À custa de um dado
Distribuição de probabilidades: Infinito 12 A - Parte 1 Pág. 105 Ex. 35
À custa de um dado equilibrado defina uma experiência a que associe uma variável aleatória uniforme discreta.
Determine a sua esperança matemática e a variância.
Consideremos a experiência aleatória que consiste em lançar um dado cúbico equilibrado e registar o número de pontos inscrito na face voltada para cima.
Consideremos a variável aleatória uniforme discreta $X$: “O valor da pontuação é par”, tal que:
- $X=1$ quando o número de pontos obtido é um número par;
- $X=0$ quando o número de pontos obtido é um número ímpar.
A distribuição de probabilidades é a seguinte:
$X={{x}_{i}}$ | 0 | 1 |
$P(X={{x}_{i}})$ | $\frac{1}{2}$ | $\frac{1}{2}$ |
A esperança matemática é \[E(X)=\frac{1}{2}\times 0+\frac{1}{2}\times 1=\frac{1}{2}\] e a variância é \[{{\sigma }^{2}}=\frac{1}{2}\times {{(0-\frac{1}{2})}^{2}}+\frac{1}{2}\times {{(1-\frac{1}{2})}^{2}}=\frac{1}{8}+\frac{1}{8}=\frac{1}{4}\]
Outra possibilidade:
Consideremos a experiência aleatória que consiste em lançar um dado cúbico equilibrado e registar o número de pontos inscrito na face voltada para cima.
Consideremos a variável aleatória uniforme discreta $Y$: “Número de pontos inscrito na face voltada para cima”.
A distribuição de probabilidades é a seguinte:
$Y={{y}_{i}}$ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
$P(Y={{y}_{i}})$ | $\frac{1}{6}$ | $\frac{1}{6}$ | $\frac{1}{6}$ | $\frac{1}{6}$ | $\frac{1}{6}$ | $\frac{1}{6}$ |
A esperança matemática é \[E(X)=\frac{1}{6}\times 1+\frac{1}{6}\times 2+\frac{1}{6}\times 3+\frac{1}{6}\times 4+\frac{1}{6}\times 5+\frac{1}{6}\times 6=\frac{1}{6}\times 21=\frac{7}{2}\] e a variância é \[{{\sigma }^{2}}=\frac{1}{6}\times {{(1-\frac{7}{2})}^{2}}+\frac{1}{6}\times {{(2-\frac{7}{2})}^{2}}+\frac{1}{6}\times {{(3-\frac{7}{2})}^{2}}+\frac{1}{6}\times {{(4-\frac{7}{2})}^{2}}+\frac{1}{6}\times {{(5-\frac{7}{2})}^{2}}+\frac{1}{6}\times {{(6-\frac{7}{2})}^{2}}=\frac{35}{12}\]
Diz-se que a variável aleatória $X$, que toma um número $n$ finito de valores ${{x}_{1}},\ {{x}_{2}},\ …,\ {{x}_{n}}$, tem uma distribuição uniforme discreta se a probabilidade de qualquer desses valores for $p=P(X={{x}_{i}})=\frac{1}{n}$.