A Casinha da Matemática Blog

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Um paralelepípedo

Do espaço ao plano: Matematicamente Falando 7 - Parte 2 Pág. 85 Ex. 3

Enunciado

Observa o sólido ao lado.

Indica, usando as letras da figura:

  1. rectas complanares com HD;
  2. rectas concorrentes com AB;
  3. rectas contidas no plano ABC;
  4. planos paralelos.

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  1. São complanares com a recta HD, por exemplo:
    – a recta HG;
    – a recta HE;
    – a
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Um trapézio rectângulo

Trigonometria: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 95 Ex. 49

Enunciado

Represente o trapézio [ABCD], rectângulo em A e D, tal que: \[\begin{matrix}
   \overline{AB}=5,4\,cm; & \overline{BC}=3\,cm & e & \overline{CD}=5\,cm  \\
\end{matrix}\]

Determine um valor aproximado:

  1. do comprimento do lado [AD];
     
  2. da amplitude do ângulo agudo adjacente ao lado [CB];
     
  3. da amplitude do ângulo ACB.

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Outro hexágono regular

Trigonometria: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 95 Ex. 48

Enunciado

Sobre o círculo trogonométrico de centro O da figura está representado um hexágono regular. A amplitude positiva mínima do ângulo generalizado AOB é $\frac{\pi }{9}$ radianos.

  1. Qual é, em radianos, a expressão geral das amplitudes do ângulo AOB?
     
  2. Prove que $\frac{4\pi }{9}$ radianos é uma amplitude do
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Senos, co-senos e tangentes de alguns ângulos

Trigonometria: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 95 Ex. 47

Enunciado

Desenhe no círculo trigonométrico os ângulos seguintes, indicando os valores dos seus senos, co-senos e tangentes.

  1. $\frac{7\pi }{3}$
     
  2. $\frac{4\pi }{3}$
     
  3. $\frac{71\pi }{4}$
     
  4. $-\frac{5\pi }{4}$
     
  5. $\frac{23\pi }{6}$
     
  6. $-\frac{425\pi }{6}$
     
  7. $\frac{712\pi }{6}$
     
  8. $-\frac{135\pi }{4}$

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Num certo pistão

Trigonometria: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 95 Ex. 46

Enunciado

Observe a figura ao lado.

Num certo pistão, peça usada em mecânica na transmissão de certos movimentos, a distância x, em metros, do centro do eixo à cabeça do pistão, conforme se assinala na figura, é dado pela fórmula \[x=\cos \theta +\sqrt{16+0,5\cos (2\theta )}\] em que $\theta …

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Um plano inclinado

Trigonometria: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 94 Ex. 45

Enunciado

Observe a figura.

Ignorando o atrito, o tempo t (em segundos) necessário para um bloco deslizar por um plano inclinado é dado pela fórmula \[t=\sqrt{\frac{2a}{g\times sen\,\theta \times \cos \theta }}\]  \[t=\sqrt{\frac{2a}{g\times sen\,\theta }}\] onde a é a medida do comprimento da rampa, em …

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Um hexágono regular

Trigonometria: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 94 Ex. 44

Enunciado

Num referencial cartesiano, está representada uma circunferência com raio de uma unidade de comprimento e um hexágono [CDEFGH].

  1. Explique porque é que sabemos que a abcissa de D é $\cos \frac{\pi }{3}$.
     
  2. Determine as coordenadas exactas dos pontos E e G.
     
  3. Qual a medida do comprimento do
Prove que… 0

Prove que…

Trigonometria: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 94 Ex. 41

Enunciado

Prove que, para todo o $\theta $, se tem:

  1. ${{(sen\,\theta +\cos \theta )}^{2}}=1+2\,sen\,\theta \times \cos \theta $
     
  2. $\cos \theta -se{{n}^{2}}\,\theta \times \cos \theta ={{\cos }^{2}}\theta $
     
  3. $se{{n}^{4}}\,\theta +{{\cos }^{4}}\theta +2\times se{{n}^{2}}\,\theta \times {{\cos }^{2}}\theta =1$
     
  4. ${{(\cos \theta -sen\,\theta )}^{2}}+{{(\cos \theta +sen\,\theta )}^{2}}=2$
     
  5. $(\cos \theta -sen\,\theta )+(\cos \theta
Sabendo que… 0

Sabendo que…

Trigonometria: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 93 Ex. 40

Enunciado

  1. Sabendo que $tg\,\alpha =\frac{3}{4}$ e $\pi <\alpha <\frac{3\pi }{2}$, determine $sen\,\alpha $ e $\cos \alpha $.
     
  2. Determine $sen\,\alpha $ e $\cos \alpha $, sabendo que $tg\,\alpha =-2$ e $-\frac{\pi }{2}<\alpha <0$.

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  1. Dado que $1+t{{g}^{2}}\alpha =\frac{1}{{{\cos }^{2}}\alpha }$, para $\cos \alpha \ne 0$, obtém-se para
Sabe-se que… 0

Sabe-se que…

Trigonometria: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 93 Ex. 39

Enunciado

Sabe-se que $\cos \alpha =\frac{1}{3}$.

  1. Determine o valor exacto de $sen\,\alpha $ e de $tg\,\alpha $, sabendo que $-\frac{\pi }{2}<\alpha <0$.
     
  2. Determine o valor exacto de $sen\,\alpha $ e de $tg\,\alpha $, sabendo que $\frac{3\pi }{2}<\alpha <2\pi $.

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  1. Considerando que $se{{n}^{2}}\alpha +{{\cos }^{2}}\alpha =1$
Um polígono regular 0

Um polígono regular

Trigonometria: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 93 Ex. 36

Enunciado

  1. Qual a medida, em função da metade do ângulo ao centro que lhe corresponde, o lado de um triângulo equilátero inscrito numa circunferência de raio r? E do quadrado? E do pentágono regular? E do polígono regular de n lados?
     
  2. Determine, em função da metade do
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Um pentágono

Trigonometria: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 93 Ex. 35

Enunciado

Na figura está representado um círculo trigonométrico de centro O e um pentágono regular [ABCDO].

  1. Mostre que as coordenadas de B são $(1-\cos \alpha ;sen\,72{}^\text{o})$.
     
  2. Determine uma expressão para obter a área do pentágono em função de $\alpha $ (em graus) e apresente um valor dessa área