A Casinha da Matemática Blog

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Uma circunferência

Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 188 Ex. 60

Enunciado

Na figura ao lado estão representados:

  • uma circunferência de centro O e raio 1 unidade de comprimento;
  • um diâmetro [AB] e uma corda [CD], perpendicular a esse diâmetro.

Designando por $\alpha $ a amplitude do ângulo AOC, em radianos:

  1. determine o valor de $\overrightarrow{AB}\,.\,\overrightarrow{CD}$;
     
  2. mostre que a
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Na figura estão representados três pontos

Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 188 Ex. 59

Enunciado

Na figura estão representados três pontos, num referencial o.n. Oxyz.

Sabe-se que:

  • ponto A tem coordenadas $(0,5,2)$;
  • ponto B pertence ao plano xOz;
  • ponto C pertence ao plano xOy;
  • $(x,y,z)=(5,4,-1)+k(1,2,-1)\,,\,\,k\in \mathbb{R}$ é uma equação vectorial da recta BC.
  1. Mostre que o ponto B tem coordenadas $(3,0,1)$ e
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Um prisma triangular regular

Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 188 Ex. 58

Enunciado

Na figura está representado, em referencial o.n. Oxyz, um prisma triangular regular:

Sabe-se que:

  • o vértice O coincide com a origem do referencial;
  • o vértice P pertence ao semieixo positivo Ox;
  • o vértice R pertence ao semieixo positivo Oy;
  • o segmento [QR] tem comprimento 6.
  1. Indique, justificando,
Comente a afirmação 0

Comente a afirmação

Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 188 Ex. 57

Enunciado

Comente a afirmação:

“Num referencial o.n. Oxyz, a condição $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
   4x+5y+2z=2  \\
   \frac{x}{4}=\frac{y}{5}=\frac{z}{2}  \\
\end{array} \right.$ define um ponto.”

Resolução >> Resolução

O vector $\vec{n}=(4,5,2)$  é um vector normal ao plano definido pela equação $4x+5y+2z=2$.

O vector $\vec{r}=(4,5,2)$  é um vector director da recta definida pela …

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Um prisma quadrangular regular

Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 187 Ex. 56

Enunciado

Num referencial o.n. do espaço são dados os pontos A, B, C e H.

Sejam [ABCD] e [EFGH] as bases de um prisma quadrangular regular.

  1. Indique as coordenadas dos pontos E, F e G.
     
  2. Determine uma equação cartesiana do lugar geométrico dos pontos equidistantes de H e
Considere o plano α 0

Considere o plano α

Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 187 Ex. 55

Enunciado

Considere o plano $\alpha $: $x+2y-2z+7=0$.

  1. Determine os pontos de intersecção de $\alpha $ com os três eixos coordenados.
     
  2. Calcule a amplitude do ângulo formado por Oz com qualquer recta normal ao plano dado.
    (Aproxime o resultado à décima do grau.)

Resolução >> Resolução

  1. O eixo Ox
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Um paralelepípedo [ABCODEFG]

Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 187 Ex. 54

Enunciado

No referencial o.n. $(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ da figura, está representado o paralelepípedo [ABCODEFG].

  • $C\in \dot{O}y$ e $A\in \dot{O}x$
     
  • $\overrightarrow{OE}=2\vec{i}+5\vec{j}+3\vec{k}$
  1. Indique as coordenadas dos vértices E, A e F.
     
  2. Defina, por uma condição, o plano perpendicular ao vector dado que passa pelo ponto A.
     
  3. Determine, com aproximação às centésimas, a
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Uma pirâmide quadrangular regular

Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 187 Ex. 53

Enunciado

Considere Oxyz um referencial ortonormado.

A pirâmide quadrangular regular está assente sobre um plano paralelo a xOy, tem o vértice no eixo Oz e os planos xOz e yOz são planos mediadores das arestas da base (como ilustra a figura).

Conhecem-se ainda $A\,(1,1,3)$ e a altura da …

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Mais um cubo

Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 186 Ex. 52

Enunciado

Num referencial ortonormado do espaço, considere o cubo [ABCDEFGH] com 6 unidades de aresta.

A face [ABFE] é paralela ao plano zOy, a face [ABCD] é paralela ao plano xOy e $F\,(2,1,4)$.

  1. Mostre que o triângulo [BED] é equilátero.
     
  2. Determine uma equação cartesiana do plano que o
Três pontos: A, B e C 0

Três pontos: A, B e C

Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 186 Ex. 51

Enunciado

Considere, num referencial o.n. Oxyz, os pontos $A\,(-6,6,0)$, $B\,(-2,10,0)$ e $C\,(0,0,8)$.

  1. Determine uma equação cartesiana do plano $\alpha $ definido por A, B e C.
     
  2. Escreva equações cartesianas da recta de intersecção do plano $\alpha $ com o plano coordenado xOz.
     
  3. Prove que $\overrightarrow{OA}$ é perpendicular a
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Outro cubo [ABCDEFGH]

Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 186 Ex. 50

Enunciado

Seja $(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ um referencial o.n. do espaço.

A figura representa um cubo [ABCDEFGH] de centro O e aresta 2 cm, sendo as arestas [AD] e [DC] paralelas a Ox e Oy, respectivamente.

Os pontos I, J, K, L, M, N, P e Q são pontos médios das …

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O cubo [ABCDEFGH]

Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 186 Ex. 49

Enunciado

No referencial o.n. $(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ está representado o cubo [ABCDEFGH].

$BF\parallel OZ$ e as coordenadas dos vértices opostos B e H são, respectivamente, $(0,-3,3)$ e $(4,1,-1)$.

  1. Quais são as coordenadas dos outros vértices do cubo?
  2. Escreva uma equação da recta DG.
  3. Determine uma equação da recta que passa