Determina a área de um octógono regular

Circunferência e plígonos: Matematicamente Falando 9 - Pág. 37 Ex.1

Enunciado

Determina a área de um octógono regular, sabendo que o lado do polígono é 4 cm e o apótema é $2\left( {1 + \sqrt 2 } \right)$ cm.

Resolução

 Comecemos por determinar a área do triângulo [ABO]:

$$\begin{array}{*{20}{l}}
  {{A_{[ABO]}}}& = &{\frac{{\overline {AB}  \times \overline {OM} }}{2}} \\
  {}& = &{\frac{{4 \times 2\left( {1 + \sqrt 2 } \right)}}{2}} \\
  {}& = &{4\left( {1 + \sqrt 2 } \right)\,\,c{m^2}}
\end{array}$$

Logo a área do octógono é:

$$\begin{array}{*{20}{l}}
  A& = &{8 \times {A_{[ABO]}}} \\
  {}& = &{8 \times 4\left( {1 + \sqrt 2 } \right)} \\
  {}& = &{32\left( {1 + \sqrt 2 } \right)\,\,c{m^2}}
\end{array}$$

 

 


Sobre a correção dos dados do enunciado (1)

(1) Este aditamento vem no seguimento do comentário submetido no dia 26-07-2015.

 

Octógono regularSeja \(\left[ {A,B,C,D,E,F,G,H} \right]\) um octógono regular, inscrito numa circunferência de raio \(r\), cujo comprimento do lado é \(\overline {AB} = \overline {BC} = \cdots = \overline {HA} = 4\;cm\).

Vamos mostrar que o comprimento do apótema é, de facto, \(a = \overline {OM} = \overline {ON} = \cdots = 2\left( {1 + \sqrt 2 } \right)\;cm\).

Convém reparar que:

  • o octógono foi dividido em oito triângulos isósceles, congruentes entre si;
  • cada um destes triângulos isósceles foi dividido, pela altura relativa ao lado do octógono, em dois triângulos retângulos congruentes;
  • os ângulos de amplitude \(\alpha \) e \(\beta \) são complementares, isto é, \(\alpha + \beta = 90^\circ \);
  • \(\alpha = \frac{{A\widehat OC}}{4} = \frac{{90^\circ }}{4} = \frac{{45^\circ }}{2} = 22,5^\circ \) e  \(\beta = 90^\circ – \alpha = 90^\circ – \frac{{90^\circ }}{4} = \frac{{270^\circ }}{4} = \frac{{135^\circ }}{2} = 67,5^\circ \).

 

O triângulo retângulo (em O) [AOC] é isósceles, sendo o comprimento da sua hipotenusa:

\[\overline {AC}  = \sqrt {{r^2} + {r^2}}  = \sqrt {2{r^2}}  = \sqrt 2  \times r\]

Logo, \(\overline {OP} = \overline {PC} = \frac{{\overline {AC} }}{2} = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \times r\).

Neste momento é conveniente reparar que os triângulos [OPQ] e [CPB] são congruentes (ALA), pois, como vimos imediatamente acima, \(\overline {OP} = \overline {PC} = \frac{{\overline {AC} }}{2} = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \times r\), pelo que será \(\overline {OQ} = \overline {BC} = 4\).

 

Os triângulos retângulos [OPQ] e [OBN] são semelhantes (AA), pelo que os comprimentos dos lados correspondentes são diretamente proporcionais:

\[\frac{{\overline {OP} }}{{\overline {ON} }} = \frac{{\overline {PQ} }}{{\overline {BN} }} = \frac{{\overline {OQ} }}{{\overline {OB} }}\]

Usando a primeira e terceira razões da igualdade acima, vem:

\[\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{\overline {OP} }}{{\overline {ON} }} = \frac{{\overline {OQ} }}{{\overline {OB} }}}& \Leftrightarrow &{\frac{{\frac{{\sqrt 2 \times r}}{2}}}{a} = \frac{4}{r}}\\{}& \Leftrightarrow &{a = \frac{{\sqrt 2 \times {r^2}}}{8}}\end{array}\]

Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo [AOM], temos: \({r^2} = {2^2} + {a^2}\).
Substituindo \({r^2}\) na igualdade anterior, vem:

\[\begin{array}{*{20}{l}}{a = \frac{{\sqrt 2 \times \left( {4 + {a^2}} \right)}}{8}}& \Leftrightarrow &{\sqrt 2 \times {a^2} – 8a + 4\sqrt 2 = 0}\\{}& \Leftrightarrow &{a = \frac{{8 \mp \sqrt {64 – 4 \times \sqrt 2 \times 4\sqrt 2 } }}{{2\sqrt 2 }}}\\{}& \Leftrightarrow &{a = \frac{{8 \mp \sqrt {32} }}{{2\sqrt 2 }}}\\{}& \Leftrightarrow &{a = \frac{{8 \mp 4\sqrt 2 }}{{2\sqrt 2 }}}\\{}& \Leftrightarrow &{a = \frac{8}{{2\sqrt 2 }} \mp \frac{{4\sqrt 2 }}{{2\sqrt 2 }}}\\{}& \Leftrightarrow &{a = \frac{4}{{\sqrt 2 }} \times \frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 2 }} \mp 2}\\{}& \Leftrightarrow &{a = 2\sqrt 2 \mp 2}\\{}& \Leftrightarrow &{a = 2 \times \left( {\sqrt 2 \mp 1} \right)}\end{array}\]

 

No triângulo [OAM], como \(\beta > \alpha \), então \(\overline {OM} > \overline {AM} \Leftrightarrow a > 2\).

Portanto, a solução da equação do 2.º grau que nos interessa é \(a = 2 \times \left( {\sqrt 2 + 1} \right)\).

 

Assim, conclui-se que \(a = 2 \times \left( {1 + \sqrt 2 } \right)\;cm\) e comprova-se a correção dos dados do enunciado.

 

3 Respostas

  1. AMMA diz:

    Obrigado por ter dado atenção ao problema.
    No entanto, deve ter cometido algum lapso, pois o enunciado e os dados são coerentes e estão corretos.
    No final da resolução, foi feito um aditamento que contém essa comprovação.

  2. leo41 diz:

    Com os valores dados para o lado e o apótema, isto não pode ser um octógono.

  3. lenine diz:

    gostei

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