A Casinha da Matemática Blog

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Mais um cubo

Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 186 Ex. 52

Enunciado

Num referencial ortonormado do espaço, considere o cubo [ABCDEFGH] com 6 unidades de aresta.

A face [ABFE] é paralela ao plano zOy, a face [ABCD] é paralela ao plano xOy e $F\,(2,1,4)$.

  1. Mostre que o triângulo [BED] é equilátero.
     
  2. Determine uma equação cartesiana do plano que o
Três pontos: A, B e C 0

Três pontos: A, B e C

Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 186 Ex. 51

Enunciado

Considere, num referencial o.n. Oxyz, os pontos $A\,(-6,6,0)$, $B\,(-2,10,0)$ e $C\,(0,0,8)$.

  1. Determine uma equação cartesiana do plano $\alpha $ definido por A, B e C.
     
  2. Escreva equações cartesianas da recta de intersecção do plano $\alpha $ com o plano coordenado xOz.
     
  3. Prove que $\overrightarrow{OA}$ é perpendicular a
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Outro cubo [ABCDEFGH]

Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 186 Ex. 50

Enunciado

Seja $(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ um referencial o.n. do espaço.

A figura representa um cubo [ABCDEFGH] de centro O e aresta 2 cm, sendo as arestas [AD] e [DC] paralelas a Ox e Oy, respectivamente.

Os pontos I, J, K, L, M, N, P e Q são pontos médios das …

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O cubo [ABCDEFGH]

Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 186 Ex. 49

Enunciado

No referencial o.n. $(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ está representado o cubo [ABCDEFGH].

$BF\parallel OZ$ e as coordenadas dos vértices opostos B e H são, respectivamente, $(0,-3,3)$ e $(4,1,-1)$.

  1. Quais são as coordenadas dos outros vértices do cubo?
  2. Escreva uma equação da recta DG.
  3. Determine uma equação da recta que passa
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[ABCDEFGH] é um cubo

Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 185 Ex. 48

Enunciado

[ABCDEFGH] é um cubo.

Os pontos A, E, F e H têm por coordenadas, respectivamente, $(1,1,3)$, $(1,1,1)$, $(1,3,1)$ e $(-1,1,1)$.

  1. Calcule as coordenadas dos restantes vértices.
     
  2. Escreva uma equação do plano AEC.
     
  3. Escreva equações cartesianas das rectas BF e EC.

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  1. var parameters = {
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Uma pirâmide quadrangular regular

Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 185 Ex. 47

Enunciado

Considere no referêncial o.n. do espaço (Oxyz), a pirâmide quadrangular regular de vértice V e base [ABCO], assente no plano xOy.

Sabendo que a pirâmide tem 5 unidades de altura e que C (0,4,0):

  1. determine $\alpha $ de modo que $(3\alpha ,\alpha +2,1-\alpha )$ pertença ao plano
Um ponto e três planos 0

Um ponto e três planos

Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 185 Ex. 46

Enunciado

Considere o ponto $A\,(2,3,1)$ e os planos de equações:

  • $\alpha $: $x+y+z=2$
     
  • $\beta $: $x-2y+2z+3=0$
     
  • $\gamma $: $2x-3y-4z=0$
  1. Verifique se $A\in \beta $.
     
  2. Determine uma equação da recta perpendicular a $\alpha $ e que passa por A.
     
  3. Determine a intersecção dos três planos.

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  1. As
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Um octaedro

Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 185 Ex. 45

Enunciado

Na figura está representado, em referencial o.n. Oxyz, um octaedro [ABCDEF].

Sabe-se que:

  • O vértice B tem coordenadas (1,0,1).
  • O vértice E tem coordenadas (0,1,1).
  • O vértice F pertence ao plano xOy.
  • O vértice A tem coordenadas (1,1,2).
  1. Mostre que a recta definida pela condição $x=y=z$ é
Dados três pontos 0

Dados três pontos

Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 184 Ex. 44

Enunciado

Sejam $A\,(2,0,0,)$, $B\,(-4,0,0)$ e $C\,(0,6,0)$ três pontos dados pelas suas coordenadas num referencial ortonormado.

  1. Determine as equações dos planos mediadores dos segmentos de recta [AB], [BC] e [CA].
     
  2. Mostre que estes planos têm uma recta comum e indique uma equação desta recta.
     
  3. Determine as coordenadas do ponto
Posição de uma recta em relação a um plano 0

Posição de uma recta em relação a um plano

Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 184 Ex. 43

Enunciado

Considere o plano de equação $x-y+z-3=0$ e a recta que passa por $A\,(1,1,1)$ e tem a direcção do vector $\vec{u}\,(1,-1,1)$ .

  1. Qual a posição relativa da recta em relação ao plano? Justifique.
     
  2. Determine o ponto de intersecção da recta com o plano.

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  1. Um vector
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Uma pirâmide quadrangular regular

Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 184 Ex. 42

Enunciado

Na figura está representada, em referencial o.n. Oxyz, uma pirâmide quadrangular regular.

A base da pirâmide está contida no plano de equação $z=4$.

  • O vértice A pertence ao eixo Oz.
  • O vértice B pertence ao plano yOz.
  • O vértice D pertence ao plano xOz.
  • O vértice C
Equações cartesianas de duas rectas 0

Equações cartesianas de duas rectas

Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 184 Ex. 41

Enunciado

Seja um referencial ortonormado $(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})$.

Dados os pontos $A\,(2,3,-1)$ e $B\,(2,-1,4)$ e o vector $\vec{u}\,(1,4,-2)$ , determine:

  1. uma equação vectorial da recta que passa em A e é paralela a ${\vec{u}}$ ;
  2. equações cartesianas da recta que passa em A e tem a direcção de ${\vec{u}}$ ;