A representação gráfica da derivada de $f$

Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 227 Ex. 86

Enunciado

A curva $C$ é a representação gráfica da função derivada $f’$ de uma função $f$ derivável em $\left[ {1,5} \right]$.

A tangente à curva no ponto de abcissa 4 é horizontal.

  1. Diga, justificando, se é verdadeira ou falsa cada uma das seguintes afirmações:a) $f$ é contínua em $\left[ {1,5} \right]$;b) $f(1)<f(5)$.
     
  2. Sabendo que $f(2)=3$, escreva uma equação da reta tangente ao gráfico de $f$ no ponto de abcissa 2.
     
  3. Como varia o sinal da segunda derivada de $f$ no intervalo $\left[ {1,5} \right]$? Justifique a resposta.

Resolução

  1.  
    a) A afirmação é verdadeira, pois ${D_{f’}} = \left[ {1,5} \right]$ e $f$ tem derivada finita nesse intervalo (toda a função com derivada finita num ponto é contínua nesse ponto);
     
    b) Como $f’(x)<0$ no intervalo $\left[ {1,5} \right]$, então $f$ é decrescente nesse intervalo.
    Logo, $f(1)>f(5)$ e, portanto, a afirmação é falsa.
     
  2. O ponto de tangência é $T\left( {2,3} \right)$ e o declive dessa tangente é $m = f’(2) =  – 4$.
     
    Como o ponto T pertence a essa reta, tem-se para ordenada na origem: $3 =  – 4 \times 2 + b \Leftrightarrow b = 11$.
     
    Logo, $y =  – 4x + 11$ é a equação reduzida da reta pedida.
     
  3. $f”(x) > 0$ se $x \in \left[ {1,4} \right[$, pois neste intervalo $f'$ é estritamente crescente;
    $f''(x) < 0$ se $x \in \left] {4,5} \right]$, pois neste intervalo $f’$ é estritamente decrescente;
    $f”(4) = 0$, pois a tangente à curva no ponto de abcissa 4 é horizontal.

    $x$ $1$           $4$          $5$
    Variação de $f’$ $ \nearrow $ $-2$ $ \searrow $
    Sinal de $f”$ $+$ $0$ $-$

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