Categoria: Funções seno, co-seno e tangente

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As curvas ${C_1}$ e ${C_2}$ são as representações gráficas das funções $f$ e $g$

Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 130 Ex. 14

Enunciado

As curvas ${C_1}$ e ${C_2}$ da figura são as representações gráficas das funções $f$ e $g$ definidas, em $\left[ {0,2\pi } \right]$, respetivamente, por:

$$\begin{array}{*{20}{c}}
  {f(x) = \operatorname{sen} x}&{}&{\text{e}}&{}&{g(x) = \operatorname{sen} 2x}
\end{array}$$

  1. Determine as coordenadas dos pontos de intersecção das duas curvas.
     
  2. Resolva graficamente as inequações:
     
    a) $f(x) – g(x) \geqslant 0$
     
    b) $f(x) + g(x) \geqslant 0$
     
    c) $f(x) \times g(x) < 0$
     
  3. Indique o contradomínio da restrição da função $g$ ao intervalo $\left] {\frac{\pi }{6},\frac{{2\pi }}{3}} \right]$.
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$C$ é uma semicircunferência

Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 129 Ex. 13

Enunciado

$C$ é uma semicircunferência de diâmetro [AB], de centro O e de raio $r$.

[OC] é o raio perpendicular a [AB], M é um ponto do arco AC. Designa-se por $\theta $ a medida em radianos do ângulo AOM $\left( {0 \leqslant \theta  \leqslant \frac{\pi }{2}} \right)$.

H é a projeção ortogonal de M sobre OC.…

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A figura representa parte da representação gráfica da função $f$

Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 129 Ex. 12 (Adaptado)

Enunciado

A figura representa parte da representação gráfica da função $f$ derivável em $\mathbb{R}$.
As retas ${t_1}$ e ${t_2}$ são tangentes ao gráfico de $f$ nos pontos B e A, respetivamente.
 

 

Recorrendo ao gráfico:

  1. Resolva a equação $f'(x) = 0$ em $\left[ { – 2,3} \right]$.
     
  2. Determine o valor de $$\mathop {\lim }\limits_{x \to 2,5} \frac{{f(2,5 + h) – 0,02}}{h}$$
     

  3. Determine $f'(0)$ e a equação reduzida da reta ${t_1}$.
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Considere as funções reais de variável real

Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 128 Ex. 10

Enunciado

Considere as funções reais de variável real:

$\begin{array}{*{20}{c}}
  {f(x) = x + 2\operatorname{sen} x}&{}&{g(x) = x + \cos x}&{}&{h(x) = x + \operatorname{tg} x}
\end{array}$

Determine, para cada uma das funções dadas, as abcissas de todos os pontos do gráfico em que a reta tangente é horizontal.

Resolução >> Resolução

A reta tangente ao gráfico de uma função é horizontal nos pontos em que a derivada da função é nula, pois a derivada (se existir) da função num ponto de abcissa ${x_0}$ é igual ao declive da reta tangente ao gráfico nesse ponto: $${m_t} = f'({x_0})$$

  •   ${f(x) = x + 2\operatorname{sen} x}$

$${D_f} = \mathbb{R}$$

Ora, $$\begin{array}{*{20}{l}}
  {f'(x)}& = &{\left( {x + 2\operatorname{sen} x} \right)’} \\
  {}& = &{1 + 2\cos x}
\end{array}$$

Logo: $$\begin{array}{*{20}{l}}
  {f’:}&{\mathbb{R} \to \mathbb{R}} \\
  {}&{x \to 1 + 2\cos x}
\end{array}$$

Como $$\begin{array}{*{20}{l}}
  {f'(x) = 0}& \Leftrightarrow &{1 + 2\cos x = 0} \\
  {}& \Leftrightarrow &{\cos x =  – \frac{1}{2}} \\
  {}& \Leftrightarrow &{x =  \pm \frac{{2\pi }}{3} + 2k\pi ,k \in \mathbb{Z}}
\end{array}$$

as abcissas de todos os pontos do gráfico de $f$ em que a reta tangente é horizontal são dadas por: $${x =  \pm \frac{{2\pi }}{3} + 2k\pi ,k \in \mathbb{Z}}$$

 

Gráfico de f e as suas tangentes horizontais

 

  • ${g(x) = x + \cos x}$

$${D_g} = \mathbb{R}$$

Ora, $$\begin{array}{*{20}{l}}
  {g'(x)}& = &{\left( {x + \cos x} \right)’} \\
  {}& = &{1 – \sin x}
\end{array}$$

Logo: $$\begin{array}{*{20}{l}}
  {g’:}&{\mathbb{R} \to \mathbb{R}} \\
  {}&{x \to 1 – \sin x}
\end{array}$$

Como $$\begin{array}{*{20}{l}}
  {g'(x) = 0}& \Leftrightarrow &{1 – \operatorname{sen} x = 0} \\
  {}& \Leftrightarrow &{\operatorname{sen} x = 1} \\
  {}& \Leftrightarrow &{x = \frac{\pi }{2} + 2k\pi ,k \in \mathbb{Z}}
\end{array}$$

as abcissas de todos os pontos do gráfico de $g$ em que a reta tangente é horizontal são dadas por: $${x = \frac{\pi }{2} + 2k\pi ,k \in \mathbb{Z}}$$

 

Gráfico de g e as suas tangentes horizontais

 

  • $h(x) = x + \operatorname{tg} x$

$${D_h} = \left\{ {x \in \mathbb{R}:x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}$$

Ora, $$\begin{array}{*{20}{l}}
  {h'(x)}& = &{\left( {x + \operatorname{tg} x} \right)’} \\
  {}& = &{1 + \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}}
\end{array}$$

Logo: $$\begin{array}{*{20}{l}}
  {h’:}&{\left\{ {x \in \mathbb{R}:x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\} \to \mathbb{R}} \\
  {}&{x \to 1 + \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}}
\end{array}$$

Como $$\begin{array}{*{20}{l}}
  {h'(x) = 0}& \Leftrightarrow &{1 + \frac{1}{{{{\cos }^2}x}} = 0} \\
  {}& \Leftrightarrow &{x \in \emptyset }
\end{array}$$

o gráfico de $h$ não possui qualquer tangente horizontal.…

Caracterize a função derivada 0

Caracterize a função derivada

Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 128 Ex. 9

Enunciado

Recorrendo às regras de derivação, caracterize a função derivada em cada um dos casos seguintes:

  1. $f(x) = {x^2}\operatorname{sen} x$
     
  2. $f(x) = 5x\cos \left( {3x} \right)$
     
  3. $f(x) = \frac{{1 – \cos x}}{{1 + \cos x}}$
     
  4. $f(x) = \frac{x}{{\operatorname{sen} x}}$
     
  5. $f(x) = \frac{{\operatorname{tg} x}}{{1 + {x^2}}}$
     
  6. $f(x) = \frac{{1 – \cos \left( {2x} \right)}}{{2x}}$
     
  7. $f(x) = {\left( {\cos x + \operatorname{sen} x} \right)^2}$
     
  8. $f(x) = \frac{1}{{\operatorname{sen} x\cos x}}$

Resolução >> Resolução

  1.  
    $$f(x) = {x^2}\operatorname{sen} x$$
    $${D_f} = \mathbb{R}$$
     \[\begin{array}{*{20}{l}}
      {f’\left( x \right)}& = &{{{\left( {{x^2}\operatorname{sen} x} \right)}^\prime }} \\
      {}& = &{{{\left( {{x^2}} \right)}^\prime }\operatorname{sen} x + {x^2}{{\left( {\operatorname{sen} x} \right)}^\prime }} \\
      {}& = &{2x\operatorname{sen} x + {x^2}\cos x}
    \end{array}\]
    $$\begin{array}{*{20}{l}}
      {f’:}&{\mathbb{R} \to \mathbb{R}} \\
      {}&{x \to 2x\operatorname{sen} x + {x^2}\cos x}
    \end{array}$$
     
  2.  
    $$f(x) = 5x\cos \left( {3x} \right)$$
    $${D_f} = \mathbb{R}$$
     \[\begin{array}{*{20}{l}}
      {f’\left( x \right)}& = &{{{\left( {5x\cos \left( {3x} \right)} \right)}^\prime }} \\
      {}& = &{{{\left( {5x} \right)}^\prime }\cos \left( {3x} \right) + 5x{{\left( {\cos \left( {3x} \right)} \right)}^\prime }} \\
      {}& = &{5\cos \left( {3x} \right) – 15x\operatorname{sen} \left( {3x} \right)}
    \end{array}\]
    $$\begin{array}{*{20}{l}}
      {f’:}&{\mathbb{R} \to \mathbb{R}} \\
      {}&{x \to 5\cos \left( {3x} \right) – 15x\operatorname{sen} \left( {3x} \right)}
    \end{array}$$
     
  3.  
    $$f(x) = \frac{{1 – \cos x}}{{1 + \cos x}}$$
    $${D_f} = \left\{ {x \in \mathbb{R}:1 + \cos x \ne 0} \right\} = \left\{ {x \in \mathbb{R}:x \ne \pi  + 2k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}$$
     \[\begin{array}{*{20}{l}}
      {f’\left( x \right)}& = &{{{\left( {\frac{{1 – \cos x}}{{1 + \cos x}}} \right)}^\prime }} \\
      {}& = &{\frac{{{{\left( {1 – \cos x} \right)}^\prime } \times \left( {1 + \cos x} \right) – {{\left( {1 + \cos x} \right)}^\prime } \times \left( {1 – \cos x} \right)}}{{{{\left( {1 + \cos x} \right)}^2}}}} \\
      {}& = &{\frac{{\operatorname{sen} x \times \left( {1 + \cos x} \right) + \operatorname{sen} x \times \left( {1 – \cos x} \right)}}{{{{\left( {1 + \cos x} \right)}^2}}}} \\
      {}& = &{\frac{{2\operatorname{sen} x}}{{{{\left( {1 + \cos x} \right)}^2}}}}
    \end{array}\]
    $$\begin{array}{*{20}{l}}
      {f’:}&{\left\{ {x \in \mathbb{R}:x \ne \pi  + 2k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\} \to \mathbb{R}} \\
      {}&{x \to \frac{{2\operatorname{sen} x}}{{{{\left( {1 + \cos x} \right)}^2}}}}
    \end{array}$$
     
  4.  
    $$f(x) = \frac{x}{{\operatorname{sen} x}}$$
    $${D_f} = \left\{ {x \in \mathbb{R}:\operatorname{sen} x \ne 0} \right\} = \left\{ {x \in \mathbb{R}:x \ne k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}$$
     \[\begin{array}{*{20}{l}}
      {f’\left( x \right)}& = &{{{\left( {\frac{x}{{\operatorname{sen} x}}} \right)}^\prime }} \\
      {}& = &{\frac{{\operatorname{sen} x – x\cos x}}{{{{\operatorname{sen} }^2}x}}}
    \end{array}\]
    $$\begin{array}{*{20}{l}}
      {f’:}&{\left\{ {x \in \mathbb{R}:x \ne k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\} \to \mathbb{R}} \\
      {}&{x \to \frac{{\operatorname{sen} x – x\cos x}}{{{{\operatorname{sen} }^2}x}}}
    \end{array}$$
     
  5.  
    $$f(x) = \frac{{\operatorname{tg} x}}{{1 + {x^2}}}$$
    $${D_f} = \left\{ {x \in \mathbb{R}:x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}$$
     \[\begin{array}{*{20}{l}}
      {f’\left( x \right)}& = &{{{\left( {\frac{{\operatorname{tg} x}}{{1 + {x^2}}}} \right)}^\prime }} \\
      {}& = &{\frac{{\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} \times \left( {1 + {x^2}} \right) – 2x\operatorname{tg} x}}{{{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^2}}}} \\
      {}& = &{\frac{{\left( {1 + {{\operatorname{tg} }^2}x} \right) \times \left( {1 + {x^2}} \right) – 2x\operatorname{tg} x}}{{{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^2}}}} \\
      {}& = &{\frac{{1 + {x^2} + {{\operatorname{tg} }^2}x + {x^2}{{\operatorname{tg} }^2}x – 2x\operatorname{tg} x}}{{{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^2}}}}
    \end{array}\]
    $$\begin{array}{*{20}{l}}
      {f’:}&{\left\{ {x \in \mathbb{R}:x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\} \to \mathbb{R}} \\
      {}&{x \to \frac{{1 + {x^2} + {{\operatorname{tg} }^2}x + {x^2}{{\operatorname{tg} }^2}x – 2x\operatorname{tg} x}}{{{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^2}}}}
    \end{array}$$
     
  6.  
    $$f(x) = \frac{{1 – \cos \left( {2x} \right)}}{{2x}}$$
    $${D_f} = \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}$$
     \[\begin{array}{*{20}{l}}
      {f’\left( x \right)}& = &{{{\left( {\frac{{1 – \cos \left( {2x} \right)}}{{2x}}} \right)}^\prime }} \\
      {}& = &{\frac{{2\operatorname{sen} \left( {2x} \right) \times 2x – 2\left( {1 – \cos \left( {2x} \right)} \right)}}{{{{\left( {2x} \right)}^2}}}} \\
      {}& = &{\frac{{4x\operatorname{sen} \left( {2x} \right) – 2 + 2\cos \left( {2x} \right)}}{{4{x^2}}}} \\
      {}& = &{\frac{{2x\operatorname{sen} \left( {2x} \right) – 1 + \cos \left( {2x} \right)}}{{2{x^2}}}}
    \end{array}\]
    $$\begin{array}{*{20}{l}}
      {f’:}&{\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\} \to \mathbb{R}} \\
      {}&{x \to \frac{{2x\operatorname{sen} \left( {2x} \right) – 1 + \cos \left( {2x} \right)}}{{2{x^2}}}}
    \end{array}$$
     
  7.  
    $$f(x) = {\left( {\cos x + \operatorname{sen} x} \right)^2}$$
    $${D_f} = \mathbb{R}$$
     \[\begin{array}{*{20}{l}}
      {f’\left( x \right)}& = &{{{\left( {{{\left( {\cos x + \operatorname{sen} x} \right)}^2}} \right)}^\prime }} \\
      {}& = &{2\left( {\cos x + \operatorname{sen} x} \right){{\left( {\cos x + \operatorname{sen} x} \right)}^\prime }} \\
      {}& = &{2\left( {\cos x + \operatorname{sen} x} \right)\left( { – \operatorname{sen} x + \cos x} \right)} \\
      {}& = &{2\left( {{{\cos }^2}x – {{\operatorname{sen} }^2}x} \right)} \\
      {}& = &{2\cos \left( {2x} \right)}
    \end{array}\]
    $$\begin{array}{*{20}{l}}
      {f’:}&{\mathbb{R} \to \mathbb{R}} \\
      {}&{x \to 2\cos \left( {2x} \right)}
    \end{array}$$
     
  8.  
    $$f(x) = \frac{1}{{\operatorname{sen} x\cos x}}$$
    $${D_f} = \left\{ {x \in \mathbb{R}:\operatorname{sen} x\cos x \ne 0} \right\} = \left\{ {x \in \mathbb{R}:x \ne \frac{{k\pi }}{2},k \in \mathbb{Z}} \right\}$$
     \[\begin{array}{*{20}{l}}
      {f’\left( x \right)}& = &{{{\left( {\frac{1}{{\operatorname{sen} x\cos x}}} \right)}^\prime }} \\
      {}& = &{\frac{{ – {{\left( {\operatorname{sen} x\cos x} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {\operatorname{sen} x\cos x} \right)}^2}}}} \\
      {}& = &{\frac{{ – \left( {{{\cos }^2}x – {{\operatorname{sen} }^2}x} \right)}}{{{{\left( {\operatorname{sen} x\cos x} \right)}^2}}}} \\
      {}& = &{\frac{{ – \cos \left( {2x} \right)}}{{{{\left( {\operatorname{sen} x\cos x} \right)}^2}}}} \\
      {}& = &{\frac{{ – 4\cos \left( {2x} \right)}}{{{{\left( {2\operatorname{sen} x\cos x} \right)}^2}}}} \\
      {}& = &{\frac{{ – 4\cos \left( {2x} \right)}}{{{{\operatorname{sen} }^2}\left( {2x} \right)}}}
    \end{array}\]
    $$\begin{array}{*{20}{l}}
      {f’:}&{\left\{ {x \in \mathbb{R}:x \ne \frac{{k\pi }}{2},k \in \mathbb{Z}} \right\} \to \mathbb{R}} \\
      {}&{x \to \frac{{ – 4\cos \left( {2x} \right)}}{{{{\operatorname{sen} }^2}\left( {2x} \right)}}}
    \end{array}$$

 

<< Enunciado
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A secção de um túnel

Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 128 Ex. 8

Enunciado

A secção de um túnel é um semicírculo com 1 hm de raio.

No interior do túnel há uma estrutura com a forma de um trapézio, como mostra a figura.

Qual é o valor de $\theta $ $\left( {0 < \theta  < \frac{\pi }{2}} \right)$ que torna máxima a área da secção da estrutura trapezoidal?…

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De um função $f$

Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 127 Ex. 6

Enunciado

De um função $f$ de domínio $\left[ { – \pi ,\pi } \right]$, sabe-se que a sua derivada é:

$$f'(x) = 2x – 2\cos \left( {2x} \right)$$

  1. Calcule, analiticamente, o valor de $$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f(x + \pi ) – f(\pi )}}{x}$$
     
  2. Estude a função $f$ quanto às concavidades e determine analiticamente as abcissas dos pontos de inflexão.
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Maré

Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 127 Ex. 5

Enunciado

Maré é, como se sabe, o movimento periódico de subida e descida (aproximadamente duas vezes por dia) do nível das águas do mar.

A expressão abaixo representa a variação $M$ da maré na baixa de Boston, desde as 0 às 24 horas de um determinado dia:

$$M(t) = 4,5\operatorname{sen} \left( {\frac{\pi }{6}t – \frac{{5\pi }}{3}} \right) + 7,5$$

com $t$ em horas e $M$ em metros.…