Considere num referencial ortonormado
Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 190 Ex. 67
Considere num referencial ortonormado Oxyz:
- o ponto $A\,(10,0,0)$
- o ponto $B\,(0,2,1)$
- o ponto $C\,(0,5,0)$
- a recta AB
- a recta BC
- Justifique que as retas AB e BC são complanares e mostre que o plano $\alpha $ por elas definido admite como equação $x+2y+6z=10$.
- Determine uma equação vetorial da recta de intersecção do plano $\alpha $ com o plano xOz.
- Calcule o volume da pirâmide [OBCA].
Exercício extraído da Prova Modelo 1999 (questão 4 da 2.ª Parte)
EXAME NACIONAL DO ENSINO SECUNDÁRIO, 12.º Ano de Escolaridade (Decreto-Lei n.º 286/89, de 29 de Agosto), Cursos de Carácter Geral e Cursos Tecnológicos
As retas AB e BC são concorrentes em B. Logo, são complanares.
As coordenadas dos pontos A, B e C verificam a equação $x+2y+6z=10$, pois $10+2\times 0+6\times 0=10$, $0+2\times 2+6\times 1=10$ e $0+2\times 5+6\times 0=10$ são proposições verdadeiras.
Portanto, as retas concorrentes AB e BC definem um plano que admite por equação a equação dada.
- O plano xOz pode ser definido pela condição $y=0$.
Ora,
\[\begin{array}{*{35}{l}}
\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
x+2y+6z=10 \\
y=0 \\
\end{array} \right. & \Leftrightarrow & \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
x+6z=10 \\
y=0 \\
\end{array} \right. & \Leftrightarrow & \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
\frac{x-10}{-6}=\frac{z}{1} \\
y=0 \\
\end{array} \right. \\
\end{array}\]Portanto, uma equação vetorial da recta pedida é $(x,y,z)=(10,0,0)+k(-6,0,1)\,,\,\,k\in \mathbb{R}$.
- O volume da pirâmide [OBCA] é:
\[\begin{array}{*{35}{l}}
V & = & \frac{1}{3}\times {{A}_{[OBC]}}\times \overline{AO} \\
{} & = & \frac{1}{3}\times \frac{\overline{OC}\times \overline{BB’}}{2}\times \overline{AO} \\
{} & = & \frac{1}{3}\times \frac{5\times 1}{2}\times 10 \\
{} & = & \frac{25}{3} \\
\end{array}\]
unidades de volume.
(B’ é a projeção ortogonal do ponto B sobre o eixo Oy.)
Adenda:
No sentido de facilitar a interpretação das questões colocadas, pode ser útil explorar a animação abaixo, onde já estão representadas as retas AB e BC, bem como a pirâmide considerada.
Pode acrescentar, ainda, os planos ABC (Plane3D e) e xOz (Plane3D d), bem como a sua intersecção — a reta AD (Line3D f).
Entre outras possibilidades, sugere-se a utilização da ferramenta “Rodar a vista 3D” (2.º comando a contar da direita) para facilitar a interpretação da posição relativa dos vários elementos geométricos considerados.
Olá, Ana,
Muito obrigado pela sua opinião.
O exercício apresentado foi extraído da Prova Modelo de 1999, divulgada pelo GAVE para a preparação do Exame Nacional do 12.º ano.
Concordo que a imagem apresentada no enunciado não é muito clara para compreender com facilidade a posição relativa dos elementos geométricos referidos no texto.
No sentido de facilitar essa interpretação, foi criada uma adenda ao texto original, que inclui uma animação 3D.
Por isso, sugiro que torne a considerar a resolução problema, pois estou certo que passará a ter uma opinião mais favorável sobre o exercício proposto.
Bom trabalho e obrigado pela atenção dispensada.
AMMA
Acho que este exercicio está muito mal construido e leva os alunos a erros desnecessarios, que os pode confundir para testes futuros!
Peço imensa desculpa