A Casinha da Matemática Blog

Mais taxa média de variação 0

Mais taxa média de variação

Derivadas: Infinito 11 A - Parte 2 Pág. 192 Ex. 30

Enunciado

Seja $f$ uma função polinomial e $h$ um número real positivo.

Calcule a taxa média de variação de $f$ no intervalo $\left[ x,x+h \right]$, nos casos seguintes:

  1. $f(x)=-3{{x}^{2}}+7x-5$
     
  2. $f(x)={{x}^{3}}-3x+1$
     
  3. $f$ é uma função afim
     
  4. $f$ é uma função constante.

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  1. Considerando $f(x)=-3{{x}^{2}}+7x-5$, vem:
    \[\begin{array}{*{35}{l}}
       t.m.{{v}_{\left[
Calcule a taxa média de variação 0

Calcule a taxa média de variação

Derivadas: Infinito 11 A - Parte 2 Pág. 192 Ex. 29

Enunciado

  1. Dada a função afim $f$: $x\to 3x+5$, calcule a taxa média de variação nos intervalos $\left[ -3,-2 \right]$ e $\left[ -1,3 \right]$.
     
  2. Repita o exercício anterior para a função $g$: $x\to {{x}^{2}}+2x$.

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  1.  
    \[t.m.{{v}_{\left[ -3,-2 \right]}}=\frac{f(-2)-f(-3)}{-2-(-3)}=\frac{(-6+5)-(-9+5)}{1}=3\]
    \[t.m.{{v}_{\left[ -1,3 \right]}}=\frac{f(3)-f(-1)}{3-(-1)}=\frac{(9+5)-(-3+5)}{4}=3\]
     
  2.  
    \[t.m.{{v}_{\left[ -3,-2 \right]}}=\frac{g(-2)-g(-3)}{-2-(-3)}=\frac{(4-4)-(9-6)}{1}=-3\]
    \[t.m.{{v}_{\left[ -1,3 \right]}}=\frac{g(3)-g(-1)}{3-(-1)}=\frac{(9+6)-(1-2)}{4}=4\] 
Uma parábola e uma hipérbole 0

Uma parábola e uma hipérbole

Funções racionais: Infinito 11 A - Parte 2 Pág. 187 Ex. 20

Enunciado

Considere, num referencial o.n. do plano, os pontos: $A(1,0)$, $B(-1,-1)$ e $C(-3,2)$.

  1. Determine os números reais a, b e c de modo que a parábola P, de equação $y=a{{x}^{2}}+bx+c$, passe pelos pontos A, B e C.
     
  2. Considere a hipérbole H de equação $y=\frac{1}{x}$.
     
    a) Verifique que H
Simplifique as fracções 0

Simplifique as fracções

Funções racionais: Infinito 11 A - Parte 2 Pág. 187 Ex. 19

Enunciado

Sempre que for possível, simplifique as fracções e indique o domínio da função.

Aprecie a correcção dos resultados recorrendo à calculadora gráfica.

  1. $f(x)=\frac{2{{x}^{3}}-8{{x}^{2}}+8x}{{{x}^{3}}-4x}$;
     
  2. $f(x)=\frac{3{{x}^{2}}+5x-8}{-{{x}^{2}}-x+2}$;
     
  3. $f(x)=\frac{4{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+4x-3}{4x-3}$;
     
  4. $f(x)=\frac{{{x}^{2}}+x-6}{{{x}^{3}}-2{{x}^{2}}-x+2}$;
     
  5. $f(x)=\frac{{{x}^{2}}+2x-8}{{{x}^{3}}-8}$.

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  1. ${{D}_{f}}=\left\{ x\in \mathbb{R}:{{x}^{3}}-4x\ne 0 \right\}=\left\{ x\in \mathbb{R}:x({{x}^{2}}-4)\ne 0 \right\}=\mathbb{R}\backslash \left\{ -2,0,2 \right\}$. 
     
    \[\frac{2{{x}^{3}}-8{{x}^{2}}+8x}{{{x}^{3}}-4x}=\frac{2x({{x}^{2}}-4x+4)}{x({{x}^{2}}-4)}=\frac{2x{{(x-2)}^{2}}}{x(x+2)(x-2)}=\frac{2(x-2)}{x+2}=\frac{2x-4}{x+2}\]
    Simplificação válida em $\mathbb{R}\backslash
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Um aquário aberto em cima

Funções racionais: Infinito 11 A - Parte 2 Pág. 187 Ex. 18

Enunciado

Um aquário aberto em cima, de forma paralelepipédica, com 45 cm de altura, deve ter o volume de 170 litros.

Sejam x e y o comprimento e a largura da base, respectivamente.

  1. Exprima y como função de x.
     
  2. Exprima, em função de x, a área total do
Duas funções racionais 0

Duas funções racionais

Funções racionais: Infinito 11 A - Parte 2 Pág. 187 Ex. 17

Enunciado

Sejam

\[\begin{matrix}
   f:x\to \frac{2x+1}{{{x}^{2}}-1} & e & g:x\to \frac{2}{x-1}  \\
\end{matrix}\]

  1. Mostre que $f+g$ e $f-g$ são funções racionais e determine o seu domínio.
     
  2. Resolva gráfica e analiticamente as condições:a) $f(x)\ge 1$

    b) $g(x)\ge x$

    c) $f(x)<-\frac{1}{2}$

    d) $f(x)\ge g(x)$
     

  3. Determine gráfica e analiticamente as coordenadas dos
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Para que um remédio produza o efeito desejado

Funções racionais: Infinito 11 A - Parte 2 Pág. 187 Ex. 16

Enunciado

Para que um remédio produza o efeito desejado, a sua concentração na corrente sanguínea deve estar acima de um certo valor, o nível terapêutico mínimo.

Suponhamos que a concentração c de um remédio, t horas após ser ingerido, é dada, em mg/l, por: \[c(t)=\frac{20t}{{{t}^{2}}+4}\]

Se o nível …

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Nível de álcool no sangue

Funções racionais: Infinito 11 A - Parte 2 Pág. 185 Ex. 12

Enunciado

Pretende-se esboçar o gráfico de N, que dá o “Nivel de álcool no sangue”, em função do peso p de uma pessoa, depois de ela ter ingerido um litro de cerveja.

Sabe-se que:

  • num litro de cerveja existem 40 g de álcool;
  • N(p) é a razão entre
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Uma nódoa circular de tinta

Funções racionais: Infinito 11 A - Parte 2 Pág. 185 Ex. 11

Enunciado

Uma nódoa circular de tinta é detectada sobre um tecido.

O comprimento, em centímetros, do raio dessa nódoa, t segundos após ter sido detectada, é dado por: \[r(t)=\frac{1+3t}{4+t}\,,\,t\ge 0\]

  1. Calcule o raio da nódoa no instante em que foi detectada.
     
  2. Recorrendo à sua calculadora, indique:
  • o instante
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Uma unidade industrial

Funções racionais: Infinito 11 A - Parte 2 Pág. 182 Ex. 2

Enunciado

 Uma unidade industrial trata p% da água que lança ao rio.

O custo do tratamento, C(p), é dado em milhares de euros pela expressão \[C(p)=\frac{230p}{100-p}\]

  1. Calcule o custo do tratamento de 10% da água.
     
  2. Apresente uma tabela de valores do custo, de 10% em 10%, e o
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Ficha de Trabalho

8.º Ano - Decomposição de Figuras - Teorema de Pitágoras e Funções

A presente Ficha de Trabalho aborda os temas: Decomposição de Figuras – Teorema de Pitágoras e Funções.

As dificuldades que encontres durante a sua resolução deves tentar superá-las consultando o manual e o caderno diário; depois, poderás tirar as dúvidas na aula ou na sala de estudo.

O acesso à …

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Duas funções

Funções: Matematicamente Falando 8 - Parte 1 Pág. 73 Ex. 8

Enunciado

No referencial cartesiano estão representadas duas funções através das rectas r e s.

Sabendo que a recta r corresponde à função $y=5x$, indica a expressão analítica que define a função dada graficamente pela recta s.

Resolução >> Resolução

Admitindo que as rectas são paralelas, então têm o …