Teorema de Pitágoras

Decomposição de figuras - Teorema de Pitágoras

Teorema

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Considera o triângulo rectângulo e os quadrados construídos sobre os seus lados.

 

  1. Activa a caixa “Mostrar Áreas” e tenta perceber qual a relação entre as áreas dos três quadrados.
     
  2. Seguidamente, activa a caixa “Dividir Quadrado Médio” e mantém a > b.
    O quadrado médio foi dividido em quatro peças.
    Utilizando essas quatro peças verdes e ainda o quadrado azul, tenta construir um quadrado.
    Que verificas?
     
  3. Completa a afirmação seguinte:

A área do quadrado construído sobre a ________________ de um triângulo rectângulo é igual à soma as áreas dos quadrados construídos sobre os ___________.

 

\[{{a}^{2}}+{{b}^{2}}={{c}^{2}}\]

 

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Pitágoras de Samos

Pitágoras de Samos
(séc. VI a.C.)

Busto de Pitágoras de Samos (Capitoline Museums – Roma)

Diz-se que viajou pelo Egipto, talvez pela Babilónia, e que, regressado à sua ilha natal, a encontrou sob o domínio de um tirano; decidiu, então fixar-se no Sul da Itália mais precisamente em Crotona (nessa época pertencente à Grande Grécia) e aí, ao que parece, fundou uma seita grega de carácter místico-político e científico-religioso que se chamou “escola pitagórica”.

O segredo e o mistério com que se rodeavam os dogmas (por exemplo, o lema máximo “Tudo é Número”) e os ensinamentos desta “escola”, assim como o carácter exclusivamente oral destes e a obrigação de atribuir todas as descobertas ao chefe da “escola”, torna difícil averiguar em que consistem efectivamente as contribuições de PITÁGORAS ou melhor dos “pitagóricos”, como já Aristóteles os designava ao referir-lhes.

Os pitagóricos rendiam verdadeiro culto místico ao número natural considerando-o como a essência de todas as coisas. Veremos mais adiante um das implicações desta posição.

É então que aparece pela primeira vez o termo “matemática” – na palavra grega “$\mu \alpha \theta \eta \mu \alpha \tau \iota \kappa \alpha $” (miu, alfa, teta, eta, miu, alfa, tau, iota, capa, alfa), usada por uns como o significado “o que é aprendido”, por outros como sinónimo de “ciência por excelência” e ainda por outros por “ciência racional”.

Daí certamente PITÁGORAS pode ser cognominado como “O Pai da Matemática”.

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now) A “escola pitagórica” usava um símbolo de reconhecimento dos membros da seita: o Pentagrama ou a Estrela de Cinco Pontos ou ainda O Pentágono Estrelado, formado unindo não consecutivamente e com um só traçado (isto é, sem levantar o lápis, por exemplo) os cinco pontos obtidos na divisão da circunferência em cinco partes iguais.

Como referimos atrás, os pitagóricos pretendiam explicar tudo por meio dos números constituídos à custa dos números naturais.

Admitiam que toda a figura geométrica fosse formada por um número finito de pontos, sendo estes pensados como ínfimos corpúsculos (“mónadas”) todos iguais entre si; daí resultava que dois comprimentos seriam sempre “comensuráveis”, pois, com efeito, sendo um segmento formado por n “mónadas” e outro por m “mónadas”, a razão entre o 1.º e o 2.º seria $\frac{n}{m}$ (representativa de um número racional).

Todavia, por ironia do destino, foi o próprio teorema de Pitágoras que veio demolir tal doutrina permitindo demonstrar que a hipotenusa do triângulo rectângulo de catetos iguais é “incomensurável” com qualquer desses catetos tomado como comprimento unidade, ou seja que $\sqrt{2}$ não é um número racional.

Selo comemorativo do 2500.º aniversário da fundação da “Escola Pitagórica”

Esta descoberta – que constitui um dos acontecimentos capitais da história do pensamento – foi tida como um escândalo pelos próprios autores que tentaram ocultá-la, convencidos que alguma calamidade cairia sobre eles se a divulgassem! Mas, desde então, a teoria geométrica das “mónadas” ficou condenada ao fracasso. Em seu lugar, triunfou outra teoria que concebia o espaço geométrico como um todo contínuo.

Extraído de Galeria dos Matemáticos do Jornal de Mathematica Elementar, Volume 1, 1991

 

Saber mais:

Demonstrações

Há indícios de que o Teorema de Pitágoras foi descoberto mais cedo pelos Chineses e Indianos, mas exactamente quando não é sabido.

O mais antigo registo do Teorema de Pitágoras consta em placas da Babilónia datando cerca de 1000 a. C. Além das placas contendo exercícios que dependem do conhecimento de pelo menos alguns casos específicos, outras placas foram encontradas com imagens que são provas efectivas do Teorema em casos especiais em que os catetos são iguais.

São conhecidas centenas de demonstrações do Teorema de Pitágoras.

No site Cut-The-Knot são apresentadas mais de 70 demonstrações.

YouTube Preview Image

 

Um documentário

This Documentary describes Pythagoras. It was produced by Cromwell Productions in 1996.

Pythagoras (fl. 530 BCE) must have been one of the world’s greatest men, but he wrote nothing, and it is hard to say how much of the doctrine we know as Pythagorean is due to the founder of the society and how much is later development.

It is also hard to say how much of what we are told about the life of Pythagoras is trustworthy; for a mass of legend gathered around his name at an early date.

Sometimes he is represented as a man of science, and sometimes as a preacher of mystic doctrines, and we might be tempted to regard one or other of those characters as alone historical.

Uma banda desenhada

Mais Matemáticas Assassinas, Kjartan Poskitt, Ilustrado por Philip Reeve, Publicações Europa-América 

A razão da história: A QUESTÃO DA INCOMENSURABILDADE

Ficha de Trabalho: Duplicação do Quadrado

Um problema

 

 

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