Categoria: Circunferência e polígonos

Área de um setor circular 0

Área de um setor circular

Circunferência e plígonos: Matematicamente Falando 9 - Pág. 37 Ex. 4

Enunciado

A área de um setor circular de raio 4 cm e de ângulo 60º é igual à do setor circular de raio 12 cm e ângulo 20º?

Resolução >> Resolução

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"}; // is3D=is 3D applet using 3D view, AV=Algebra View, SV=Spreadsheet View, CV=CAS View, EV2=Graphics View 2, CP=Construction Protocol, PC=Probability Calculator, DA=Data Analysis, FI=Function Inspector, PV=Python, macro=Macro View var views = {'is3D': 0,'AV': 0,'SV': 0,'CV': 0,'EV2': 0,'CP': 1,'PC': 0,'DA': 0,'FI': 0,'PV': 0,'macro': 0}; var applet = new GGBApplet(parameters, '5.0', views); window.onload = function() {applet.inject('ggbApplet')};

 $$\begin{array}{*{20}{l}}
  {{A_{{\text{Setor AOB}}}}}& = &{\frac{{60^\circ }}{{360^\circ }} \times \pi  \times {4^2}} \\
  {}& = &{\frac{1}{6} \times 16\pi } \\
  {}& = &{\frac{{8\pi }}{3}}
\end{array}$$

 

$$\begin{array}{*{20}{l}}
  {{A_{{\text{Setor COD}}}}}& = &{\frac{{20^\circ }}{{360^\circ }} \times \pi  \times {{12}^2}} \\
  {}& = &{\frac{1}{{18}} \times 144\pi } \\
  {}& = &{8\pi }
\end{array}$$

As áreas não são iguais: uma delas é tripla da outra!…

0

Completa a tabela

Circunferência e plígonos: Matematicamente Falando 9 - Pág. 37 Ex. 3

Enunciado

Os círculos seguintes têm de raio 5 cm.

Completa a tabela:


  Arco AB Arco CD Arco EF
Ângulo ao centro      
Fração do círculo      
Comprimento do arco      
Área do setor circular      

Resolução >> Resolução

  Arco AB Arco CD Arco EF
Ângulo ao centro $90^\circ $ $60^\circ $ $45^\circ $
Fração do círculo $$\frac{{90}}{{360}} = \frac{1}{4}$$ $$\frac{{60}}{{360}} = \frac{1}{6}$$ $$\frac{{45}}{{360}} = \frac{1}{8}$$
Comprimento do arco $$\frac{1}{4} \times 10\pi  = \frac{{5\pi }}{2}$$ $$\frac{1}{6} \times 10\pi  = \frac{{5\pi }}{3}$$ $$\frac{1}{8} \times 10\pi  = \frac{{5\pi }}{4}$$
Área do setor circular $$\frac{1}{4} \times 25\pi  = \frac{{25\pi }}{4}$$ $$\frac{1}{6} \times 25\pi  = \frac{{25\pi }}{6}$$ $$\frac{1}{8} \times 25\pi  = \frac{{25\pi }}{8}$$

 

Perímetro do círculo: ${P_\bigcirc } = 2 \times \pi  \times 5 = 10\pi $

Área do círculo: ${A_\bigcirc } = \pi  \times {5^2} = 25\pi $

 

<< Enunciado
3

Determina a área de um octógono regular

Circunferência e plígonos: Matematicamente Falando 9 - Pág. 37 Ex.1

Enunciado

Determina a área de um octógono regular, sabendo que o lado do polígono é 4 cm e o apótema é $2\left( {1 + \sqrt 2 } \right)$ cm.

Resolução >> Resolução

 Comecemos por determinar a área do triângulo [ABO]:

$$\begin{array}{*{20}{l}}
  {{A_{[ABO]}}}& = &{\frac{{\overline {AB}  \times \overline {OM} }}{2}} \\
  {}& = &{\frac{{4 \times 2\left( {1 + \sqrt 2 } \right)}}{2}} \\
  {}& = &{4\left( {1 + \sqrt 2 } \right)\,\,c{m^2}}
\end{array}$$

Logo a área do octógono é:

$$\begin{array}{*{20}{l}}
  A& = &{8 \times {A_{[ABO]}}} \\
  {}& = &{8 \times 4\left( {1 + \sqrt 2 } \right)} \\
  {}& = &{32\left( {1 + \sqrt 2 } \right)\,\,c{m^2}}
\end{array}$$

 

 


Sobre a correção dos dados do enunciado (1)

(1) Este aditamento vem no seguimento do comentário submetido no dia 26-07-2015.…

0

Calcula o valor de $x$

Circunferência e plígonos: Matematicamente Falando 9 - Pág. 31 Ex.6

Enunciado

Calcula o valor de $x$ na figura seguinte. 

Resolução >> Resolução

A soma das amplitudes dos ângulos internos de um polígono convexo de $n$ lados é dada por $$(n – 2) \times 180^\circ $$

 

Tendo em consideração a relação acima, temos:

$$\begin{array}{*{20}{l}}
  {x + x + x + x + 20 + 70 + x + 30 = (6 – 2) \times 180}& \Leftrightarrow &{5x = 720 – 120} \\
  {}& \Leftrightarrow &{x = 120}
\end{array}$$

Portanto, $x = 120^\circ $.…

1

Um robô

Circunferência e plígonos: Matematicamente Falando 9 - Pág. 31 Ex.5

Enunciado

Um robô foi programado para dar 5 passos e girar $30^\circ $ para a direita.

Quantos passos ele dará para voltar ao ponto de partida, P?

 

Resolução >> Resolução

Num polígono convexo, qualquer que seja o número de lados, a soma das amplitudes dos ângulos externos é $360^\circ $.

Um polígono regular 0

Um polígono regular

Circunferência e plígonos: Matematicamente Falando 9 - Pág. 31 Ex.4

Enunciado

Determina quantos lados tem um polígono regular cujo ângulo interno mede:

  1. 140º
  2. 135º

Resolução >> Resolução

A soma das amplitudes dos ângulos internos de um polígono convexo de $n$ lados é dada por $$(n – 2) \times 180^\circ $$

  1. Como o polígono é regular, as amplitudes dos $n$ ângulos internos é igual.
0

Um pentágono regular

Circunferência e plígonos: Matematicamente Falando 9 - Pág. 31 Ex.3

Enunciado

Calcula a amplitude do ângulo interno e do ângulo externo de um pentágono regular.

Resolução >> Resolução

A soma das amplitudes dos ângulos internos de um polígono convexo de $n$ lados é dada por $$(n – 2) \times 180^\circ $$

 

 Num polígono convexo, qualquer que seja o número de lados, a soma das amplitudes dos ângulos externos é $360^\circ $.

0

Qual é o polígono?

Circunferência e plígonos: Matematicamente Falando 9 - Pág. 31 Ex.2

Enunciado

Qual é o polígono convexo cuja soma das amplitudes dos ângulos internos é:

  1. 720º
  2. 1980º

Resolução >> Resolução

A soma das amplitudes dos ângulos internos de um polígono convexo de $n$ lados é dada por $$(n – 2) \times 180^\circ $$

  1. Tendo em consideração a relação acima, temos: $$\begin{array}{*{20}{l}}   {(n – 2) \times 180 = 720}& \Leftrightarrow &{180n – 360 = 720} \\   {}& \Leftrightarrow &{180n = 1080} \\   {}& \Leftrightarrow &{n = 6} \end{array}$$ Trata-se, portanto, de um hexágono.
0

Observa as figuras e calcula

Circunferência e plígonos: Matematicamente Falando 9 - CA Pág. 30 Ex.3

Enunciado

Observa as figuras e calcula, em cada caso, o valor de x.

Resolução >> Resolução

O ângulo CAD é um ângulo externo do triângulo [ADM], pelo que a sua amplitude é igual à soma das amplitudes dos ângulos internos não adjacentes.

Isto é: $$\begin{array}{*{20}{l}}
  {C\widehat AD}& = &{A\widehat DM + A\widehat MD} \\
  {}& = &{14^\circ  + 20^\circ } \\
  {}& = &{34^\circ }
\end{array}$$

Como o ângulo CAD é um ângulo inscrito, a amplitude do arco compreendido entre os seus lados é dupla da amplitude deste ângulo inscrito.…