Monthly Archive: Março 2018

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Mostra que

Trigonometria: Matematicamente Falando 9 - Parte 2 Pág. 62 Ex. 10

Enunciado

Mostra que:

  1. \(2{{\mathop{\rm sen}\nolimits} ^2}\alpha – 1 = \left( {{\mathop{\rm sen}\nolimits} \alpha – \cos \alpha } \right)\left( {{\mathop{\rm sen}\nolimits} \alpha + \cos \alpha } \right)\)
     
  2. \(1 + \frac{1}{{{{{\mathop{\rm tg}\nolimits} }^2}\theta }} = \frac{1}{{{{{\mathop{\rm sen}\nolimits} }^2}\theta }}\)

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  1. Tendo em consideração a Fórmula Fundamental da Trigonometria
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O perímetro e a área de um triângulo

Trigonometria: Matematicamente Falando 9 - Parte 2 Pág. 61 Ex. 9

Enunciado

No triângulo retângulo da figura, a hipotenusa mede mais 4 cm do que o cateto [AB] e \({\mathop{\rm sen}\nolimits} \widehat C = 0,6\).

Calcula o perímetro e a área do triângulo [ABC]

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Ora,

\[\begin{array}{*{20}{l}}{{\mathop{\rm sen}\nolimits} \widehat C = 0,6}& \Leftrightarrow …

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O seno de um ângulo agudo é \({\frac{3}{5}}\)

Trigonometria: Matematicamente Falando 9 - Parte 2 Pág. 61 Ex. 8

Enunciado

O seno de um ângulo agudo de amplitude \(\alpha \) é \({\frac{3}{5}}\).

Qual é o valor de \({\cos ^2}\alpha – {\mathop{\rm tg}\nolimits} \alpha \)?

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Por aplicação da Fórmula Fundamental da Trigonometria, vem:

\[\begin{array}{*{20}{l}}{{{\left( {\frac{3}{5}} \right)}^2} + {{\cos }^2}\alpha = 1}& \Leftrightarrow &{{{\cos }^2}\alpha = …

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Sabendo que \({\mathop{\rm sen}\nolimits} \alpha = \frac{1}{3}\)

Trigonometria: Matematicamente Falando 9 - Parte 2 Pág. 61 Ex. 6

Enunciado

Sabendo que \({\mathop{\rm sen}\nolimits} \alpha = \frac{1}{3}\), qual é o valor de \({\cos \alpha }\) e de \({\mathop{\rm tg}\nolimits} \alpha \)?

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Aplicando a Fórmula Fundamental da Trigonometria, vem:

\[\begin{array}{*{20}{l}}{{{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^2} + {{\cos }^2}\alpha = 1}& \Leftrightarrow &{{{\cos }^2}\alpha = 1 – \frac{1}{9}}\\{}& \Leftrightarrow …

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Sou um ângulo agudo

Trigonometria: Matematicamente Falando 9 - Parte 2 Pág. 61 Ex. 5

Enunciado

Sou um ângulo agudo. O meu cosseno é igual a \(\frac{3}{5}\).

Calcula o valor exato do meu seno e da minha tangente.

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Seja \(\alpha \) a amplitude desse ângulo agudo.

Aplicando a Fórmula Fundamental da Trigonometria, vem:

\[\begin{array}{*{20}{l}}{{{{\mathop{\rm sen}\nolimits} }^2}\alpha + {{\left( {\frac{3}{5}} \right)}^2} …

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Um octógono regular

Trigonometria: Matematicamente Falando 9 - Parte 2 Pág. 60 Ex. 5

Enunciado

Considera um octógono regular inscrito numa circunferência de centro O e raio 4 cm e decomposto em oito triângulos de vértice O e com um lado comum ao octógono.

  1. Justifica que os triângulos, nos quais está dividido o octógono, são iguais e que \(C\widehat OD = 45^\circ
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A área de um triângulo

Trigonometria: Matematicamente Falando 9 - Parte 2 Pág. 60 Ex. 4

Enunciado

Calcula o valor exato da área, em centímetros quadrados, do triângulo retângulo [ABC] da figura.

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No triângulo retângulo [ABC], vem \({\mathop{\rm tg}\nolimits} B\widehat AC = \frac{{\overline {BC} }}{{\overline {AB} }}\), donde:

\[\begin{array}{*{20}{l}}{{\mathop{\rm tg}\nolimits} 60^\circ = \frac{{8\sqrt 3 }}{{\overline {AB} }}}& …

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Uma escada magirus

Trigonometria: Matematicamente Falando 9 - Parte 2 Pág. 60 Ex. 3

Enunciado

Numa operação de salvamento, aquando de um incêndio num prédio de vários andares, foi utilizada uma escada magirus, com 30 metros de comprimento, assente num camião a 2,5 metros do chão.

De acordo com os bombeiros, a inclinação máxima da escada é 60 graus.

Qual é a …

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Uma corda [BC]

Trigonometria: Matematicamente Falando 9 - Parte 2 Pág. 60 Ex. 2

Enunciado

Uma corda [BC] forma um ângulo de 30 graus com o diâmetro [AB] de uma circunferência, como vês na figura.

Qual é o comprimento da corda [AC], sabendo que o raio da circunferência mede 1,5 cm? Explica como chegaste à tua …

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As razões trigonométricas dos ângulos de \(30^\circ \), \(45^\circ \) e \(60^\circ \)

Trigonometria: Matematicamente Falando 9 - Parte 2 Pág. 56 Ex. 9

Enunciado

  1. Na figura, [DU] é uma diagonal do quadrado de lado a.
  1. Qual é a medida da amplitude do ângulo UDA? Justifica.
  2. Calcula, a partir do quadrado de lado a, os valores exatos de \({\mathop{\rm sen}\nolimits} 45^\circ \), \(\cos 45^\circ \) e \({\mathop{\rm
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O quadrilátero [ABCD] está dividido em dois triângulos retângulos

Trigonometria: Matematicamente Falando 9 - Parte 2 Pág. 56 Ex. 9

Enunciado

O quadrilátero [ABCD] está dividido em dois triângulos retângulos.

  1. Qual é a medida da amplitude do ângulo BAC, arredondada às unidades? Explica como chegaste à tua resposta.
  2. Determina \(\overline {AD} \) arredondado às décimas.

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  1. No triângulo retângulo [ABC], temos:
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A geratriz de um cone reto mede 40 cm

Trigonometria: Matematicamente Falando 9 - Parte 2 Pág. 56 Ex. 8

Enunciado

A geratriz do cone reto da figura mede 40 cm e faz um ângulo de 80 graus com o diâmetro da base.
Em cada alínea, apresenta os valores arredondados às décimas.

  1. Calcula a altura do cone.
  2. Determina o volume do cone.
  3. Qual é a área da superfície
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Considera, num referencial cartesiano, os pontos A, B e C

Trigonometria: Matematicamente Falando 9 - Parte 2 Pág. 56 Ex. 7

Enunciado

Considera, num referencial cartesiano, os pontos A(2,1), B(-1,1) e C(-1,-3).

  1. Representa os pontos A, B e C, num referencial cartesiano ortogonal e monométrico.
  2. Calcula o seno do ângulo BAC.

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  1. Os pontos estão representados no referencial ao lado.
  2. Tendo
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Mostra que

Trigonometria: Matematicamente Falando 9 - Parte 2 Pág. 56 Ex. 6

Enunciado

Sendo α a amplitude de um ângulo agudo, mostra que:

\[{\left( {{\mathop{\rm sen}\nolimits} \alpha + \cos \alpha } \right)^2} = 1 + 2{\mathop{\rm sen}\nolimits} \alpha \times \cos \alpha \]

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\[\begin{array}{*{20}{l}}{{{\left( {{\mathop{\rm sen}\nolimits} \alpha + \cos \alpha } \right)}^2}}& = &{{{{\mathop{\rm sen}\nolimits} }^2}\alpha + 2{\mathop{\rm …

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Observa o triângulo [ABC], retângulo em A

Trigonometria: Matematicamente Falando 9 - Parte 2 Pág. 56 Ex. 5

Enunciado

Observa o triângulo [ABC], retângulo em A.

Sabendo que \(\cos \alpha = \frac{{12}}{{13}}\), calcula:

  1. os valores exatos de \({{\mathop{\rm sen}\nolimits} \alpha }\) e de \({\mathop{\rm tg}\nolimits} \alpha \).
  2. o comprimento da hipotnusa do triângulo [ABC].

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  1. Aplicando a Fórmula Fundamental
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Verifica se existe pelo menos um ângulo agudo

Trigonometria: Matematicamente Falando 9 - Parte 2 Pág. 56 Ex. 4

Enunciado

Verifica, justificando, se existe pelo menos um ângulo agudo de amplitude α para o qual:

  1. \({\mathop{\rm sen}\nolimits} \alpha = 1,4\);
  2. \({\mathop{\rm sen}\nolimits} \alpha = 0,6\) e \({\mathop{\rm tg}\nolimits} \alpha = 0,75\);
  3. \(\cos \alpha = – 1\)

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Verifica, justificando, se existe pelo menos um ângulo …

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Sem recorrer à calculadora

Trigonometria: Matematicamente Falando 9 - Parte 2 Pág. 56 Ex. 3

Enunciado

Sem recorrer à calculadora e sem efetuar cálculos, indica justificando:

  1. o valor de \({\mathop{\rm sen}\nolimits} 30^\circ \), sabendo que \(\cos 60^\circ = 0,5\);
  2. o valor de \(\cos 25^\circ \), sabendo que \({\mathop{\rm sen}\nolimits} 65^\circ \approx 0,9063\).

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Relação de ângulos complementares \[\begin{array}{*{20}{c}}{{\mathop{\rm sen}\nolimits} \left( {90^\circ

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Qual das alternativas é a correta?

Trigonometria: Matematicamente Falando 9 - Parte 2 Pág. 56 Ex. 2

Enunciado

Sabendo que α designa a amplitude, em graus, de um ângulo agudo e que \({\mathop{\rm sen}\nolimits} \alpha = \frac{8}{9}\), qual dos seguintes é o valor exato de \(\cos \alpha \)?

[A] \(\frac{{\sqrt {17} }}{9}\)

[B] \(\frac{{\sqrt {17} }}{{81}}\)

[C] \(\frac{{17}}{{81}}\)

[…

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Sem calcular o valor de α

Trigonometria: Matematicamente Falando 9 - Parte 2 Pág. 56 Ex. 1

Enunciado

Sem calcular o valor de α, determina \(\cos \alpha \) e \({{\mathop{\rm tg}\nolimits} \alpha }\), sabendo que \({\mathop{\rm sen}\nolimits} \alpha = 0,36\) e α é a amplitude de um ângulo agudo. Apresenta os valores arredondados às centésimas.

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Fórmula Fundamental da Trigonometria \[{{\mathop{\rm sen}\nolimits} ^2}\alpha

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Relações entre as razões trigonométricas

Trigonometria: Matematicamente Falando 9 - Parte 2 Pág. 53 Tarefa 5

Enunciado

Observa o triângulo [ABC], retângulo em C.

  1. Como podem relacionar-se os comprimentos a, b e c dos lados do triângulo [ABC]?
  2. Usando as letras da figura, escreve a razão correspondente a:
    \({\mathop{\rm sen}\nolimits} \alpha \) \(\cos \alpha \) \({\mathop{\rm tg}\nolimits} \alpha
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A instalação de um teleférico

Trigonometria: Matematicamente Falando 9 - Parte 2 Pág. 52 Ex. 12

Enunciado

O topo B da montanha está a 114 m de altitude.
Para instalar um teleférico, foi medida a amplitude do ângulo em A e o desnível entre os pontos A e B.

  1. Qual é a distância, arredondada às centésimas, entre os pontos A e B da montanha?
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A altura de uma torre

Trigonometria: Matematicamente Falando 9 - Parte 2 Pág. 52 Ex. 11

Enunciado

De um ponto O vê-se o topo de uma torre sob um ângulo de 35 graus.
Avançando 10 metros em direção à torre, o ângulo passa a ser de 58 graus.

Determina a altura da torre arredondada às décimas.

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Do triângulo retângulo [ABC