Um cone de revolução

Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 191 Ex. 68

Enunciado

Na figura está representado, num referencial o.n. Oxyz, um cone de revolução.

Sabe-se que:

  • A base do cone está contida no plano xOy e tem o seu centro na origem do referencial.
  • [AC] e [BD] são diâmetros da base.
  • O ponto A pertence ao semieixo positivo Ox.
  • O ponto B pertence ao semieixo positivo Oy.
  • O vértice V pertence ao semieixo positivo Oz.
  1. Sabedo que uma equação do plano ABV é $4x+4y+3z=12$, mostre que o comprimento do raio da base é 3 e a altura do cone é 4.
     
  2. Determine uma condição que defina a esfera cujo centro é o ponto V e cuja intersecção com o plano xOy é a base do cone.
     
  3. Designando por $\alpha $ a amplitude do ângulo BVD, determine o valor de $sen\,\alpha $.

Resolução

  1. Para $x=0\wedge z=0$, vem $4\times 0+4y+3\times 0=12\Leftrightarrow y=3$. Logo, $B\,(0,3,0)$.

    Para $y=0\wedge z=0$, vem $4x+4\times 0+3\times 0=12\Leftrightarrow x=3$. Logo, $A\,(3,0,0)$.

    Para $x=0\wedge y=0$, vem $4\times 0+4\times 0+3z=12\Leftrightarrow z=4$. Logo, $V\,(0,0,4)$.

    Logo, o raio da base é $\overline{OA}=3$ e a altura $\overline{OV}=4$.
     

  2. O ponto B é um ponto da superfície da esfera. Logo, o raio dessa esfera é $r=\overline{VB}=\sqrt{{{3}^{2}}+{{4}^{2}}}=5$.

    Assim, uma condição que define essa esfera é ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{(z-4)}^{2}}\le 25$.
     

  3. Ora, \[\cos \alpha =\frac{\overrightarrow{VB}.\overrightarrow{VD}}{\left\| \overrightarrow{VB} \right\|\times \left\| \overrightarrow{VD} \right\|}=\frac{(0,3,-4).(0,-3,-4)}{\sqrt{25}\times \sqrt{25}}=\frac{-9+16}{25}=\frac{7}{25}\]

    Logo, \[sen\,\alpha =+\sqrt{1-{{\left( \frac{7}{25} \right)}^{2}}}=\sqrt{\frac{625-49}{625}}=\frac{\sqrt{576}}{25}\]

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4 Respostas

  1. AMMA diz:

    O co-seno de $\alpha $ é positivo, pois o ângulo BVD é agudo.
    Como $V(0,0,4)$, $B(0,3,0)$ e $D(0,-3,0)$, então $\overline{OB}=3$ e $\overline{OV}=4$.
    Logo, $tg\,(O\hat{V}B)=\frac{\overline{OB}}{\overline{OV}}=\frac{3}{4}$, donde $O\hat{V}B=t{{g}^{-1}}(\frac{3}{4})$.
    Assim, $\alpha =B\hat{V}D=2\times O\hat{V}B=2\times t{{g}^{-1}}(\frac{3}{4})\simeq 73,7{}^\text{o}$.

  2. AMMA diz:

    Vanessa,
    Obrigado pelo reparo.
    Já procedi à rectificação (onde estava “5” devia estar “25”, apesar de, na parte final, se ter considerado correctamente “$\cos \alpha =\frac{7}{25}$”):
    \[\cos \alpha =\frac{\overrightarrow{VB}.\overrightarrow{VD}}{\left\| \overrightarrow{VB} \right\|\times \left\| \overrightarrow{VD} \right\|}=\frac{(0,3,-4).(0,-3,-4)}{\sqrt{5}\times \sqrt{5}}=\frac{-9+16}{5}=\frac{7}{5}\]
    foi substituído por
    \[\cos \alpha =\frac{\overrightarrow{VB}.\overrightarrow{VD}}{\left\| \overrightarrow{VB} \right\|\times \left\| \overrightarrow{VD} \right\|}=\frac{(0,3,-4).(0,-3,-4)}{\sqrt{25}\times \sqrt{25}}=\frac{-9+16}{25}=\frac{7}{25}\]

  3. fwqef diz:

    a mim, o co-seno deu-me negativo

  4. vanessa diz:

    não é 5, é 25 –» cos=7/25

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