Considere a função $f$
Números complexos: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 139 Ex. 43
Considere a função $f$, de $\mathbb{C}\backslash \left\{ 0 \right\}$ em $\mathbb{C}$, definida por $$f(z) = \frac{4}{z} + 1 + i$$
- Resolva a equação $f(z) = 4$.
- Fazendo $z = x + yi$, $x \in \mathbb{R}$ e $y \in \mathbb{R}$:
a) Calcule em função de $x$ e de $y$ a parte real $X$ e o coeficiente da parte imaginária $Y$ do número complexo $f(z)$.b) Represente no plano complexo o conjunto F dos pontos M afixos de $z$ tais que $f(z)$ seja um número real.
c) Verifique que o afixo da solução da equação $f(z) = 4$ pertence a F.
- Resolvendo a equação, temos:
$$\begin{array}{*{20}{l}}
{f(z) = 4}& \Leftrightarrow &{\frac{4}{z} + 1 + i = 4} \\
{}& \Leftrightarrow &{\frac{4}{z} = 3 – i} \\
{}& \Leftrightarrow &{z = \frac{4}{{3 – i}} \times \frac{{3 + i}}{{3 + i}}} \\
{}& \Leftrightarrow &{z = \frac{{12 + 4i}}{{10}}} \\
{}& \Leftrightarrow &{z = \frac{6}{5} + \frac{2}{5}i}
\end{array}$$ - a) Como
$$\begin{array}{*{20}{l}}
{f(z)}& = &{\frac{4}{{x + yi}} + 1 + i} \\
{}& = &{\frac{4}{{x + yi}} \times \frac{{x – yi}}{{x – yi}} + 1 + i} \\
{}& = &{\frac{{4x – 4yi}}{{{x^2} + {y^2}}} + 1 + i} \\
{}& = &{\frac{{\left( {{x^2} + {y^2} + 4x} \right) + \left( {{x^2} + {y^2} – 4y} \right)i}}{{{x^2} + {y^2}}}} \\
{}& = &{\frac{{{x^2} + {y^2} + 4x}}{{{x^2} + {y^2}}} + \frac{{{x^2} + {y^2} – 4y}}{{{x^2} + {y^2}}}i}
\end{array}$$
então $$\begin{array}{*{20}{l}}
X& = &{\operatorname{Re} \left( {f(z)} \right)} \\
{}& = &{\frac{{{x^2} + {y^2} + 4x}}{{{x^2} + {y^2}}}}
\end{array}$$ e $$\begin{array}{*{20}{l}}
Y& = &{\operatorname{Im} \left( {f(z)} \right)} \\
{}& = &{\frac{{{x^2} + {y^2} – 4y}}{{{x^2} + {y^2}}}}
\end{array}$$b) Para que ${f(z)}$ seja um número real, terá de ser $Y = \operatorname{Im} \left( {f(z)} \right) = 0$: $$\begin{array}{*{20}{l}}
{Y = 0}& \Leftrightarrow &{\frac{{{x^2} + {y^2} – 4y}}{{{x^2} + {y^2}}} = 0} \\
{}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{l}}
{{x^2} + {y^2} – 4y = 0}& \wedge &{{x^2} + {y^2} \ne 0}
\end{array}} \\
{}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{l}}
{{x^2} + {{\left( {y – 2} \right)}^2} = 4}& \wedge &{{x^2} + {y^2} \ne 0}
\end{array}}
\end{array}$$
Nota: Como $z \ne 0 + 0i$, então ${x^2} + {y^2} \ne 0$.O conjunto F dos pontos M afixos de $z$ tais que $f(z)$ seja um número real é a circunferência de centro $\left( {0,2} \right)$ e raio 2 unidades, com exceção do ponto de coordenadas $\left( {0,0} \right)$.
c) O afixo da solução da equação $f(z) = 4$ pertence a F, pois as suas coordenadas verificam a equação que define F: $$\begin{array}{*{20}{l}}
{{{\left( {\frac{6}{5}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{2}{5} – 2} \right)}^2} = 4}& \Leftrightarrow &{\frac{{36}}{{25}} + \frac{{64}}{{25}} = 4} \\
{}& \Leftrightarrow &{4 = 4}
\end{array}$$
