Categoria: Números complexos

Identifique, no conjunto dos pontos do plano, as imagens dos números complexos $z$ 0

Identifique, no conjunto dos pontos do plano, as imagens dos números complexos $z$

Números complexos: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 144 Ex. 64

Enunciado

Identifique, no conjunto dos pontos do plano, as imagens dos números complexos $z$, tais que:

  1. $\left| {z + 1 + 2i} \right| = 2$
     
  2. $\left| {z – i + 2} \right| \leqslant 3$
     
  3. $\left| {z + 2 – 4i} \right| = \left| {2i – z} \right|$
     
  4. $\left| {\frac{1}{z}} \right| < \frac{1}{4}$
     
  5. $z.\overline z  = z + \overline z $
     
  6. $2\left| {{\text{z – 1}}} \right| \leqslant \left| {{\text{z + 2}}} \right|$
     
  7. $\operatorname{Im} \left( {\frac{1}{{z + 1}}} \right) \geqslant 1$

R1 >> R1

$$\left| {z + 1 + 2i} \right| = 2 \Leftrightarrow \left| {z – \left( { – 1 – 2i} \right)} \right| = 2$$

A condição define a circunferência de centro $\left( { – 1, – 2} \right)$, afixo de ${z_1} =  – 1 – 2i$, e raio 2 unidades.…

Determine uma equação cartesiana do lugar geométrico 0

Determine uma equação cartesiana do lugar geométrico

Números complexos: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 108 Ex. 66

Enunciado

Determine uma equação cartesiana do lugar geométrico definido por $\left| {z – i} \right| = \left| {z – \left( { – 1 – i} \right)} \right|$ no plano de Argand.

(Faça $z = x + yi$)

Resolução >> Resolução

$$\left| {z – i} \right| = \left| {z – \left( { – 1 – i} \right)} \right|$$

Considerando $z = x + yi$, vem:

$$\begin{array}{*{20}{l}}
  {\left| {\left( {x + yi} \right) – i} \right| = \left| {\left( {x + yi} \right) – \left( { – 1 – i} \right)} \right|}& \Leftrightarrow &{\left| {x + \left( {y – 1} \right)i} \right| = \left| {\left( {x + 1} \right) + \left( {y + 1} \right)i} \right|} \\
  {}& \Leftrightarrow &{\sqrt {{x^2} + {{\left( {y – 1} \right)}^2}}  = \sqrt {{{\left( {x + 1} \right)}^2} + {{\left( {y + 1} \right)}^2}} } \\
  {}& \Leftrightarrow &{{x^2} + {y^2} – 2y + 1 = {x^2} + 2x + 1 + {y^2} + 2y + 1} \\
  {}& \Leftrightarrow &{2x + 4y + 1 = 0} \\
  {}& \Leftrightarrow &{y =  – \frac{1}{2}x – \frac{1}{4}}
\end{array}$$

A condição define a mediatriz do segmento de reta [AB], sendo A o afixo do número complexo ${z_1} = i$ e B o afixo de número complexo ${z_2} =  – 1 – i$.…

Resolva, em $\mathbb{C}$, as equações 0

Resolva, em $\mathbb{C}$, as equações

Números complexos: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 144 Ex. 63

Enunciado

Resolva, em $\mathbb{C}$, as equações:

  1. ${z^4}.\overline z  = 32i$
     
  2. ${z^3} + \left( {\sqrt 3  + i} \right)z = 0$

Resolução >> Resolução

  1.   
    $${z^4}.\overline z  = 32i$$
    Considerando $z = \rho \operatorname{cis} \theta $, temos:
    $$\begin{array}{*{20}{l}}
      {{{\left( {\rho \operatorname{cis} \theta } \right)}^4} \times \overline {\rho \operatorname{cis} \theta }  = 32i}& \Leftrightarrow &{{\rho ^4}\operatorname{cis} \left( {4\theta } \right) \times \rho \operatorname{cis} \left( { – \theta } \right) = 32\operatorname{cis} \left( {\frac{\pi }{2}} \right)} \\
      {}& \Leftrightarrow &{{\rho ^5}\operatorname{cis} \left( {3\theta } \right) = 32\operatorname{cis} \left( {\frac{\pi }{2}} \right)} \\
      {}& \Leftrightarrow &{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
      {{\rho ^5} = 32} \\
      {3\theta  = \frac{\pi }{2} + 2k\pi ,k \in \mathbb{Z}}
    \end{array}} \right.} \\
      {}& \Leftrightarrow &{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
      {\rho  = \sqrt[5]{{32}}} \\
      {\theta  = \frac{\pi }{6} + \frac{{2k\pi }}{3},k \in \mathbb{Z}}
    \end{array}} \right.} \\
      {}& \Leftrightarrow &{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
      {\rho  = 2} \\
      {\theta  = \frac{\pi }{6} + \frac{{2k\pi }}{3},k \in \mathbb{Z}}
    \end{array}} \right.}
    \end{array}$$
    Logo, $$\begin{array}{*{20}{l}}
      {{z^4}.\overline z  = 32i}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{l}}
      {z = 2\operatorname{cis} \frac{\pi }{6}}& \vee &{z = 2\operatorname{cis} \frac{{5\pi }}{6}}& \vee &{z = 2\operatorname{cis} \frac{{3\pi }}{2}}
    \end{array}}
    \end{array}$$
     
  2.  
    $$\begin{array}{*{20}{l}}
      {{z^3} + \left( {\sqrt 3  + i} \right)z = 0}& \Leftrightarrow &{\left( {{z^2} + \sqrt 3  + i} \right)z = 0} \\
      {}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{l}}
      {z = 0}& \vee &{{z^2} + \sqrt 3  + i = 0}
    \end{array}} \\
      {}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{l}}
      {z = 0}& \vee &{{z^2} =  – \sqrt 3  – i}
    \end{array}} \\
      {}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{l}}
      {z = 0}& \vee &{{z^2} = 2\operatorname{cis} \frac{{7\pi }}{6}}
    \end{array}} \\
      {}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{l}}
      {z = 0}& \vee &{z = \sqrt 2 \operatorname{cis} \left( {\frac{{\tfrac{{7\pi }}{6}}}{2}} \right)}& \vee &{z = \sqrt 2 \operatorname{cis} \left( {\frac{{\tfrac{{7\pi }}{6}}}{2} + \frac{{2\pi }}{2}} \right)}
    \end{array}} \\
      {}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{l}}
      {z = 0}& \vee &{z = \sqrt 2 \operatorname{cis} \left( {\frac{{7\pi }}{{12}}} \right)}& \vee &{z = \sqrt 2 \operatorname{cis} \left( {\frac{{19\pi }}{{12}}} \right)}
    \end{array}}
    \end{array}$$
<< Enunciado
0

Determine as raízes da equação

Números complexos: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 143 Ex. 62

Enunciado

Dado o número complexo $w = 27\operatorname{cis} \frac{\pi }{3}$, determine as raízes da equação ${z^3} + w = 0$, representando as imagens no plano de Argand.

Resolução >> Resolução

$$\begin{array}{*{20}{l}}
  {{z^3} + 27\operatorname{cis} \frac{\pi }{3} = 0}& \Leftrightarrow &{{z^3} =  – 27\operatorname{cis} \frac{\pi }{3}} \\
  {}& \Leftrightarrow &{{z^3} = 27\operatorname{cis} \left( {\frac{\pi }{3} + \pi } \right)} \\
  {}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{l}}
  {z = \sqrt[3]{{27}}\operatorname{cis} \left( {\frac{{\tfrac{{4\pi }}{3}}}{3}} \right)}& \vee &{z = \sqrt[3]{{27}}\operatorname{cis} \left( {\frac{{\tfrac{{4\pi }}{3}}}{3} + \frac{{2\pi }}{3}} \right)}& \vee &{z = \sqrt[3]{{27}}\operatorname{cis} \left( {\frac{{\tfrac{{4\pi }}{3}}}{3} + \frac{{4\pi }}{3}} \right)}
\end{array}} \\
  {}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{l}}
  {z = 3\operatorname{cis} \left( {\frac{{4\pi }}{9}} \right)}& \vee &{z = 3\operatorname{cis} \left( {\frac{{10\pi }}{9}} \right)}& \vee &{z = 3\operatorname{cis} \left( {\frac{{16\pi }}{9}} \right)}
\end{array}}
\end{array}$$

 

As raízes da equação ${{z^3} + 27\operatorname{cis} \frac{\pi }{3} = 0}$.…

0

Determine, na forma trigonométrica, as raízes da equação ${z^3} – 8i = 0$

Números complexos: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 143 Ex. 61

Enunciado

Determine, na forma trigonométrica, as raízes da equação $${z^3} – 8i = 0$$

Resolução >> Resolução

$$\begin{array}{*{20}{l}}
  {{z^3} – 8i = 0}& \Leftrightarrow &{{z^3} = 8i} \\
  {}& \Leftrightarrow &{{z^3} = 8\operatorname{cis} \frac{\pi }{2}} \\
  {}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{l}}
  {z = \sqrt[3]{8}\operatorname{cis} \left( {\frac{{\tfrac{\pi }{2}}}{3}} \right)}& \vee &{z = \sqrt[3]{8}\operatorname{cis} \left( {\frac{{\tfrac{\pi }{2}}}{3} + \frac{{2\pi }}{3}} \right)}& \vee &{z = \sqrt[3]{8}\operatorname{cis} \left( {\frac{{\tfrac{\pi }{2}}}{3} + \frac{{4\pi }}{3}} \right)}
\end{array}} \\
  {}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{l}}
  {z = 2\operatorname{cis} \left( {\frac{\pi }{6}} \right)}& \vee &{z = 2\operatorname{cis} \left( {\frac{{5\pi }}{6}} \right)}& \vee &{z = 2\operatorname{cis} \left( {\frac{{3\pi }}{2}} \right)}
\end{array}}
\end{array}$$

 

As raízes da equação ${z^3} - 8i = 0$.…

0

As raízes quartas de $1$

Números complexos: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 143 Ex. 60

Enunciado

Determine as raízes quartas de $1$ e represente os seus afixos do diagrama de Argand.

Resolução >> Resolução

Como $z = 1 = \operatorname{cis} \left( 0 \right)$, então as suas raízes quartas são:

$$\begin{array}{*{20}{l}}
  {k = 0:}&{{w_0} = \operatorname{cis} \left( {\frac{0}{4}} \right) = \operatorname{cis} \left( 0 \right) = 1} \\
  {k = 1:}&{{w_1} = \operatorname{cis} \left( {\frac{0}{4} + \frac{{2\pi }}{4}} \right) = \operatorname{cis} \left( {\frac{\pi }{2}} \right) = i} \\
  {k = 2:}&{{w_2} = \operatorname{cis} \left( {\frac{0}{4} + \frac{{4\pi }}{4}} \right) = \operatorname{cis} \left( \pi  \right) =  – 1} \\
  {k = 3:}&{{w_3} = \operatorname{cis} \left( {\frac{0}{4} + \frac{{6\pi }}{4}} \right) = \operatorname{cis} \left( {\frac{{3\pi }}{2}} \right) =  – i}
\end{array}$$

 

 

As raízes quartas de $z = 1$.…

Determine o menor valor inteiro positivo $k$ para o qual ${\left( {\sqrt 3  – i} \right)^k}$ representa um número real positivo 0

Determine o menor valor inteiro positivo $k$ para o qual ${\left( {\sqrt 3 – i} \right)^k}$ representa um número real positivo

Números complexos: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 143 Ex. 59

Enunciado

Determine o menor valor inteiro positivo $k$ para o qual ${\left( {\sqrt 3  – i} \right)^k}$ representa um número real positivo.

Resolução >> Resolução

Ora, $$\begin{array}{*{20}{l}}
  {{{\left( {\sqrt 3  – i} \right)}^k}}& = &{{{\left[ {2\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2} – \frac{1}{2}i} \right)} \right]}^k}} \\
  {}& = &{{{\left[ {2\operatorname{cis} \left( {\frac{{11\pi }}{6}} \right)} \right]}^k}} \\
  {}& = &{{2^k}\operatorname{cis} \left( {\frac{{11k\pi }}{6}} \right)}
\end{array}$$

Para que ${{{\left( {\sqrt 3  – i} \right)}^k}}$ represente um número real positivo, terá de ser:

$$\frac{{11k\pi }}{6} = 2p\pi ,p \in \mathbb{Z}$$

ou seja, $$k = \frac{{12p}}{{11}},p \in \mathbb{Z}$$

Portanto, o menor número inteiro positivo que satisfaz a condição é $k = 12$, obtido com $p = 11$.…

0

Uma raiz cúbica de um número complexo

Números complexos: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 143 Ex. 58

Enunciado

${w_1} = \frac{{ – 1 + \sqrt 3 i}}{2}$ é uma raiz cúbica de um número complexo $z$.

  1. Determine as outras raízes cúbicas de $z$.
     
  2. Determine $z$.

Resolução >> Resolução

  1. Ora, $$\begin{array}{*{20}{l}}
      {{w_1}}& = &{\frac{{ – 1 + \sqrt 3 i}}{2}} \\
      {}& = &{\operatorname{cis} \left( {\frac{{2\pi }}{3}} \right)}
    \end{array}$$
     
    As três raízes cúbicas possuem igual módulo e os seus argumentos estão em progressão aritmética de razão $\frac{{2\pi }}{3}$.
Resolva, em $\mathbb{C}$, as equações 0

Resolva, em $\mathbb{C}$, as equações

Números complexos: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 105 Ex. 65

Enunciado

Resolva, em $\mathbb{C}$, as equações:

  1. $z – \frac{{2i}}{z} = 0$
     
  2. ${z^3} – i{z^2} – z + i = 0$

Resolução >> Resolução

  1.  
    $$\begin{array}{*{20}{l}}
      {z – \frac{{2i}}{z} = 0}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{c}}
      {{z^2} – 2i = 0}& \wedge &{z \ne 0}
    \end{array}} \\
      {}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{l}}
      {{z^2} = 2i}& \wedge &{z \ne 0}
    \end{array}} \\
      {}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{l}}
      {{z^2} = 2\operatorname{cis} \left( {\frac{\pi }{2}} \right)}& \wedge &{z \ne 0}
    \end{array}} \\
      {}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{l}}
      {z = \sqrt 2 \operatorname{cis} \left( {\frac{{\tfrac{\pi }{2}}}{2}} \right)}& \vee &{z = \sqrt 2 \operatorname{cis} \left( {\frac{{\tfrac{\pi }{2}}}{2} + \frac{{2\pi }}{2}} \right)}
    \end{array}} \\
      {}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{l}}
      {z = \sqrt 2 \operatorname{cis} \left( {\frac{\pi }{4}} \right)}& \vee &{z = \sqrt 2 \operatorname{cis} \left( {\frac{{5\pi }}{4}} \right)}
    \end{array}} \\
      {}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{l}}
      {z = 1 + i}& \vee &{z =  – 1 – i}
    \end{array}}
    \end{array}$$
     
  2.  
    $$\begin{array}{*{20}{l}}
      {{z^3} – i{z^2} – z + i = 0}& \Leftrightarrow &{i\left( {1 – {z^2}} \right) – z\left( {1 – {z^2}} \right) = 0} \\
      {}& \Leftrightarrow &{\left( {1 – {z^2}} \right)\left( {i – z} \right) = 0} \\
      {}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{l}}
      {1 – {z^2} = 0}& \vee &{i – z = 0}
    \end{array}} \\
      {}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{l}}
      {{z^2} = 1}& \vee &{z = i}
    \end{array}} \\
      {}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{l}}
      {z =  – 1}& \vee &{z = 1}& \vee &{z = i}
    \end{array}}
    \end{array}$$
<< Enunciado
Considere as equações 0

Considere as equações

Números complexos: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 103 Ex. 64

Enunciado

Considere as equações: $$\begin{array}{*{20}{c}}
  {{w^2} = 4}&{\text{e}}&{{w^4} = 16}
\end{array}$$

As equações dadas são equivalentes em $\mathbb{R}$? E em $\mathbb{C}$?

Resolução >> Resolução

Resolvendo em $\mathbb{R}$:

$$\begin{array}{*{20}{l}}
  {{w^2} = 4}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{l}}
  {w =  – 2}& \vee &{w = 2}
\end{array}}
\end{array}$$

$$\begin{array}{*{20}{l}}
  {{w^4} = 16}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{l}}
  {w =  – 2}& \vee &{w = 2}
\end{array}}
\end{array}$$

 
Portanto, as equações são equivalentes em $\mathbb{R}$, pois possuem igual conjunto solução.…