Categoria: Equações do 2.º grau

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Ficha de trabalho

9.º Ano: Equação do 2.º grau

A presente Ficha de Trabalho aborda o tema Equação do 2.º grau.

As dificuldades que encontres durante a sua resolução deves tentar superá-las consultando o manual e o caderno diário; depois, poderás tirar as dúvidas na aula ou na sala de estudo.

A realização da Ficha de Trabalho de forma empenhada contribuirá para uma preparação adequada para o Teste de Avaliação.…

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A largura da calçada

Equações do 2.º grau: Matematicamente Falando 9 - Pág. 69 Ex. 10

Enunciado

O Sr. José foi contratado para fazer uma calçada à volta de dois lados de um terreno retangular.

O terreno mede 20 metros por 30 metros, como indica a figura, e a calçada deve ter sempre a mesma largura.

Sabendo que o Sr. José dispõe de 72 m2 de lajetas de pavimento para fazer a calçada, que pretende gastar na totalidade, qual deverá ser a largura da calçada?…

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O comprimento do lado do quadrado

Equações do 2.º grau: Matematicamente Falando 9 - Pág. 69 Ex. 9

Enunciado

De um quadrado de cartão, de lado $x$ centímetros, foi retirado, em cada canto, um quadradinho com 2 centímetros de lado, como mostra a figura.

  1. Calcula o valor de $x$, sabendo que a figura restante tem área 65 cm2.
     
  2. Depois de cortado o cartão, construímos uma caixa aberta.
Qual deve ser o valor? 0

Qual deve ser o valor?

Equações do 2.º grau: Matematicamente Falando 9 - Pág. 69 Ex. 5

Enunciado

Qual deve ser o valor de:

  1. $m$, para que a equação $2{x^2} – 3mx + 2 = 0$ possua apenas uma raiz?
     
  2. $n$, para que a equação ${x^2} – 6x + n – 4 = 0$ possua raízes reais?
     
  3. $p$, para que a equação $\left( {2p + 1} \right){x^2} – 3x + 1 = 0$ não possua raízes reais?
Resolve as equações 0

Resolve as equações

Equações do 2.º grau: Matematicamente Falando 9 - Pág. 68 Ex. 3

Enunciado

Resolve as equações:

  1. ${\sqrt 2 {x^2} + 11x = 0}$
     
  2. ${x^2} + 9 = 0$
     
  3. $5a + {\left( {a + 2} \right)^2} = 3a\left( {a + 2} \right) + a$
     
  4. $4,8{x^2} – 8,4x + 2,4 = 0$
     
  5. $\frac{{a – 1}}{2} – \frac{{a\left( {3 – a} \right)}}{3} = a + \frac{1}{3}$

Resolução >> Resolução

  1.  
    $$\begin{array}{*{20}{l}}
      {\sqrt 2 {x^2} + 11x = 0}& \Leftrightarrow &{x\left( {\sqrt 2 x + 11} \right) = 0} \\
      {}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{l}}
      {x = 0}& \vee &{\sqrt 2 x + 11 = 0}
    \end{array}} \\
      {}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{l}}
      {x = 0}& \vee &{x =  – \frac{{11}}{{\sqrt 2 }}}
    \end{array}}
    \end{array}$$
     
  2.  
    $$\begin{array}{*{20}{l}}
      {{x^2} + 9 = 0}& \Leftrightarrow &{\overbrace {{x^2} =  – 9}^{{\text{Equaão impossível}}}} \\
      {}& \Leftrightarrow &{x \in \emptyset }
    \end{array}$$
     
  3.  
    $$\begin{array}{*{20}{l}}
      {5a + {{\left( {a + 2} \right)}^2} = 3a\left( {a + 2} \right) + a}& \Leftrightarrow &{5a + {a^2} + 4a + 4 = 3{a^2} + 6a + a} \\
      {}& \Leftrightarrow &{2{a^2} – 2a – 4 = 0} \\
      {}& \Leftrightarrow &{{a^2} – a – 2 = 0} \\
      {}& \Leftrightarrow &{a = \frac{{1 \pm \sqrt {{{( – 1)}^2} – 4 \times 1 \times ( – 2)} }}{2}} \\
      {}& \Leftrightarrow &{a = \frac{{1 \pm 3}}{2}} \\
      {}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{l}}
      {a =  – 1}& \vee &{a = 2}
    \end{array}}
    \end{array}$$
     
  4.  
    $$\begin{array}{*{20}{l}}
      {4,8{x^2} – 8,4x + 2,4 = 0}& \Leftrightarrow &{4{x^2} – 7x + 2 = 0} \\
      {}& \Leftrightarrow &{x = \frac{{7 \pm \sqrt {49 – 32} }}{8}} \\
      {}& \Leftrightarrow &{x = \frac{{7 \pm \sqrt {17} }}{8}} \\
      {}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{l}}
      {x = \frac{{7 – \sqrt {17} }}{8}}& \vee &{x = \frac{{7 + \sqrt {17} }}{8}}
    \end{array}}
    \end{array}$$
     
  5.  
    $$\begin{array}{*{20}{l}}
      {\frac{{a – 1}}{{\mathop 2\limits_{(3)} }} – \frac{{a\left( {3 – a} \right)}}{{\mathop 3\limits_{(2)} }} = \mathop a\limits_{(6)}  + \frac{1}{{\mathop 3\limits_{(2)} }}}& \Leftrightarrow &{3a – 3 – 2a\left( {3 – a} \right) = 6a + 2} \\
      {}& \Leftrightarrow &{3a – 3 – 6a + 2{a^2} = 6a + 2} \\
      {}& \Leftrightarrow &{2{a^2} – 9a – 5 = 0} \\
      {}& \Leftrightarrow &{a = \frac{{9 \pm \sqrt {81 + 40} }}{4}} \\
      {}& \Leftrightarrow &{a = \frac{{9 \pm 11}}{4}} \\
      {}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{l}}
      {a =  – \frac{1}{2}}& \vee &{a = 5}
    \end{array}}
    \end{array}$$
<< Enunciado
Escreve uma equação do 2.º grau 0

Escreve uma equação do 2.º grau

Equações do 2.º grau: Matematicamente Falando 9 - Pág. 66 Ex. 13

Enunciado

Escreve uma equação do 2.º grau que admita as soluções 1 e 2.

Resolução >> Resolução

Soma e produto das raízes de uma equação do 2.º grau:

Se ${x_1}$ e ${x_2}$ são as duas raízes reais de uma equação do 2.º grau, essa equação pode ser escrita na forma $${x^2} – Sx + P = 0$$ em que $S = {x_1} + {x_2}$ designa a soma das raízes e $P = {x_1} \times {x_2}$ o seu produto.

Escreve uma equação do 2.º grau 1

Escreve uma equação do 2.º grau

Equações do 2.º grau: Matematicamente Falando 9 - Pág. 66 Ex. 12

Enunciado

Escreve uma equação do 2.º grau sabendo que:

  1. $S = 3$ e $P = 2$;
     
  2. $S =  – \frac{1}{2}$ e $P = \frac{3}{4}$.

Resolução >> Resolução

Soma e produto das raízes de uma equação do 2.º grau: Se ${x_1}$ e ${x_2}$ são as duas raízes reais de uma equação do 2.º grau, essa equação pode ser escrita na forma $${x^2} – Sx + P = 0$$ em que $S = {x_1} + {x_2}$ designa a soma das raízes e $P = {x_1} \times {x_2}$ o seu produto.

Determina o binómio discriminante 0

Determina o binómio discriminante

Equações do 2.º grau: Matematicamente Falando 9 - Pág. 65 Ex. 9

Enunciado

Para cada uma das equações determina o binómio discriminante e diz quantas soluções tem:

  1. ${x^2} – 2x + 1 = 0$
     
  2. $2{x^2} – x – 1 = 0$
     
  3. ${x^2} + 3x + 4 = 0$
     
  4. ${a^2} – 7a – 18 = 0$

Resolução >> Resolução

Número de raízes de uma equação do 2.º grau: $$\begin{array}{*{20}{c}}   {a{x^2} + bx + c = 0}& \Leftrightarrow &{x = \frac{{ – b \pm \sqrt {{b^2} – 4ac} }}{{2a}}} \end{array}$$ $$\begin{array}{*{20}{c}}   {{\text{Binómio discriminante:}}}&{}&{\Delta  = {b^2} – 4ac} \end{array}$$ $$\begin{array}{*{20}{l}}   {\Delta  < 0}& – &{{\text{A equação não tem raízes reais }}} \\   {\Delta  = 0}& – &{{\text{A equação tem 1 raiz real}}} \\   {\Delta  > 0}& – &{{\text{A equação tem 2 raízes reais distintas}}} \end{array}$$

  1.   $${x^2} – 2x + 1 = 0$$ $$\begin{array}{*{20}{l}}   \Delta & = &{{{( – 2)}^2} – 4 \times 1 \times 1} \\   {}& = &0 \end{array}$$ Como $\Delta  = 0$, a equação tem apenas uma solução real.
Resolve as seguintes equações usando a fórmula resolvente 0

Resolve as seguintes equações usando a fórmula resolvente

Equações do 2.º grau: Matematicamente Falando 9 - Pág. 64 Ex. 8

Enunciado

Resolve as seguintes equações usando a fórmula resolvente:

  1. $2{x^2} + 4x – 4 = 0$
     
  2. $6{x^2} + 5x + 1 = 0$
     
  3. ${x^2} – 4x + 4 = 0$
     
  4. ${x^2} – 3x + 2 = 0$
     
  5. ${x^2} – \frac{5}{3}x – \frac{2}{3} = 0$
     
  6. $x\left( {x – 8} \right) =  – 42 + 5x$
     
  7. $4x\left( {2x – 5} \right) = 3x – 14$
     
  8. $\frac{x}{4} – \frac{{{{\left( {x – 1} \right)}^2}}}{2} = 0$
     
  9. $5\left( {3 + x} \right) = \frac{1}{3}{\left( { – 3 – x} \right)^2}$

Resolução >> Resolução

Fórmula resolvente da equação do 2.º grau:

$$\begin{array}{*{20}{c}}
  {a{x^2} + bx + c = 0}& \Leftrightarrow &{x = \frac{{ – b \pm \sqrt {{b^2} – 4ac} }}{{2a}}}&{(a \ne 0)}
\end{array}$$

  1.  
    $$\begin{array}{*{20}{l}}
      {2{x^2} + 4x – 4 = 0}& \Leftrightarrow &{{x^2} + 2x – 2 = 0} \\
      {}& \Leftrightarrow &{x = \frac{{ – 2 \pm \sqrt {{2^2} – 4 \times 1 \times ( – 2)} }}{{2 \times 1}}} \\
      {}& \Leftrightarrow &{x = \frac{{ – 2 \pm \sqrt {12} }}{2}} \\
      {}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{l}}
      {x = \frac{{ – 2 – \sqrt {12} }}{2}}& \vee &{x = \frac{{ – 2 + \sqrt {12} }}{2}}
    \end{array}}
    \end{array}$$
     
  2.  
    $$\begin{array}{*{20}{l}}
      {6{x^2} + 5x + 1 = 0}& \Leftrightarrow &{x = \frac{{ – 5 \pm \sqrt {{{( – 5)}^2} – 4 \times 6 \times 1} }}{{2 \times 6}}} \\
      {}& \Leftrightarrow &{x = \frac{{ – 5 \pm \sqrt 1 }}{{2 \times 6}}} \\
      {}& \Leftrightarrow &{x = \frac{{ – 5 \pm 1}}{{12}}} \\
      {}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{l}}
      {x =  – \frac{1}{2}}& \vee &{x =  – \frac{1}{3}}
    \end{array}}
    \end{array}$$
     
  3.  
    $$\begin{array}{*{20}{l}}
      {{x^2} – 4x + 4 = 0}& \Leftrightarrow &{x = \frac{{4 \pm \sqrt {{{( – 4)}^2} – 4 \times 1 \times 4} }}{{2 \times 1}}} \\
      {}& \Leftrightarrow &{x = \frac{{4 \pm \sqrt 0 }}{2}} \\
      {}& \Leftrightarrow &{x = \frac{{4 \pm 0}}{2}} \\
      {}& \Leftrightarrow &{x = 2}
    \end{array}$$
     
  4.  
    $$\begin{array}{*{20}{l}}
      {{x^2} – 3x + 2 = 0}& \Leftrightarrow &{x = \frac{{3 \pm \sqrt {{{( – 3)}^2} – 4 \times 1 \times 2} }}{{2 \times 1}}} \\
      {}& \Leftrightarrow &{x = \frac{{3 \pm \sqrt 1 }}{2}} \\
      {}& \Leftrightarrow &{x = \frac{{3 \pm 1}}{2}} \\
      {}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{l}}
      {x = 1}& \vee &{x = 2}
    \end{array}}
    \end{array}$$
     
  5.  
    $$\begin{array}{*{20}{l}}
      {{x^2} – \frac{5}{3}x – \frac{2}{3} = 0}& \Leftrightarrow &{3{x^2} – 5x – 2 = 0} \\
      {}& \Leftrightarrow &{x = \frac{{5 \pm \sqrt {{{( – 5)}^2} – 4 \times 3 \times ( – 2)} }}{{2 \times 3}}} \\
      {}& \Leftrightarrow &{x = \frac{{5 \pm \sqrt {49} }}{6}} \\
      {}& \Leftrightarrow &{x = \frac{{5 \pm 7}}{6}} \\
      {}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{l}}
      {x =  – \frac{1}{3}}& \vee &{x = 2}
    \end{array}}
    \end{array}$$
     
  6.  
    $$\begin{array}{*{20}{l}}
      {x\left( {x – 8} \right) =  – 42 + 5x}& \Leftrightarrow &{{x^2} – 8x – 5x + 42 = 0} \\
      {}& \Leftrightarrow &{{x^2} – 13x + 42 = 0} \\
      {}& \Leftrightarrow &{x = \frac{{13 \pm \sqrt {{{( – 13)}^2} – 4 \times 1 \times 42} }}{{2 \times 1}}} \\
      {}& \Leftrightarrow &{x = \frac{{13 \pm \sqrt 1 }}{2}} \\
      {}& \Leftrightarrow &{x = \frac{{13 \pm 1}}{2}} \\
      {}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{l}}
      {x = 6}& \vee &{x = 7}
    \end{array}}
    \end{array}$$
     
  7.  
    $$\begin{array}{*{20}{l}}
      {4x\left( {2x – 5} \right) = 3x – 14}& \Leftrightarrow &{8{x^2} – 20x – 3x + 14 = 0} \\
      {}& \Leftrightarrow &{8{x^2} – 23x + 14 = 0} \\
      {}& \Leftrightarrow &{x = \frac{{23 \pm \sqrt {{{( – 23)}^2} – 4 \times 8 \times 14} }}{{2 \times 8}}} \\
      {}& \Leftrightarrow &{x = \frac{{23 \pm \sqrt {81} }}{{16}}} \\
      {}& \Leftrightarrow &{x = \frac{{23 \pm 9}}{{16}}} \\
      {}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{l}}
      {x = \frac{7}{8}}& \vee &{x = 2}
    \end{array}}
    \end{array}$$
     
  8.  
    $$\begin{array}{*{20}{l}}
      {\frac{x}{{\mathop 4\limits_{(1)} }} – \frac{{{{\left( {x – 1} \right)}^2}}}{{\mathop 2\limits_{(2)} }} = \mathop 0\limits_{(4)} }& \Leftrightarrow &{x – 2{{\left( {x – 1} \right)}^2} = 0} \\
      {}& \Leftrightarrow &{x – 2\left( {{x^2} – 2x + 1} \right) = 0} \\
      {}& \Leftrightarrow &{ – 2{x^2} + 5x – 2 = 0} \\
      {}& \Leftrightarrow &{x = \frac{{ – 5 \pm \sqrt {{5^2} – 4 \times ( – 2) \times ( – 2)} }}{{2 \times ( – 2)}}} \\
      {}& \Leftrightarrow &{x = \frac{{ – 5 \pm \sqrt 9 }}{{ – 4}}} \\
      {}& \Leftrightarrow &{x = \frac{{ – 5 \pm 3}}{{ – 4}}} \\
      {}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{l}}
      {x = 2}& \vee &{x = \frac{1}{2}}
    \end{array}}
    \end{array}$$
     
  9.  
    $$\begin{array}{*{20}{l}}
      {\mathop 5\limits_{(3)} \left( {3 + x} \right) = \frac{1}{{\mathop 3\limits_{(1)} }}{{\left( { – 3 – x} \right)}^2}}& \Leftrightarrow &{15\left( {3 + x} \right) = {{\left( { – 3 – x} \right)}^2}} \\
      {}& \Leftrightarrow &{45 + 15x = 9 + 6x + {x^2}} \\
      {}& \Leftrightarrow &{{x^2} – 9x – 36 = 0} \\
      {}& \Leftrightarrow &{x = \frac{{9 \pm \sqrt {{{( – 9)}^2} – 4 \times 1 \times ( – 36)} }}{{2 \times 1}}} \\
      {}& \Leftrightarrow &{x = \frac{{9 \pm \sqrt {225} }}{2}} \\
      {}& \Leftrightarrow &{x = \frac{{9 \pm 15}}{2}} \\
      {}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{l}}
      {x =  – 3}& \vee &{x = 12}
    \end{array}}
    \end{array}$$
<< Enunciado