A Casinha da Matemática Blog

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Desafio da Semana da Matemática – 2011 «Sítio com Matemática»

O Desafio da Semana da Matemática inclui a resolução de um problema, cujo enunciado está numa página, protegida por uma palavra-chave, do Sítio com Matemática (http://blogs.ess.edu.pt/sm2010/).

A palavra-chave de acesso ao enunciado é a solução do seguinte problema:


A Palavra-chave

Qual é o sétimo termo da sequência
1,

Determina 0

Determina

Ainda os números: Matematicamente Falando 8 - Parte 1 Pág. 105 Ex. 8

Enunciado

Determina:

  1. ${{3}^{3}}\div {{3}^{6}}+{{\left( {{3}^{2}} \right)}^{-1}}$
     
  2. ${{10}^{0}}+{{7}^{-1}}\times {{7}^{2}}\div {{7}^{-3}}$
     
  3. ${{({{4}^{0}}-{{4}^{-1}}+{{4}^{-2}})}^{-6}}\div {{\left( \frac{16}{13} \right)}^{5}}$

Resolução >> Resolução

  1.  
    \[{{3}^{3}}\div {{3}^{6}}+{{\left( {{3}^{2}} \right)}^{-1}}={{3}^{-3}}+{{3}^{-2}}={{\left( \frac{1}{3} \right)}^{3}}+{{\left( \frac{1}{3} \right)}^{2}}=\frac{1}{27}+\frac{1}{9}=\frac{1}{27}+\frac{3}{27}=\frac{4}{27}\]
  2.  
    \[{{10}^{0}}+{{7}^{-1}}\times {{7}^{2}}\div {{7}^{-3}}=1+{{7}^{1}}\div {{7}^{-3}}=1+{{7}^{4}}=1+2401=2402\]
  3.  
    \[\begin{array}{*{35}{l}}
       {{({{4}^{0}}-{{4}^{-1}}+{{4}^{-2}})}^{-6}}\div {{\left( \frac{16}{13} \right)}^{5}} & = & {{(1-\frac{1}{4}+\frac{1}{16})}^{-6}}\div {{\left( \frac{16}{13} \right)}^{5}}  \\
       {} & = & {{(\frac{16}{16}-\frac{4}{16}+\frac{1}{16})}^{-6}}\div {{\left( \frac{16}{13}
Calcula o valor numérico das expressões 0

Calcula o valor numérico das expressões

Ainda os números: Matematicamente Falando 8 - Parte 1 Pág. 105 Ex. 7

Enunciado

Calcula o valor numérico das expressões, utilizando, sempre que possível, as regras das potências:

  1. ${{(0,4)}^{-2}}\times {{4}^{-2}}$
     
  2. ${{(0,3)}^{-5}}\div {{(-0,3)}^{-2}}$
     
  3. ${{\left( -\frac{1}{4} \right)}^{-3}}\times {{\left( -\frac{1}{4} \right)}^{2}}$
     
  4. ${{(-100)}^{-2}}\times {{(0,03)}^{-2}}$
     
  5. ${{(0,125)}^{-4}}\div {{\left( \frac{1}{2} \right)}^{-4}}$

Resolução >> Resolução

  1.  
    \[{{(0,4)}^{-2}}\times {{4}^{-2}}={{1,6}^{-2}}={{\left( \frac{16}{10} \right)}^{-2}}={{\left( \frac{8}{5} \right)}^{-2}}={{\left( \frac{5}{8} \right)}^{2}}=\frac{25}{64}\]
  2.  
    \[{{(0,3)}^{-5}}\div {{(-0,3)}^{-2}}={{(0,3)}^{-5}}\div {{(+0,3)}^{-2}}={{(0,3)}^{-5-(-2)}}={{\left( \frac{3}{10} \right)}^{-3}}={{\left( \frac{10}{3}
Escreve como potência de expoente 2 0

Escreve como potência de expoente 2

Ainda os números: Matematicamente Falando 8 - Parte 1 Pág. 105 Ex. 6

Enunciado

Escreve como potência de expoente 2 a soma: $1+{{3}^{-1}}+{{3}^{-2}}+{{3}^{-3}}+{{3}^{-4}}$

Resolução >> Resolução

\[\begin{array}{*{35}{l}}
   1+{{3}^{-1}}+{{3}^{-2}}+{{3}^{-3}}+{{3}^{-4}} & = & 1+\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\frac{1}{27}+\frac{1}{81}  \\
   {} & = & \frac{81}{81}+\frac{27}{81}+\frac{9}{81}+\frac{3}{81}+\frac{1}{81}  \\
   {} & = & \frac{121}{81}  \\
   {} & = & {{\left( \frac{11}{9} \right)}^{2}}  \\
\end{array}\]

<< Enunciado
Copia e completa a tabela 0

Copia e completa a tabela

Ainda os números: Matematicamente Falando 8 - Parte 1 Pág. 105 Ex. 2
Copia e completa a tabela:
Calcula as potências 0

Calcula as potências

Ainda os números: Matematicamente Falando 8 - Parte 1 Pág. 105 Ex. 1

Enunciado
Calcula as potências:

  1. ${{6}^{0}}$
     
  2. ${{(-5)}^{-1}}$
     
  3. ${{\left( \frac{1}{8} \right)}^{-1}}$
     
  4. ${{\left( \frac{7}{4} \right)}^{-1}}$
     
  5. ${{\left( -\frac{12}{5} \right)}^{-2}}$
     
  6. ${{\left( -\frac{6}{7} \right)}^{-3}}$
     
  7. ${{\left( \frac{3}{10} \right)}^{-4}}$
     
  8. ${{0,1}^{-1}}$

Resolução >> Resolução

  1.  
    \[{{6}^{0}}=1\]
  2.  
    \[{{(-5)}^{-1}}={{\left( -\frac{1}{5} \right)}^{1}}=-\frac{1}{5}\]
  3.  
    \[{{\left( \frac{1}{8} \right)}^{-1}}={{8}^{1}}=8\]
  4.  
    \[{{\left( \frac{7}{4} \right)}^{-1}}={{\left( \frac{4}{7} \right)}^{1}}=\frac{4}{7}\]
  5.  
    \[{{\left( -\frac{12}{5} \right)}^{-2}}={{\left( -\frac{5}{12} \right)}^{2}}=\frac{25}{144}\]
  6.  
    \[{{\left( -\frac{6}{7} \right)}^{-3}}={{\left( -\frac{7}{6} \right)}^{3}}=-\frac{343}{216}\]
  7.  
    \[{{\left(
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O maior número de cestos

Ainda os números: Matematicamente Falando 8 - Parte 1 Pág. 99 Ex. 6

Enunciado

Determina o maior número de cestos que se pode encher com 180 maçãs e 252 laranjas, levando todos os cestos igual número de peças de fruta de cada qualidade.

Resolução >> Resolução

Como:
 
$\begin{matrix}
   180 & 2 & {} & {} & 252 & 2  \\
   90 …

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Um automobilista dá a volta a uma pista circular

Ainda os números: Matematicamente Falando 8 - Parte 1 Pág. 99 Ex. 5

Enunciado

Um automobilista dá a volta a uma pista circular em 18 minutos e um ciclista em 32 minutos.

Se partirem ao meio-dia de um certo dia de um certo ponto da pista, a que horas se voltarão a encontrar? Nessa altura, quantas voltas terá dado cada um?…

Sabendo que o $m.d.c.(75,45)=15$ 0

Sabendo que o $m.d.c.(75,45)=15$

Ainda os números: Matematicamente Falando 8 - Parte 1 Pág. 99 Ex. 4

Enunciado

  1. Sabendo que o $m.d.c.(75,45)=15$, determina o m.m.c. entre os dois números.
     
  2. Sabendo que $m.m.c.(87,174)=174$, determina o m.d.c. entre os dois números.

Resolução >> Resolução

Sabendo que

\[m.d.c.(a,b)\times m.m.c.(a,b)=a\times b\]

temos:

  1.  
    \[m.m.c.(75,45)=\frac{75\times 45}{m.d.c.(75,45)}=\frac{75\times 45}{15}=225\]
     
  2.  
    \[m.d.c.(87,174)=\frac{87\times 174}{m.m.c.(87,174)}=\frac{87\times 174}{174}=87\]
<< Enunciado
Utilizando o m.m.c. 0

Utilizando o m.m.c.

Ainda os números: Matematicamente Falando 8 - Parte 1 Pág. 99 Ex. 3

Enunciado

Utilizando o m.m.c.,

  1. escreve por ordem crescente as fracções \[\begin{matrix}
       \frac{7}{6}, & \frac{5}{9}, & \frac{19}{24}  \\
    \end{matrix}\]
  2. calcula \[\frac{5}{12}+\frac{4}{9}-\frac{3}{20}\]

Resolução >> Resolução

  1. Como:
    $6=2\times 3$
    $9={{3}^{2}}$
    $24={{2}^{3}}\times 3$
     
    Então, $m.m.c.(6,9,24)={{2}^{3}}\times {{3}^{2}}=8\times 9=72$.
     
    Podemos agora escrever fracções equivalentes às dadas com igual denominador, para as comparar com facilidade:
Utilizando a noção de m.d.c. 0

Utilizando a noção de m.d.c.

Ainda os números: Matematicamente Falando 8 - Parte 1 Pág. 99 Ex. 2

Enunciado

Utilizando a noção de m.d.c., torna irredutíveis as seguintes fracções:

  1. $\frac{90}{75}$
     
  2. $\frac{297}{77}$

Resolução >> Resolução

  1.  
    $\begin{matrix}    90 & 2 & {} & {} & 75 & 3  \\    45 & 3 & {} & {} & 25 & 5  \\    15 & 3 & {} & {}