Uma chaminé de cozinha
Trigonometria: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 89 Ex. 25
Uma chaminé de cozinha tem a forma de um tronco de pirâmide com bases retangulares.
As faces [ADHE] e [ABFE] são perpendiculares às duas bases.
Na figura, as dimensões estão expressas em milímetros.
Calcule:
- as alturas de [BF] e de [DH] dos trapézios [BCGF] e [CDHG], com aproximação ao milímetro;
- a área de cada uma das faces [BCGF] e [CDHG], com aproximação ao cm2;
- as medidas dos ângulos α e β, com aproximação à décima de grau;
- o comprimento da aresta [GC], com aproximação ao milímetro.
- Seja B’ a projeção ortogonal do ponto B sobre [FE].
Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo [BFB’], temos:
\[\overline{BF}=\sqrt{{{\overline{BB’}}^{2}}+{{\overline{FB’}}^{2}}}=\sqrt{{{800}^{2}}+{{200}^{2}}}=\sqrt{680000}=100\sqrt{68}=200\sqrt{17}\]
Logo, $\overline{BF}\approx 815\ mm$.Seja D’ a projeção ortogonal do ponto D sobre [HE].
Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo [DHD’], temos:
\[\overline{DH}=\sqrt{{{\overline{DD’}}^{2}}+{{\overline{HD’}}^{2}}}=\sqrt{{{800}^{2}}+{{300}^{2}}}=\sqrt{730000}=100\sqrt{73}\]
Logo, $\overline{DH}\approx 854\ mm$.
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Ora, \[{{A}_{[BCGF]}}=\frac{\overline{GF}+\overline{CB}}{2}\times \overline{BF}=\frac{700+400}{2}\times 200\sqrt{17}=110000\sqrt{17}\approx 453542\]
Logo, ${{A}_{[BCGF]}}\approx 4535\ c{{m}^{2}}$.De forma análoga, \[{{A}_{[CDHG]}}=\frac{\overline{GH}+\overline{CD}}{2}\times \overline{DH}=\frac{700+500}{2}\times 100\sqrt{73}=60000\sqrt{73}\approx 512640\]
Logo, ${{A}_{[CDHG]}}\approx 5126\ c{{m}^{2}}$.
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Como $tg\,\alpha =\frac{\overline{BB’}}{\overline{FB’}}=\frac{800}{200}=4$, então $\alpha =t{{g}^{-1}}(4)\approx 76,0{}^\text{o}$.
Como $tg\,\beta =\frac{\overline{DD’}}{\overline{HD’}}=\frac{800}{300}=\frac{8}{3}$, então $\beta =t{{g}^{-1}}(\frac{8}{3})\approx 69,4{}^\text{o}$.
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Seja C’ a projeção ortogonal do ponto C sobre [GF].
Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo [CGC’], temos: \[\overline{CG}=\sqrt{{{\overline{BF}}^{2}}+{{\overline{G{C}’}}^{2}}}=\sqrt{({{800}^{2}}+{{200}^{2}})+{{300}^{2}}}=\sqrt{770000}=100\sqrt{77}\]
Logo, $\overline{CG}\approx 877\ mm$.