Simplifique as fracções

Funções racionais: Infinito 11 A - Parte 2 Pág. 187 Ex. 19

Enunciado

Sempre que for possível, simplifique as fracções e indique o domínio da função.

Aprecie a correcção dos resultados recorrendo à calculadora gráfica.

  1. $f(x)=\frac{2{{x}^{3}}-8{{x}^{2}}+8x}{{{x}^{3}}-4x}$;
     
  2. $f(x)=\frac{3{{x}^{2}}+5x-8}{-{{x}^{2}}-x+2}$;
     
  3. $f(x)=\frac{4{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+4x-3}{4x-3}$;
     
  4. $f(x)=\frac{{{x}^{2}}+x-6}{{{x}^{3}}-2{{x}^{2}}-x+2}$;
     
  5. $f(x)=\frac{{{x}^{2}}+2x-8}{{{x}^{3}}-8}$.

Resolução

  1. ${{D}_{f}}=\left\{ x\in \mathbb{R}:{{x}^{3}}-4x\ne 0 \right\}=\left\{ x\in \mathbb{R}:x({{x}^{2}}-4)\ne 0 \right\}=\mathbb{R}\backslash \left\{ -2,0,2 \right\}$. 
     
    \[\frac{2{{x}^{3}}-8{{x}^{2}}+8x}{{{x}^{3}}-4x}=\frac{2x({{x}^{2}}-4x+4)}{x({{x}^{2}}-4)}=\frac{2x{{(x-2)}^{2}}}{x(x+2)(x-2)}=\frac{2(x-2)}{x+2}=\frac{2x-4}{x+2}\]
    Simplificação válida em $\mathbb{R}\backslash \left\{ -2,0,2 \right\}$.

       

     
     

  2. ${{D}_{f}}=\left\{ x\in \mathbb{R}:-{{x}^{2}}-x+2\ne 0 \right\}=\mathbb{R}\backslash \left\{ -2,1 \right\}$.
     
    \[\frac{3{{x}^{2}}+5x-8}{-{{x}^{2}}-x+2}=\frac{(x-1)(3x+8)}{-(x+2)(x-1)}=\frac{3x+8}{-x-2}\]
    Simplificação válida em $\mathbb{R}\backslash \left\{ -2,1 \right\}$.

    Cálculos auxiliares:
    \[-{{x}^{2}}-x+2=0\Leftrightarrow x=\frac{1\mp \sqrt{1+8}}{-2}\Leftrightarrow x=-2\vee x=1\]
    $\begin{matrix}
       {} & 3 & 5 & -8  \\
       1 & {} & 3 & 8  \\
       {} & 3 & 8 & 0  \\
    \end{matrix}$
    (Regra de Ruffini)
     
       
     

  3. ${{D}_{f}}=\left\{ x\in \mathbb{R}:4x-3\ne 0 \right\}=\mathbb{R}\backslash \left\{ \frac{3}{4} \right\}$.
    \[\frac{4{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+4x-3}{4x-3}=\frac{(4x-3)({{x}^{2}}+1)}{4x-3}={{x}^{2}}+1\]
    Simplificação válida em $\mathbb{R}\backslash \left\{ \frac{3}{4} \right\}$.

       
     

  4. ${{D}_{f}}=\left\{ x\in \mathbb{R}:{{x}^{3}}-2{{x}^{2}}-x+2 \right\}=\left\{ x\in \mathbb{R}:(x-1)(x-2)(x+1) \right\}=\mathbb{R}\backslash \left\{ -1,1,2 \right\}$.
    \[\frac{{{x}^{2}}+x-6}{{{x}^{3}}-2{{x}^{2}}-x+2}=\frac{(x+3)(x-2)}{(x-1)(x-2)(x+1)}=\frac{x+3}{{{x}^{2}}-1}\]
    Simplificação válida em $\mathbb{R}\backslash \left\{ -1,1,2 \right\}$.
     
    Cálculos auxiliares:
    \[{{x}^{2}}+x-6=0\Leftrightarrow x=\frac{-1\mp \sqrt{1+24}}{2}\Leftrightarrow x=-3\vee x=2\]
    $\begin{matrix}
       {} & 1 & -2 & -1 & 2  \\
       1 & {} & 1 & -1 & -2  \\
       {} & 1 & -1 & -2 & 0  \\
       2 & {} & 2 & 2 & {}  \\
       {} & 1 & 1 & 0 & {}  \\
    \end{matrix}$
    (Regra de Ruffini)

       
     

  5. ${{D}_{f}}=\left\{ x\in \mathbb{R}:{{x}^{3}}-8\ne 0 \right\}=\mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}$.
    \[\frac{{{x}^{2}}+2x-8}{{{x}^{3}}-8}=\frac{(x+4)(x-2)}{(x-2)({{x}^{2}}+2x+4)}=\frac{x+4}{{{x}^{2}}+2x+4}\]
    Simplificação válida em $\mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}$.
     
    Cálculos auxiliares:
    \[{{x}^{2}}+2x-8=0\Leftrightarrow x=\frac{-2\mp \sqrt{4+32}}{2}\Leftrightarrow x=-4\vee x=2\]
    $\begin{matrix}
       {} & 1 & 0 & 0 & -8  \\
       2 & {} & 2 & 4 & 8  \\
       {} & 1 & 2 & 4 & 0  \\
    \end{matrix}$
    (Regra de Ruffini)

       


Leave a Reply

  

  

  

You can use these HTML tags

<a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>