \frac{4-\ln (2-x)}{3}  \\
   g:x\to 2+3{{e}^{2x-1}}  \\
   h:x\to {{\log }_{2}}(2x-2)-{{\log }_{2}}(x+2)-2  \\
\end{array}$$

  1. Indique o domínio de cada uma das funções.
     
  2. Caraterize as funções inversas de $f$ e $g$.
     
  3. Determine os zeros de cada uma das funções.
     
  4. Determine os valores de $x$ para os quais $h(x)\le -2$.
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A magnitude de um sismo

Funções exponenciais e logarítmicas: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 203 Ex. 11

Enunciado

A magnitude $M$ de um sismo registada na escala de Richter está relacionada com a energia total $E$, em Joule, libertada por esse sismo pela fórmula: $$M=0,694\log E-3,64$$

  1. Exprima $E$ em função de $M$.
     
  2. Verifique se é verdadeira a afirmação:
    Um sismo de magnitude 6 liberta, aproximadamente, 28 vezes mais energia do que um sismo de magnitide 5.”
     
  3. Por volta das 8 horas do dia 26 de Dezembro de 2004, um sismo de magnitude 9 graus foi registado na ilha de Sumatra, na costa da Indonésia.
Duas funções reais de variável real 0

Duas funções reais de variável real

Funções exponenciais e logarítmicas: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 203 Ex. 10

Enunciado

Considere as funções reais de variável real $f$ e $g$ definidas por $$\begin{matrix}
   f(x)={{e}^{2x+1}} & {} & {} & g(x)=\ln \left( 3-3x \right)  \\
\end{matrix}$$

  1. Qual  o domínio de cada uma das funções?
     
  2. Defina a função $f\circ g$ e simplifique o mais possível a expressão que a representa.
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O nível de um som

Funções exponenciais e logarítmicas: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 203 Ex. 9

Enunciado

O nível $S$ de um som, medido em decibéis, é função da sua intensidade $I$, medida em Watt por metro quadrado, de acordo com a lei $$S=10\log \left( \frac{I}{{{I}_{0}}} \right)$$ sendo ${{I}_{0}}={{10}^{-12}}$ Watt por metro quadrado a menor intensidade de som que o ouvido humano pode detetar:

  1.  Calcule o nível de som quando $I={{I}_{0}}$.
Uma função 0

Uma função

Funções exponenciais e logarítmicas: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 203 Ex. 8

Enunciado

Seja $f$ a função definida em ${{\mathbb{R}}^{+}}$ por $$f(x)={{\log }_{4}}\left( \frac{{{x}^{2}}}{16} \right)-{{\log }_{4}}x$$

  1. Mostre que $f(x)=-2+{{\log }_{4}}x$, para qualquer $x\in {{\mathbb{R}}^{+}}$.
     
  2. Determine a abcissa do ponto de interseção do gráfico de $f$ com a reta de equação $y=3$.

Resolução >> Resolução

  1. O domínio da função é: $$\begin{array}{*{35}{l}}
       {{D}_{f}} & = & \left\{ x\in \mathbb{R}:\left( \frac{{{x}^{2}}}{16} \right)>0\wedge x>0 \right\}  \\
       {} & = & \left\{ x\in \mathbb{R}:x\ne 0\wedge x>0 \right\}  \\
       {} & = & {{\mathbb{R}}^{+}}  \\
    \end{array}$$
     
    Ora, $$\begin{array}{*{35}{l}}
       f(x) & = & {{\log }_{4}}\left( \frac{{{x}^{2}}}{16} \right)-{{\log }_{4}}x  \\
       {} & = & {{\log }_{4}}{{x}^{2}}-\log {}_{4}16-{{\log }_{4}}x  \\
       {} & = & 2{{\log }_{4}}x-2-{{\log }_{4}}x  \\
       {} & = & -2+{{\log }_{4}}x  \\
    \end{array}$$
    Logo, $f(x)=-2+{{\log }_{4}}x\,\,,\forall x\in {{\mathbb{R}}^{+}}$.
A população de uma cidade 0

A população de uma cidade

Funções exponenciais e logarítmicas: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 202 Ex. 7

Enunciado

A população de uma cidade aumenta 5% por ano.

Supõe-se que no início de 1990 a populção era de 100.000 habitantes.

  1. Designe por $P(n)$ o número de habitantes no início do ano $1989+n$ (com $n\in \mathbb{N}$).
    Qual o valor de $P(1)$?
    Estabeleça uma relação entre $P(n)$ e $P(n+1)$ e, em seguida, deduza a espressão de $P(n)$ em função de $n$.