Considere os pontos A, B e C

Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 180 Ex. 23

Enunciado

Considere os pontos $A(5,1)$, $B(-3,2)$ e $C(3,-2)$.

  1. Escreva uma equação cartesiana da recta que contém a altura do triângulo [ABC] relativa a A.
     
  2. Calcule a área do triângulo [ABC].

Resolução

  1. A recta pedida passa em A e é perpendicular à recta BC.

    Como $\overrightarrow{BC}=(6,-4)$, então $\overrightarrow{r}=(2,3)$ é um vector director da recta pedida.

    Assim, o declive da recta pedida é $m=\frac{3}{2}$, pelo que a sua equação reduzida é da forma $y=\frac{3}{2}x+b$.

    Dado que o ponto A pertence a esta recta, temos $1=\frac{3}{2}\times 5+b\Leftrightarrow b=-\frac{13}{2}$.

    Logo, a equação reduzida da recta pedida é $y=\frac{3}{2}x-\frac{13}{2}$.

    ALTERNATIVA:
    Designando por $P(x,y)$ um ponto genérico da recta pedida, os vectores $\overrightarrow{AP}=(x-5,y-1)$ e $\overrightarrow{BC}=(6,-4)$ terão de ser perpendiculares (ver animação, abaixo).

    Logo, a recta pedida pode ser definida por: \[\begin{array}{*{35}{l}}
       \overrightarrow{AP}.\overrightarrow{BC}=0 & \Leftrightarrow  & (x-5,y-1).(6,-4)=0  \\
       {} & \Leftrightarrow  & 6x-30-4y+4=0  \\
       {} & \Leftrightarrow  & 3x-2y-13=0  \\
       {} & \Leftrightarrow  & y=\frac{3}{2}x-\frac{13}{2}  \\
    \end{array}\]
      

  2. Para determinarmos a altura do triângulo relativamente ao lado [BC] necessitamos de determinar a projecção do ponto A sobre a recta BC, ponto A’.

    Ora, o declive da recta BC é ${{m}_{BC}}=\frac{-2-2}{3-(-3)}=-\frac{2}{3}$, que é simétrico e inverso do declive da recta pedida na alínea anterior, portanto estas rectas são perpendiculares.

    Logo, a projecção do ponto A sobre a recta BC é um dos pontos B ou C.

    Dado que apenas as coordenadas do ponto C verificam a equação da recta pedida na alínea anterior, então o ponto procurado é C, isto é, o triangulo [ABC] é rectângulo em C.

    Logo, \[\begin{array}{*{35}{l}}
       {{A}_{[ABC]}} & = & \frac{\overline{BC}\times \overline{AC}}{2}  \\
       {} & = & \frac{\sqrt{{{(3+3)}^{2}}+{{(-2-2)}^{2}}}\times \sqrt{{{(3-5)}^{2}}+{{(-2-1)}^{2}}}}{2}  \\
       {} & = & \frac{\sqrt{52}\times \sqrt{13}}{2}  \\
       {} & = & \frac{2\sqrt{13}\times \sqrt{13}}{2}  \\
       {} & = & 13  \\
    \end{array}\]


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