Qual deve ser o valor?
Equações do 2.º grau: Matematicamente Falando 9 - Pág. 69 Ex. 5
Enunciado
Qual deve ser o valor de:
- $m$, para que a equação $2{x^2} – 3mx + 2 = 0$ possua apenas uma raiz?
- $n$, para que a equação ${x^2} – 6x + n – 4 = 0$ possua raízes reais?
- $p$, para que a equação $\left( {2p + 1} \right){x^2} – 3x + 1 = 0$ não possua raízes reais?
- $r$, para que a equação ${x^2} – 5x – r – 1 = 0$ tenha duas raízes reais diferentes?
Resolução
Qual deve ser o valor de:
-
$m$, para que a equação $2{x^2} – 3mx + 2 = 0$ possua apenas uma raiz?
-
$n$, para que a equação ${x^2} – 6x + n – 4 = 0$ possua raízes reais?
-
$p$, para que a equação $\left( {2p + 1} \right){x^2} – 3x + 1 = 0$ não possua raízes reais?
-
$r$, para que a equação ${x^2} – 5x – r – 1 = 0$ tenha duas raízes reais diferentes?
- $$2{x^2} – 3mx + 2 = 0$$
$$\begin{array}{*{20}{l}}
\Delta & = &{{{\left( { – 3m} \right)}^2} – 4 \times 2 \times 2} \\
{}& = &{9{m^2} – 16}
\end{array}$$
Para que a equação possua apenas uma raiz terá de ser $\Delta = 0$.
Logo, vem: $$\begin{array}{*{20}{l}}
{\Delta = 0}& \Leftrightarrow &{9{m^2} – 16 = 0} \\
{}& \Leftrightarrow &{{m^2} = \frac{{16}}{9}} \\
{}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{c}}
{m = – \frac{4}{3}}& \vee &{m = \frac{4}{3}}
\end{array}}
\end{array}$$
- $${x^2} – 6x + n – 4 = 0$$
$$\begin{array}{*{20}{l}}
\Delta & = &{{{( – 6)}^2} – 4 \times 1 \times \left( {n – 4} \right)} \\
{}& = &{52 – 4n}
\end{array}$$
Para que a equação possua raízes reais terá de ser $\Delta \geqslant 0$.
Logo, vem: $$\begin{array}{*{20}{l}}
{\Delta \geqslant 0}& \Leftrightarrow &{52 – 4n \geqslant 0} \\
{}& \Leftrightarrow &{4n \leqslant 52} \\
{}& \Leftrightarrow &{n \leqslant 13}
\end{array}$$
- $$\left( {2p + 1} \right){x^2} – 3x + 1 = 0$$
$$\begin{array}{*{20}{l}}
\Delta & = &{{{( – 3)}^2} – 4 \times \left( {2p + 1} \right) \times 1} \\
{}& = &{5 – 8p}
\end{array}$$
Para que a equação não possua raízes reais terá de ser $\Delta < 0$.
Logo, vem: $$\begin{array}{*{20}{l}}
{\Delta < 0}& \Leftrightarrow &{5 – 8p < 0} \\
{}& \Leftrightarrow &{8p > 5} \\
{}& \Leftrightarrow &{p > \frac{5}{8}}
\end{array}$$
- $${x^2} – 5x – r – 1 = 0$$
$$\begin{array}{*{20}{l}}
\Delta & = &{{{( – 5)}^2} – 4 \times 1 \times \left( { – r – 1} \right)} \\
{}& = &{29 + 4r}
\end{array}$$
Para que a equação tenha duas raízes reais diferentes terá de ser $\Delta > 0$.
Logo, vem: $$\begin{array}{*{20}{l}}
{\Delta > 0}& \Leftrightarrow &{29 + 4r > 0} \\
{}& \Leftrightarrow &{r > – \frac{{29}}{4}}
\end{array}$$
