Al-Biruni e a medida da circunferência da Terra

O incrível poder da matemática como uma ferramenta para modelar o nosso mundo

 

Al-Biruni

Al-BiruniAbu Arrayhan Muhammad ibn Ahmad al-Biruni, conhecido apenas como al-Biruni, nasceu no ano de 973 em Kath, atual Kara-Kalpakskaya, no Uzbequistão, e faleceu no ano de 1048 em Ghazna, atual Ghazni, no Afeganistão.

Ainda muito jovem, começou a estudar a Geometria de Euclides e a Astronomia de Ptolomeu, orientado pelo famoso astrónomo e matemático Abu Nasr Mansur. Estudou também obras de Teon de Esmirna, Homero, Platão, Aristóteles, Arquimedes, Demócrito, Brahmagupta, entre outros.

No ano de 990 calculou a latitude de Kath, observando a altitude máxima do sol. Quando tinha aproximadamente 22 anos, escreveu uma série de obras curtas, das quais chegou até nós Cartografia (c. 995), sobre projeções de mapas. Calculou a diferença de longitude entre as cidades de Kath e Bagdá.

Sabem-se com certeza determinadas datas da vida de al-Biruni, porque ele descreve eventos astronómicos em seus trabalhos.

Em 995 iniciou-se uma guerra civil na região em que al-Biruni morava. Ele fugiu, não se sabe ao certo para qual cidade, e nem se conhece o destino de Abu Nasr Mansur, seu professor. Sabe-se apenas que al-Biruni mudou-se diversas vezes, e que por volta de 1000 estava em Gurgan, onde era ajudado por Qabus, governante do estado de Ziyarid, a quem dedica sua obra Cronologia (c. 1000), que se refere a trabalhos anteriores de sua autoria, sobre os seguintes temas: sistema decimal, astrolábio, observações astronómicas, astrologia e história.

Em 1004 voltou à sua terra natal. Entre 1018 e 1020, com o apoio do governante Mahmud (Sultão de Ghazna, 998-1030), de quem há indícios de que foi prisioneiro, al-Biruni conseguiu determinar a latitude de Ghazna de forma precisa. Ele aproveitou estes anos de “cativeiro” para observar os astros, reunir materiais para escrever tratados matemáticos e para tentar compreender a influência da lua nas marés.

As viagens militares de Mahmud fizeram com que al-Biruni conhecesse a Índia, o que lhe permitiu determinar a latitude de 11 cidades do país, além de escrever sua famosa obra Índia, na qual ele descreve a religião e filosofia do país, seu sistema de castas e costumes de casamento, sistemas de numeração, pesos e medidas, bem como a Geografia local. O livro também examina a astronomia indiana, a astrologia e o calendário. Esta obra passou a ser a principal fonte de informação sobre a situação do país no século XI. Para compô-la, ele utilizou vinte e quatro obras de catorze autores gregos e quarenta fontes em sânscrito (língua indiana), que começara a aprender aos 45 anos, o que lhe permitiu, posteriormente, traduzir Os Elementos de Euclides para o sânscrito.

Graças aos textos indianos, al-Biruni conheceu a Trigonometria e foi o primeiro a fazer dela uma ciência distinta da Astronomia. Também foi pioneiro na utilização do círculo de raio 1 para fazer cálculos.

Além disso, desenvolveu métodos para extração de raízes cúbicas e destacou-se pelo cálculo da qibla, determinando cientificamente a maneira de uma pessoa se orientar para Meca, para onde devem voltar-se os muçulmanos a fim de fazer suas orações.

Uma outra produção importante de al-Biruni é Sombras (c. 1021), relevante para a História da Matemática, Astronomia e Física. Nela são descritos fenómenos envolvendo sombras, bem como a história das funções secante e tangente. Além disso, algumas ideias do livro podem ser encaradas como uma antecipação do conceito de coordenadas polares.

Ilustração de al-Bīrūnī das diferentes fases da Lua, de Kitab al-tafhim. Fonte: Seyyed Hossein Nasr, Islamic Science: An Illustrated Study, London: World of Islam Festival, 1976.

Ilustração de al-Bīrūnī das diferentes fases da Lua, de Kitab al-tafhim. Fonte: Seyyed Hossein Nasr, Islamic Science: An Illustrated Study, London: World of Islam Festival, 1976.

Durante o reinado de Mas’ud, filho de Mahmud, al-Biruni foi mais bem tratado, pois o novo governante era um homem culto, que valorizava a pesquisa. A ele al-Biruni dedicou sua grande obra de Astronomia, Al-Qanun al-Mas’udi, que sobrepuja a obra de Ptolomeu e é composta de onze volumes, que tratam de Cosmologia, Cronologia, Geografia, Matemática e claro, Astronomia.

Com o assassinato de Mas’ud, seu filho Maudud assumiu o governo por oito anos (1040-1048). Durante este tempo, al-Biruni escreveu uma obra de Mineralogia, Pedras Preciosas.

Em um outro trabalho, do qual não foi possível determinar o título e a data, al-Biruni afirma que o descobridor da chamada fórmula de Herão fora, na verdade, Arquimedes de Siracusa.

Al-Biruni deixou importantes contribuições também em Geodesia e Geografia, introduzindo técnicas para medição de distâncias usando triangulação. Ele determinou o raio da Terra como sendo igual a 6339,6 km, antecipando em séculos os ocidentais.

No que diz respeito à Física, realizou estudos sobre a gravidade específica e as causas dos poços artesianos.

Correspondeu-se por muitos anos com o mais importante sábio e cientista do Islão, Abu Ali al-Husain ibn Abdallah ibn Sina (conhecido no Ocidente como Avicena), sobre Filosofia, Astronomia e Física.

Sua última obra foi al-Saydala ii l-tibb (Farmacologia), na qual estudou o uso medicinal das plantas.

A variedade de seus estudos cobria boa parte da ciência de sua época, tendo produzido mais de 150 livros, entre eles 70 tratados de Astronomia, 20 de Matemática e 18 obras de Literatura, incluindo suas traduções. Destas obras, apenas 27 sobreviveram ao tempo.

O reconhecimento de sua importância pode ser medido, em partes, pela informação dada por Gafurov (1974, p. 5), de que em comemoração ao milésimo aniversário (1973) de al-Biruni, foram feitos selos especiais em países como Afeganistão, Irão, Paquistão, Líbia, Síria, e organizados colóquios sobre ele nos três primeiros países citados e na antiga União Soviética.

 

Sobre a medida da circunferência da Terra

Al-Biruni aplica medições para o estudo da Natureza, de muitas maneiras; na astronomia como exemplificado em al-Qanun al-mas’ udi, bem como em geografia e física. Em geografia, particularmente, ele usa a matemática de muitas maneiras inovadoras e pode ser considerado o fundador da ciência da geodesia. Em al-Kitab fi’l-usturlab, por exemplo, al-Biruni descreve seu próprio método para determinar a circunferência da Terra. A circunferência é medida escalando uma montanha perto do mar e observando o pôr-do-sol e o seu mergulho no horizonte. Em seguida, é determinado o valor da perpendicular a partir da montanha. A partir deste valor é possível determinar o comprimento da circunferência da Terra multiplicando a altura da montanha pelo seno do ângulo complementar de mergulho, para usar a própria descrição de al-Biruni, e dividindo o resultante pelo seno verso (1) do ângulo de mergulho e, finalmente, multiplicando-se esse quociente por 2π (2). Em seguida, ele acrescenta que “tais questões, no entanto, precisam de experiências reais, e só poderiam ser verificadas por meio de testes.”

Al-Biruni teve a oportunidade de experimentar este método no norte de Dabistan na província de Jurjan, mas devido à falta de assistentes e outras dificuldades não obteve quaisquer resultados satisfatórios. Ele não se desesperou, no entanto, e no Kitab al-tahdid nihdyat al-amakin descreve uma outra tentativa que fez na Índia para usar este método e no qual foi muito bem-sucedido.

  • (1) O seno verso é uma função trigonométrica pouco utilizada hoje em dia.
    É geralmente escrita como versin ou vers e é definida como \({\mathop{\rm versin}\nolimits} \left( \alpha \right) = 1 – \cos \left( \alpha \right)\).
  • (2) Ter-se-á tomado 22/7 para valor aproximado de π.
    “You multiply this height into the sine of the complementary angle of the dip, and divide the total by the versed sine of this dip itself. Then multiply (the double of) the quotient into 22 and divide the result of this multiplication by 7. You will get the length of the Earth’s circumference (in the same terms or proportion) in which the height of the mountain has been fixed.” – The Arabic text of a passage on the circumference of the earth is quoted from Nallino and printed in Syed Hasan Barani, Muslim Researches in Geodesy, Al-Biruni Commemoration Volume Calcutta (Iran Society, 159-B Dharamtala Street) 1951, pp. 1-52, especially pp. 32-33.
     
  • Extraído de An Introduction to Islamic Cosmological Doctrines – Seyyed Hossein Nasr,
    Thames and Hudson Ltd, 1978, pág. 128-129

 

 

 

Sobre as medidas da altura da montanha e da circunferência da Terra

No 2.º Episódio, O Império da razão, do documentário A Ciência e o Islão, o físico Al-Khalili viaja para o norte da Síria para descobrir como, há mil anos, o grande matemático e astrónomo Al-Biruni estimou o tamanho da Terra.

Entre os minutos 11 e 24 do episódio O Império da razão, o físico Al-Khalili exemplifica como Al-Biruni terá realizado as medições para determinar a altura da montanha e o ângulo da linha de visão ao horizonte.

 

 

Tarefa 1

Tarefa 1

Altura da montanhaO cálculo da altura da montanha requer a obtenção de três medidas: a distância entre dois pontos posicionados em linha reta desde a base da montanha e a amplitude de dois ângulos desde esses pontos até ao cume da montanha.

Deduza a expressão seguinte.

\[h = \frac{{d \times {\mathop{\rm tg}\nolimits} {\theta _1} \times {\mathop{\rm tg}\nolimits} {\theta _2}}}{{{\mathop{\rm tg}\nolimits} {\theta _2} – {\mathop{\rm tg}\nolimits} {\theta _1}}}\]

 

Resolução 1

Resolução 1

Altura da montanha

No triângulo [ABC], temos:

\[{{\mathop{\rm tg}\nolimits} {\theta _1} = \frac{h}{{\overline {AD}  + d}}}\]

No triângulo [ABD], temos:

\[\begin{array}{*{20}{c}}{{\mathop{\rm tg}\nolimits} {\theta _2} = \frac{h}{{\overline {AD}  + d}}}& \Leftrightarrow &{\overline {AD}  = \frac{h}{{{\mathop{\rm tg}\nolimits} {\theta _2}}}}\end{array}\]

Substituindo \({\overline {AD} }\) na 1.ª equação, vem:

\[\begin{array}{*{20}{l}}{{\mathop{\rm tg}\nolimits} {\theta _1} = \frac{h}{{\frac{h}{{{\mathop{\rm tg}\nolimits} {\theta _2}}} + d}}}& \Leftrightarrow &{\frac{{h \times {\mathop{\rm tg}\nolimits} {\theta _1}}}{{{\mathop{\rm tg}\nolimits} {\theta _2}}} + d \times {\mathop{\rm tg}\nolimits} {\theta _1} = h}\\{}& \Leftrightarrow &{h \times {\mathop{\rm tg}\nolimits} {\theta _1} + d \times {\mathop{\rm tg}\nolimits} {\theta _1} \times {\mathop{\rm tg}\nolimits} {\theta _2} = h \times {\mathop{\rm tg}\nolimits} {\theta _2}}\\{}& \Leftrightarrow &{h \times \left( {{\mathop{\rm tg}\nolimits} {\theta _2} – {\mathop{\rm tg}\nolimits} {\theta _1}} \right) = d \times {\mathop{\rm tg}\nolimits} {\theta _1} \times {\mathop{\rm tg}\nolimits} {\theta _2}}\\{}& \Leftrightarrow &{h = \frac{{d \times {\mathop{\rm tg}\nolimits} {\theta _1} \times {\mathop{\rm tg}\nolimits} {\theta _2}}}{{{\mathop{\rm tg}\nolimits} {\theta _2} – {\mathop{\rm tg}\nolimits} {\theta _1}}}}\end{array}\]

Assim, conclui-se:

\[h = \frac{{d \times {\mathop{\rm tg}\nolimits} {\theta _1} \times {\mathop{\rm tg}\nolimits} {\theta _2}}}{{{\mathop{\rm tg}\nolimits} {\theta _2} – {\mathop{\rm tg}\nolimits} {\theta _1}}}\]

Tarefa 2

Tarefa 2

Al-Biruni e o raio da TerraNo cume de uma montanha de altura conhecida, representada pelo segmento [AB], avista-se do ponto B o horizonte ao longo da linha BT.

Usando um instrumento, como um astrolábio, que pode medir ângulos, determina-se a amplitude do ângulo SBT, chamado ângulo da linha de visão com o horizonte.

Justificando, deduza a famosa equação de al-Biruni:

\[R = \frac{{h \times \cos \alpha }}{{1 – \cos \alpha }}\]

 

 

 

 

Resolução 2

Resolução 2

Al-Biruni e o raio da TerraOs ângulos EBS e AEB são congruentes, pois são ângulos alternos internos.

Os triângulos retângulos [ABE] e [BOT] são semelhantes, pois o ângulo OBT é um ângulo interno comum.

Consequentemente, \(B\widehat OT = A\widehat EB = E\widehat BS = \alpha \).

Assim, no triângulo retângulo [BOT], temos:

\[\begin{array}{*{20}{l}}{\cos \alpha  = \frac{R}{{R + h}}}& \Leftrightarrow &{R = R \times \cos \alpha  + h \times \cos \alpha }\\{}& \Leftrightarrow &{R \times \left( {1 – \cos \alpha } \right) = h \times \cos \alpha }\\{}& \Leftrightarrow &{R = \frac{{h \times \cos \alpha }}{{1 – \cos \alpha }}}\end{array}\]

Assim, conclui-se:

\[R = \frac{{h \times \cos \alpha }}{{1 – \cos \alpha }}\]

Tarefa 3

Tarefa 3

Considerando a equação deduzida por al-Burini e os dados por si indicados, verifique, utilizando tecnologia atual de cálculo, os valores apresentados no texto (incluído na conclusão) para comprimento do raio e perímetro da circunferência da Terra:

  • \(R = \frac{{h \times \cos \alpha }}{{1 – \cos \alpha }}\)
     
  • \(h = 652{\raise0.5ex\hbox{$\scriptstyle 1$}
    \kern-0.1em/\kern-0.15em
    \lower0.25ex\hbox{$\scriptstyle {20}$}} = 652 + \frac{1}{{20}} = 652,05\)
     
  • \(\alpha  = 34′ = \frac{{34^\circ }}{{60}} = \frac{{17^\circ }}{{30}} = 0,5\left( 7 \right)^\circ \)
     
  • \(R = 12.851.359\;\;50’\;42” = 12.851.359 + \frac{{50}}{{60}} + \frac{{42}}{{360}} = \frac{{257.027.199}}{{20}} = 12.851.359,95\)
     
  • \(P = 80.780.039\;\;1’\;38” = 80.780.039 + \frac{1}{{60}} + \frac{{38}}{{360}} = \frac{{7.270.203.521}}{{90}} = 8.0780.039,1\left( 2 \right)\)

 

Resolução 3

Resolução 3
  • \(R = \frac{{h \times \cos \alpha }}{{1 – \cos \alpha }}\)
     
  • \(h = 652{\raise0.5ex\hbox{$\scriptstyle 1$}
    \kern-0.1em/\kern-0.15em
    \lower0.25ex\hbox{$\scriptstyle {20}$}} = 652 + \frac{1}{{20}} = 652,05\)
     
  • \(\alpha  = 34′ = \frac{{34^\circ }}{{60}} = \frac{{17^\circ }}{{30}} = 0,5\left( 7 \right)^\circ \)
     
  • \(R = 12.851.359\;\;50’\;42” = 12.851.359 + \frac{{50}}{{60}} + \frac{{42}}{{360}} = \frac{{257.027.199}}{{20}} = 12.851.359,95\)
     
  • \(P = 80.780.039\;\;1’\;38” = 80.780.039 + \frac{1}{{60}} + \frac{{38}}{{360}} = \frac{{7.270.203.521}}{{90}} = 8.0780.039,1\left( 2 \right)\)

 

Expressão Cálculo Erro
\[R = \frac{{652,05 \times \cos \left( {\frac{{17^\circ }}{{30}}} \right)}}{{1 – \cos \left( {\frac{{17^\circ }}{{30}}} \right)}} \approx 13.331.626,12\]  Cálculo do raio  \(3,60\% \)
\[P\left( {{\textstyle{{22} \over 7}}} \right) = \frac{{652,05 \times \cos \left( {\frac{{17^\circ }}{{30}}} \right)}}{{1 – \cos \left( {\frac{{17^\circ }}{{30}}} \right)}} \times 2 \times \frac{{22}}{7} \approx 83.798.792,78\]  Cálculo do perímetro 1  \(3,60\% \)
\[P\left( \pi  \right) = \frac{{652,05 \times \cos \left( {\frac{{17^\circ }}{{30}}} \right)}}{{1 – \cos \left( {\frac{{17^\circ }}{{30}}} \right)}} \times 2\pi  \approx 83.765.077,38\]  Cálculo do perímetro 2  \(3,56\% \)

 

Al-Biruni and the Earth’s Radius

Algumas observações

Na trigonometria, estudo dos triângulos e ângulos, os geómetras islâmicos introduziram algumas funções muito úteis ainda hoje usadas. Conhecia-se anteriormente o seno e sabe-se que os chineses usavam já a função tangente. Mas os islâmicos introduziram as funções cosseno, cotangente, secante e cossecante, que aparecem plenamente estudadas nos trabalhos de al-Biruni (973-1055), nomeadamente no seu Tratado Completo Sobre as Sombras. Este geómetra e os seus seguidores conseguiram igualmente construir tabelas trigonométricas de grande precisão, o que tornou estas funções num instrumento prático precioso para a topografia, a arquitetura e a astronomia.

O problema da qibla: dadas as coordenadas em ângulos de latitude e longitude dos dois lugares, encontrar a direcção PQ, que junta o local onde o crente se encontra, P, com Meca, M, ao longo de um arco de círculo máximo sobre a esfera terrestre.

O problema da qibla: dadas as coordenadas em ângulos de latitude e longitude dos dois lugares, encontrar a direcção PQ, que junta o local onde o crente se encontra, P, com Meca, M, ao longo de um arco de círculo máximo sobre a esfera terrestre.

Os matemáticos islâmicos desenvolveram igualmente a trigonometria esférica, que se veio a tornar um instrumento crucial da navegação. Estudaram os ângulos de triângulos sobre a superfície da esfera terrestre, motivados por um problema religioso de implicações geométricas interessantes. Esse problema é o da qibla, ou seja, o da determinação da direção de Meca. Como se sabe, os muçulmanos devem rezar orientados para essa cidade sagrada, o que levanta o problema da determinação rigorosa da sua direção num ponto dado do globo. O problema é fácil de resolver com precisão razoável nas proximidades de Meca, mas é mais difícil quando o local está situado na península Ibérica, no Afeganistão ou noutros locais afastados.

Al-Biruni criou um método rigoroso de determinação da direção de Meca dadas as coordenadas do local onde o crente se encontre. O problema veio a ser retomado mais tarde por Pedro Nunes no contexto da navegação. O matemático português estava interessado em determinar a direção que o navio deveria tomar para chegar ao porto de destino. O seu problema generaliza o da qibla, tornando-o num problema dinâmico. Com efeito, a rota mais curta, sobre um círculo máximo, não é em geral dada por uma direção cardeal constante, sendo preciso ajustá-la durante a viagem para manter o navio nesse trajeto ótimo.

Os problemas de trigonometria esférica têm interesse para a náutica teórica, mas os árabes legaram ao Ocidente, nomeadamente aos Ibéricos, vários outros conhecimentos e técnicas de navegação que se tornaram imprescindíveis para as Descobertas. Contam-se aí técnicas como a vela latina, conhecimentos astronómicos para a determinação de coordenadas, nomeadamente tabelas de alturas do Sol, cartas náuticas e diversos conhecimentos geográficos. Mesmo depois de os Portugueses terem conseguido dobrar as costas de África, foi-lhes útil a ajuda de um piloto árabe para navegar no Índico. Como Camões relata, “o piloto que leva” consigo Vasco da Gama “vai mostrando a navegação certa” (Lusíadas, VI, 6).

 

Conclusão sobre a medida da circunferência da Terra

Vamos retomar a descrição da tentativa de al-Biruni na medição da circunferência da Terra:

Since this method is an excellent example of the application of measurement to the physical domain, we produce here his own account of the second attempt to apply it:

Al-Birun's measurement of the circumference of the earth

Al-Birun’s measurement of the circumference of the earth

When in the country of India, I found a mountain adjacent to a level-faced plain; I first ascertained its height at sea-level. I then imagined the sight line passing on its peak and connecting the earth with the sky, that is, the horizon (da’ irat al-ufuq). I found through my instrument that its horizon inclined from the Eastern and Western lines a little less than 1/3 and 1/4 degrees. So I took the dip of the horizon as 34 minutes. I then ascertained the altitude of the mountain by taking the heights of its peak in two different places, both of which were in a line with the bottom of the mountain’s perpendicular. I found it 652 1/20 cubits. Now the mountain’s perpendicular (hh) stands erect on (abh), the Earth’s sphere; we carry it straight down to (htb), which would necessarily pass through the Earth’ center (t) on account of the attraction of the heavy weight on it. Now the tangent touching the Earth from the peak of the mountain (h) passing to the horizon is (ha). We join (t) and (a), and thus is formed the right-angled triangle (hta), of which the angle at (a) is known to be the right angle and the values (of the other two angles) are also know; the angle (aht) being equal to the complementary angle of the dip of the horizon having 89 degrees and 26 minutes, with a sine of 0p, 59′, 59” 49”’, 2””, and the angle (hta) being equal to the dip of the horizon itself, that is, 34′, with a sine of 0p, 0′, 35”, 36”’. And thus this triangle will also be of known sides in the proportion in which (th) wil be sine 1 (that is, 90º) and (ta) (half-chord) will be sine for the complementary angle to the dip of the horizon. Therefore (hh) would be the excess in the sine 1 over the sine for the complementary angle to the dip of horizon, and would come to 0p, 0′, 0”, 10”’, 57””, 32””’, and its ratio to (ta), the sine for the complementary angle to the dip, would be the same as the ratio of the cubits of (hh), the perpendicular of the mountain (that is, 652 1/20 cubits) to the cubits of (ta), the radius of the Earth.

In this manner the radius of the Earth would be 12,851,359 cubits 50′, 42”, and the circumference 80,780,039 cubits 1′, 38”, and a single one of the 360 degrees 224,388 cubits 59′ 50”.

The mile for a single degree would amount to 56º 0′ 50” 6”’. (25)

If we accept the value found by Nallino for the Arabic cubit (dhira’) as being 4,933 millimeters, the above method gives the circumference of the earth as 25,000 2/7 English miles, not far different from the value found by the astronomers of al-Ma’mun. If the earth were a perfect sphere instead of a geoid, the value found by al-Biruni would be extremely close to modern measurements. As it stands, it is among the best geodetical measurements made during the medieval period.

(25) This passage has been translated and fully explained by Barani in “Muslim researches in geodesy”, pp. 35-41.

 

Fontes:

 

1 Resposta

  1. 11 de Janeiro de 2016

    […] this episode we also discover how the Persian astronomer al-Biruni devised an ingenious method for calculating the circumference of the earth, which allowed him to come up with an incredibly accurate estimate, within one percent of the […]

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