Category: Cálculo diferencial

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Uma determinada substância é injetada na corrente sanguínea

Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 231 Ex. 99

Enunciado

Quando uma determinada substância é injetada na corrente sanguínea, a sua concentração $C$, $t$ minutos depois, é dada por $$C(t) = \frac{1}{2}\left( {{e^{ – 2t}} – {e^{ – 4t}}} \right)$$

  1. Em que instante ocorre a concentração máxima e qual o seu valor?
     
  2. O que se pode dizer
Numa empresa 0

Numa empresa

Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 231 Ex. 98

Enunciado

Numa empresa, o lucro originado pela produção de $n$ peças é dado, em milhares de contos, por $$L(n) = \ln \left( {100 + n} \right) + k$$ com $k$ constante real.

  1. Sabendo que, não havendo produção, não há lucro, determine $k$ e mostre que: $$L(n) = \ln
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Um fio encontra-se suspenso entre dois postes

Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 230 Ex. 96

Enunciado

 Um fio encontra-se suspenso entre dois postes. A distância entre ambos é de 30 metros.

Considere a função $f$ definida por $$f(x) = 5\left( {{e^{1 – 0,1x}} + {e^{0,1x – 1}}} \right)$$

Admita que $f(x)$ é a distância ao solo, em metros, do ponto do fio a …

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Um novo analgésico: o AntiDor

Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 229 Ex. 94

Resolução

Um laboratório farmacêutico lançou no mercado um novo analgésico: o AntiDor.

A concentração desse medicamento, em decigramas por litro de sangue, $t$ horas após ser administrado a uma pessoa, é dada por $$C(t) = {t^2}{e^{ – 0,6t}}\,\,\,\left( {t \geqslant 0} \right)$$

  1. Recorrendo exclusivamente a processos analíticos,
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Reprodução de duas espécies vegetais

Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 229 Ex. 93

Enunciado

Um biólogo provoca, em laboratório, a reprodução de duas espécies vegetais, A e B. O número de exemplares de cada uma das espécies, ao fim de $t$ meses, após o início da experiência, é dado por:

$$\begin{array}{*{20}{c}}
  {{\text{Esp}}{\text{. A:}}}&{A(t) = 40 + \ln \left( {{t^2} + 1} …

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Capacidade pulmonar de um ser humano

Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 229 Ex. 92

Enunciado

Seja $f$ a função definida em $\left[ {10,100} \right]$ por $$f(x) = \frac{{\ln x – 2}}{x}$$

  1. Caraterize a função derivada $f’$.
     
  2. Representando por $x$ a idade, em anos, e por $g(x)$ a capacidade pulmonar de um ser humano, em litros, admite-se que $g(x) = 100 \times f(x)$.
Piza 0

Uma piza foi confecionada à temperatura de 230º C

Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 228 Ex. 91

Enunciado

Uma piza foi confecionada à temperatura de 230º C e retirada do forno às 17 horas para um compartimento que se encontra à temperatura de 20º C.

Admita que, passados 5 minutos, a piza se encontra à temperatura de 150º C.

Sabe-se que a temperatura $A$ (em …

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Águias existentes numa reserva

Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 228 Ex. 90

Enunciado

Num determinado ano (ano zero) havia, em certo parque natural, 318 águias.

Passado um ano, o número de águias era 417.

Sabendo que o número $P$ de águias existentes nessa reserva, quando é decorrido o tempo $t$, contado do início dos registos, é dado por uma função …

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A representação gráfica da derivada de $f$

Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 227 Ex. 86

Enunciado

A curva $C$ é a representação gráfica da função derivada $f’$ de uma função $f$ derivável em $\left[ {1,5} \right]$.

A tangente à curva no ponto de abcissa 4 é horizontal.

  1. Diga, justificando, se é verdadeira ou falsa cada uma das seguintes afirmações:a) $f$ é contínua em
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A representação gráfica de uma função real de variável real

Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 226 Ex. 85

Enunciado

Segue-se a representação gráfica de uma função $f$ real de domínio $\mathbb{R}$.

O eixo das ordenadas e a reta de equação $y = mx + b$, representada a traço-ponto, são as únicas assíntotas do gráfico.

As retas tangentes ao gráfico de $f$, nos pontos de abcissas -2 …

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Uma viga de aço

Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 225 Ex. 83

Enunciado

Uma viga de aço com 255 decímetros de comprimento está assente sobre dois pilares com 150 decímetros de altura cada.

Quando, a $d$ decímetros do 1.º pilar, se coloca um peso de 115 kg sobre a viga, esta sofre uma depressão de valor $s$ (em decímetros) que …

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Um triângulo equilátero

Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 224 Ex. 81

Enunciado

Considere o triângulo retângulo [ABC] de lado $a$.

Increve-se nesse triângulo um retângulo [MNPQ].

Faça-se $\overline {AM}  = x$.

Para que valor de $x$ a área do retângulo é máxima?

Resolução >> Resolução

Como o triângulo  [ABC] é equiângulo, temos: $$\operatorname{tg} 60^\circ  = \frac{{\overline {QM} }}{{\overline {AM} …