Categoria: Teoria de limites

Calcule, se existir, o limite das funções dadas nos pontos indicados 0

Calcule, se existir, o limite das funções dadas nos pontos indicados

Teoria de limites: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 227 Ex. 87

Enunciado

Calcule, se existrir, o limite das funções dadas nos pontos indicados:

  1. $x \to f(x) = {e^{\sqrt[3]{x}}}$, em $ + \infty $ e em $ – \infty $;
     
  2. $x \to f(x) = {e^{ – {x^2}}}$, em $ + \infty $ e em $ – \infty $;
     
  3. $x \to f(x) = \frac{{{x^5}}}{{{2^x}}}$, em $ + \infty $ e em $ – \infty $;
     
  4. $x \to f(x) = {x^2}\,{e^{\frac{1}{x}}}$, em $ + \infty $ e em $ – \infty $;
     
  5. $x \to f(x) = \frac{{{e^x} – 1}}{{2x}}$, em $ + \infty $ e em $0$;
     
  6. $x \to f(x) = \frac{{{e^x}}}{{1 – {e^x}}}$, em $ – \infty $, em $0$ e em $ + \infty $;
     
  7. $x \to f(x) = \frac{{{e^x} – {e^3}}}{{x – 3}}$, em $3$;
     
  8. $x \to f(x) = \frac{{\ln x}}{x}$, em ${0^ + }$;
     
  9. $x \to f(x) = \frac{x}{{\ln x}}$, em ${0^ + }$;
     
  10. $x \to f(x) = x\ln x$, em ${0^ + }$;
     
  11. $x \to f(x) = \frac{{{x^2} – 1}}{{\ln {x^2}}}$, em $1$;
     
  12. $x \to f(x) = \frac{{{e^x}}}{{\ln x}}$, em $ + \infty $.
Seja $g$ a função real de variável real definida por $g(x) = x – 1 + {e^{ – \frac{x}{2}}}$ 0

Seja $g$ a função real de variável real definida por $g(x) = x – 1 + {e^{ – \frac{x}{2}}}$

Teoria de limites: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 210 Ex. 35

Enunciado

 Seja $g$ a função real de variável real definida por $$g(x) = x – 1 + {e^{ – \frac{x}{2}}}$$

  1. Prove, usando um processo analítico, que o gráfico da função admite uma assíntota oblíqua.
     
  2. Prove, recorrendo ao Teorema de Bolzano-Cauchy, que a função $g$ tem um zero no intervalo $\left] { – 3, – 2} \right[$.
Considere a função 0

Considere a função

Teoria de limites: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 210 Ex. 33

Enunciado

Considere a função real de variável real $h$ definida por $$h(x) \to \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
  {\frac{{x – 2}}{{x + 1}}}& \Leftarrow &{x <  – 2} \\
  {\frac{{ – 2x}}{{x + 3}}}& \Leftarrow &{x \geqslant  – 2}
\end{array}} \right.$$

  1. Faça o estudo da continuidade da função $h$.
     
  2. Prove que a função $h$ tem um zero no intervalo $\left] { – \frac{5}{2},\frac{1}{2}} \right[$.
0

Considere a função

Teoria de limites: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 208 Ex. 27

Enunciado

Considere a função $$f:x \to 4{x^3} – 7x + 1$$

  1. Complete o quadro com as imagens dos valores assinalados.
     
    $x$ $-2$   $0$   $1$   $2$
    $f(x)$              
  2. Justifique a seguinte afirmação:
    “A equação $f(x) = 0$ tem três e só três raízes: uma pertencente ao intervalo ]-2, 0[, outra pertencente ao intervalo ]0, 1[ e a terceira pertencente ao intervalo ]1, 2[.”
     
  3. Determine, a menos de $0,1$, a maior das raízes.
Determine $k$ de modo que a reta de equação $y = 3x – 1$ seja assíntota do gráfico da função 0

Determine $k$ de modo que a reta de equação $y = 3x – 1$ seja assíntota do gráfico da função

Teoria de limites: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 207 Ex. 24

Enunciado

Determine $k$ de modo que a reta de equação $y = 3x – 1$ seja assíntota do gráfico da função $$f:x \to \frac{{k{x^3} – 3{x^2} + x + 1}}{{3{x^2} + 1}}$$

Resolução >> Resolução

Ora, $$\begin{array}{*{20}{l}}
  {\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left[ {f(x) – \left( {3x – 1} \right)} \right]}& = &{\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left[ {\frac{{k{x^3} – 3{x^2} + x + 1}}{{3{x^2} + 1}} – \left( {3x – 1} \right)} \right]} \\
  {}& = &{\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{k{x^3} – 3{x^2} + x + 1 – 9{x^3} + 3{x^2} – 3x + 1}}{{3{x^2} + 1}}} \\
  {}& = &{\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{\left( {k – 9} \right){x^3} – 2x + 2}}{{3{x^2} + 1}}}
\end{array}$$

Donde $$\mathop {\lim }\limits_{x \to  – \infty } \left[ {f(x) – \left( {3x – 1} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left[ {f(x) – \left( {3x – 1} \right)} \right] = 0 \Leftrightarrow k – 9 = 0 \Leftrightarrow k = 9$$

Portanto, para $k=9$, a reta de equação $y=3x-1$ é assíntota oblíqua do gráfico de $f$, quando ${x \to  – \infty }$, quer quando ${x \to  + \infty }$.…

Mostre que a reta de equação $y = 2x – 1$ é assíntota do gráfico da função 0

Mostre que a reta de equação $y = 2x – 1$ é assíntota do gráfico da função

Teoria de limites: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 207 Ex. 23

Enunciado

Mostre que a reta de equação $y = 2x – 1$ é assíntota do gráfico da função $$f:x \to \frac{{2{x^3} – {x^2} – x + 1}}{{{x^2} – 1}}$$

Resolução >> Resolução

Ora, \[\begin{array}{*{20}{l}}{\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left[ {f(x) – \left( {2x – 1} \right)} \right]}& = &{\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left[ {\frac{{2{x^3} – {x^2} – x + 1}}{{{x^2} – 1}} – \left( {2x – 1} \right)} \right]}\\{}& = &{\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{2{x^3} – {x^2} – x + 1 – 2{x^3} + {x^2} + 2x – 1}}{{{x^2} – 1}}}\\{}& = &{\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{x}{{{x^2} – 1}}}\\{}& = &{\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{\frac{1}{x}}}{{1 – \frac{1}{{{x^2}}}}}}\\{}& = &0\end{array}\]

Como $$\mathop {\lim }\limits_{x \to  – \infty } \left[ {f(x) – \left( {2x – 1} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left[ {f(x) – \left( {2x – 1} \right)} \right] = 0$$ então a reta de equação $y = 2x – 1$ é assíntota do gráfico de $f$, quando ${x \to  – \infty }$ e quando ${x \to  + \infty }$.…

Dadas as funções reais de variável real 0

Dadas as funções reais de variável real

Teoria de limites: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 207 Ex. 21

Enunciado

Dadas as funções reais de variável real, assim definidas:$$\begin{array}{*{20}{c}}
  {f(x) = {x^2} + 1}&{\text{e}}&{g(x) = \frac{1}{x}}
\end{array}$$

  1. Determine, em função de $h$, a taxa média de variação de cada uma das funções no intervalo $\left[ {1,1 + h} \right]$, com $h > 0$.
     
  2. Calcule se existir:

    a)
    $$\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f(1 + h) – f(1)}}{h}$$
    b)
    $$\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{g(1 + h) – g(1)}}{h}$$
     c)
    $$\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f(a + h) – f(a)}}{h}$$
    d) para ${a \ne 0}$,
    $$\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{g(a + h) – g(a)}}{h}$$

Resolução >> Resolução

$$\begin{array}{*{20}{c}}
  {f(x) = {x^2} + 1}&{\text{e}}&{g(x) = \frac{1}{x}}
\end{array}$$

  1.  
    Para $f$:
    $$\begin{array}{*{20}{l}}
      {tm{v_{\left[ {1,1 + h} \right]}}}& = &{\frac{{f(1 + h) – f(1)}}{h}} \\
      {}& = &{\frac{{{{(1 + h)}^2} + 1 – 2}}{h}} \\
      {}& = &{\frac{{1 + 2h + {h^2} – 1}}{h}} \\
      {}& = &{2 + h}
    \end{array}$$
    Para $g$:
    $$\begin{array}{*{20}{l}}
      {tm{v_{\left[ {1,1 + h} \right]}}}& = &{\frac{{g(1 + h) – g(1)}}{h}} \\
      {}& = &{\frac{{\frac{1}{{1 + h}} – 1}}{h}} \\
      {}& = &{\frac{{\frac{{1 – 1 – h}}{{1 + h}}}}{h}} \\
      {}& = &{ – \frac{1}{{1 + h}}}
    \end{array}$$
     
  2.  

    a)
    Aproveitando o resultado obtido acima, vem:
    $$\begin{array}{*{20}{l}}
      {\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f(1 + h) – f(1)}}{h}}& = &{\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \left( {2 + h} \right)} \\
      {}& = &2
    \end{array}$$
    b)
    Aproveitando o resultado acima, vem:
    $$\begin{array}{*{20}{l}}
      {\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{g(1 + h) – g(1)}}{h}}& = &{\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \left( { – \frac{1}{{1 + h}}} \right)} \\
      {}& = &{ – 1}
    \end{array}$$
     c)
    $$\begin{array}{*{20}{l}}
      {\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f(a + h) – f(a)}}{h}}& = &{\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{{{\left( {a + h} \right)}^2} + 1 – \left( {{a^2} + 1} \right)}}{h}} \\
      {}& = &{\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{{a^2} + 2ah + {h^2} + 1 – {a^2} – 1}}{h}} \\
      {}& = &{\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{2ah + {h^2}}}{h}} \\
      {}& = &{\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \left( {2a + h} \right)} \\
      {}& = &{2a}
    \end{array}$$
    d) para ${a \ne 0}$,
    $$\begin{array}{*{20}{l}}
      {\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{g(a + h) – g(a)}}{h}}& = &{\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{\frac{1}{{a + h}} – \frac{1}{a}}}{h}} \\
      {}& = &{\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{\frac{{a – a – h}}{{a\left( {a + h} \right)}}}}{h}} \\
      {}& = &{\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \left( { – \frac{1}{{a\left( {a + h} \right)}}} \right)} \\
      {}& = &{ – \frac{1}{{{a^2}}}}
    \end{array}$$

<< Enunciado
Calcule os seguintes limites, se existirem 0

Calcule os seguintes limites, se existirem

Teoria de limites: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 206 Ex. 20

Enunciado

Calcule os seguintes limites, se existirem:

  1.  
    $${\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{{x^2} – 4x + 3}}{{x + 1}}}$$
  2.  
    $${\mathop {\lim }\limits_{x \to  – 1} \frac{x}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}}$$
  3.  
    $${\mathop {\lim }\limits_{t \to  – \infty } \left( {2{t^3} + {t^2} + 1} \right)}$$
  4.  
    $${\mathop {\lim }\limits_{m \to  – 1} \frac{{{m^3} + 1}}{{m + 1}}}$$
  5.  
    $${\mathop {\lim }\limits_{r \to 2} \frac{{{r^4} – 16}}{{r – 2}}}$$
  6.  
    $$\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{\left| { – 3 + x} \right|}}{{x – 3}}$$
  7.  
    $${\mathop {\lim }\limits_{s \to 2} \left[ {\left( {1 + \frac{1}{{s – 2}}} \right) \div \frac{s}{{{s^2} – 4}}} \right]}$$
  8.  
    $${\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left[ {\left( {{x^3} – 3x + 2} \right) \times \frac{{2x}}{{{x^2} – 1}}} \right]}$$
  9.  
    $${\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {\frac{{{x^3} – x – 1}}{{2{x^3} + 3{x^2}}} + \frac{1}{{{x^2}}}} \right)}$$
  10.  
    $$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{x + \left| x \right|}}{{x – 3\left| {\text{x}} \right|}}$$
  11.  
    $${\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\left| x \right| – 2}}{{{x^2} – 4}}}$$
  12.  
    $${\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {2x + \frac{{\sqrt {{x^2}} }}{{\left| {\text{x}} \right|}}} \right)}$$
  13.  
    $${\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ – }} \left( {\frac{1}{{x – 3}} – \frac{5}{{x + 2}}} \right)}$$

Resolução >> Resolução

  1.  
    \[\begin{array}{*{20}{l}}{\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{{x^2} – 4x + 3}}{{x + 1}}}& = &{\frac{{\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \left( {{x^2} – 4x + 3} \right)}}{{\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \left( {x + 1} \right)}}}\\{}& = &{\frac{{\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} {x^2} + \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \left( { – 4x} \right) + \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} 3}}{{\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} x + \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} 1}}}\\{}& = &{\frac{{9 – 12 + 3}}{{3 + 1}}}\\{}& = &0\end{array}\]
  2.   $$\begin{array}{*{20}{l}}   {\mathop {\lim }\limits_{x \to  – 1} \frac{x}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}}& = &{\mathop {\lim }\limits_{x \to  – 1} x \times \mathop {\lim }\limits_{x \to  – 1} \frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}} \\   {}& = &{ – 1 \times \underbrace {\mathop {\lim }\limits_{x \to  – 1} \frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}}_{ + \infty }} \\   {}& = &{ – \infty } \end{array}$$
  3.   $$\begin{array}{*{20}{l}}   {\mathop {\lim }\limits_{t \to  – \infty } \left( {2{t^3} + {t^2} + 1} \right)}& = &{\mathop {\lim }\limits_{t \to  – \infty } \left[ {{t^3}\left( {2 + \frac{1}{t} + \frac{1}{{{t^2}}}} \right)} \right]} \\   {}& = &{\mathop {\lim }\limits_{t \to  – \infty } {t^3} \times \mathop {\lim }\limits_{t \to  – \infty } \left( {2 + \frac{1}{t} + \frac{1}{{{t^2}}}} \right)} \\   {}& = &{2 \times \underbrace {\mathop {\lim }\limits_{t \to  – \infty } {t^3}}_{ – \infty }} \\   {}& = &{ – \infty } \end{array}$$
  4.   $$\begin{array}{*{20}{l}}   {\mathop {\lim }\limits_{m \to  – 1} \frac{{{m^3} + 1}}{{m + 1}}}& = &{\mathop {\lim }\limits_{m \to  – 1} \frac{{(m + 1)({m^2} – m + 1)}}{{m + 1}}} \\   {}& = &{\mathop {\lim }\limits_{m \to  – 1} ({m^2} – m + 1)} \\   {}& = &3 \end{array}$$ $$\begin{array}{*{20}{c}}   {}&1&0&0&1 \\   { – 1}&{}&{ – 1}&1&{ – 1} \\ \hline   {}&1&{ – 1}&1&0 \end{array}$$
  5.   $$\begin{array}{*{20}{l}}   {\mathop {\lim }\limits_{r \to 2} \frac{{{r^4} – 16}}{{r – 2}}}& = &{\mathop {\lim }\limits_{r \to 2} \frac{{({r^2} – 4)({r^2} + 4)}}{{r – 2}}} \\   {}& = &{\mathop {\lim }\limits_{r \to 2} \frac{{(r – 2)(r + 2)({r^2} + 4)}}{{r – 2}}} \\   {}& = &{\mathop {\lim }\limits_{r \to 2} (r + 2)({r^2} + 4)} \\   {}& = &{32} \end{array}$$
  6.   $$\frac{{\left| { – 3 + x} \right|}}{{x – 3}} = \frac{{\left| {x – 3} \right|}}{{x – 3}} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}   {\begin{array}{*{20}{l}}   {\frac{{ – x + 3}}{{x – 3}}}& \Leftarrow &{x – 3 < 0} \end{array}} \\   {\begin{array}{*{20}{l}}   {\frac{{x – 3}}{{x – 3}}}& \Leftarrow &{x – 3 > 0} \end{array}} \end{array}} \right.
Limites laterais da função $f$ 0

Limites laterais da função $f$

Teoria de limites: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 204 Ex. 14

Enunciado

Sabe-se que $f({u_n}) = 2$ e $f({v_n}) =  – 2$ para todas as sucessões $({u_n})$ e $({v_n})$ nas condições seguintes:

  • $\begin{array}{*{20}{l}}   {({u_n} \in {D_f}}& \wedge &{{u_n} > 3,}&{\forall n \in \mathbb{N})}& \wedge &{{u_n} \to 3} \end{array}$  
  • $\begin{array}{*{20}{l}}   {({v_n} \in {D_f}}& \wedge &{{v_n} < 3,}&{\forall n \in \mathbb{N})}& \wedge &{{v_n} \to 3} \end{array}$

Conclua, caso seja possível, quanto à existência e ao valor:

  1. dos limites laterais da função $f$ no ponto de abcissa 3;
     
  2. do limite da função $f$ no ponto de abcissa 3.