Dados os ponto A, B e C

Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 176 Ex. 4

Enunciado

Considere um referencial ortonormado $(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})$.

Dados os pontos $A\,(-2,1,5)$, $B\,(1,-3,0)$ e $C\,(2,2,-1)$

  1. Determine as coordenadas do ponto M, tal que $\overrightarrow{BM}=3\,\overrightarrow{AB}+2\,\overrightarrow{AC}$.
     
  2. Determine as coordenadas do ponto N, tal que $2\,\overrightarrow{NA}=3\,\overrightarrow{NB}$.
     
  3. Calcule as coordenadas do ponto médio I de [MN].
     
  4. Calcule as coordenadas so simétrico de C em relação a I.

Resolução

  1. Ora,
     $\begin{array}{*{35}{l}}
       \overrightarrow{BM} & = & 3\,\overrightarrow{AB}+2\,\overrightarrow{AC}  \\
       {} & = & 3(1+2,-3-1,0-5)+2(2+2,2-1,-1-5)  \\
       {} & = & (9,-12,-15)+(8,2,-12)  \\
       {} & = & (17,-10,-27)  \\
    \end{array}$
    logo:
    $\begin{array}{*{35}{l}}
       \overrightarrow{BM}=(17,-10,-27) & \Leftrightarrow  & M-B=(17,-10,-27)  \\
       {} & \Leftrightarrow  & M=B+(17,-10,-27)  \\
       {} & \Leftrightarrow  & M=(1,-3,0)+(17,-10,-27)  \\
       {} & \Leftrightarrow  & M=(18,-13,-27)  \\
    \end{array}$
     
  2. Considerando $N\,(x,y,z)$, vem:
    $\begin{array}{*{35}{l}}
       2\,\overrightarrow{NA}=3\,\overrightarrow{NB} & \Leftrightarrow  & 2(-2-x,1-y,5-z)=3(1-x,-3-y,0-z)  \\
       {} & \Leftrightarrow  & (-4-2x,2-2y,10-2z)=(3-3x,-9-3y,-3z)  \\
       {} & \Leftrightarrow  & \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
       -4-2x=3-3x  \\
       2-2y=-9-3y  \\
       10-2z=-3z  \\
    \end{array} \right.  \\
       {} & \Leftrightarrow  & \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
       x=7  \\
       y=-11  \\
       z=-10  \\
    \end{array} \right.  \\
    \end{array}$
    Logo, $N\,(7,-11,-10)$.
     
    ALTERNATIVA:
     
    $\begin{array}{*{35}{l}}
       2\,\overrightarrow{NA}=3\,\overrightarrow{NB} & \Leftrightarrow  & 2(A-N)=3(B-N)  \\
       {} & \Leftrightarrow  & 3N-2N=3B-2A  \\
       {} & \Leftrightarrow  & N=3(1,-3,0)-2(-2,1,5)  \\
       {} & \Leftrightarrow  & N=(7,-11,-10)  \\
    \end{array}$
     
  3. As coordenadas de I são $(\frac{18+7}{2},\frac{-13+(-11)}{2},\frac{-27+(-10)}{2})=(\frac{25}{2},-12,-\frac{37}{2})$.
     
  4. Seja C’ o simétrico de C em relação a I.
    Ora, C’ é tal que $C’=I+\overrightarrow{CI}$. (Verifique graficamente)
    Logo,
    $\begin{array}{*{35}{l}}
       C’ & = & (\frac{25}{2},-12,-\frac{37}{2})+(\frac{25}{2}-2,-12-2,-\frac{37}{2}+1)  \\
       {} & = & (23,-26,-36)  \\
    \end{array}$
     
    ALTERNATIVA:

    O ponto médio do segmento [CC'] será o ponto I (Verifique graficamente). Logo, sendo C’ (x,y.z), vem:
    \[\begin{array}{*{35}{l}}
       (\frac{x+2}{2},\frac{y+2}{2},\frac{z-1}{2})=(\frac{25}{2},-12,-\frac{37}{2}) & \Leftrightarrow  & (x+2,y+2,z-1)=(25,-24,-37)  \\
       {} & \Leftrightarrow  & (x,y,z)=(23,-26,-36)  \\
    \end{array}\]


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