Tag: derivada

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Uma bola desce um plano inclinado

Funções racionais: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 64 Ex. 5

Enunciado

Uma bola desce um plano inclinado, onde foi espalhado um gel que dificulta o movimento.

A distância, $d$, em centímetros, da bola ao topo do plano inclinado em função do tempo, $t$, em segundos, é dada por: \[d\left( t \right) = 1,3{t^2} – t + 2\]

  1. Represente graficamente a função $d$ na situação descrita.
Determine a expressão designatória da função derivada 0

Determine a expressão designatória da função derivada

Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 47 Ex. 19

Enunciado

Determine a expressão designatória da função derivada de cada uma das funções:

  1. $f:x \to 2\operatorname{sen} x + 5$
     
  2. $g:t \to t – 2\operatorname{sen} t$
     
  3. $h:\theta  \to {\theta ^2}\operatorname{sen} \theta $

Resolução >> Resolução

  1.  
    $$\begin{array}{*{20}{l}}
      {f'(x)}& = &{\left( {2\operatorname{sen} x + 5} \right)’} \\
      {}& = &{2 \times \left( {\operatorname{sen} x} \right)’ + 0} \\
      {}& = &{2\cos x}
    \end{array}$$
     
  2.  
    $$\begin{array}{*{20}{l}}
      {g'(t)}& = &{\left( {t – 2\operatorname{sen} t} \right)’} \\
      {}& = &{t’ – 2 \times \left( {\operatorname{sen} t} \right)’} \\
      {}& = &{1 – 2\cos t}
    \end{array}$$
     
  3.  
    $$\begin{array}{*{20}{l}}
      {h'(\theta )}& = &{\left( {{\theta ^2}\operatorname{sen} \theta } \right)’} \\
      {}& = &{\left( {{\theta ^2}} \right)’ \times \operatorname{sen} \theta  + {\theta ^2} \times \left( {\operatorname{sen} \theta } \right)’} \\
      {}& = &{2\theta \operatorname{sen} \theta  + {\theta ^2}\cos \theta }
    \end{array}$$
<< Enunciado
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Uma determinada substância é injetada na corrente sanguínea

Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 231 Ex. 99

Enunciado

Quando uma determinada substância é injetada na corrente sanguínea, a sua concentração $C$, $t$ minutos depois, é dada por $$C(t) = \frac{1}{2}\left( {{e^{ – 2t}} – {e^{ – 4t}}} \right)$$

  1. Em que instante ocorre a concentração máxima e qual o seu valor?
     
  2. O que se pode dizer sobre a concentração, após um longo período de tempo?
Numa empresa 0

Numa empresa

Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 231 Ex. 98

Enunciado

Numa empresa, o lucro originado pela produção de $n$ peças é dado, em milhares de contos, por $$L(n) = \ln \left( {100 + n} \right) + k$$ com $k$ constante real.

  1. Sabendo que, não havendo produção, não há lucro, determine $k$ e mostre que: $$L(n) = \ln \left( {1 + 0,01n} \right)$$
     
  2. Qual é o número mínimo de peças que é necessário produzir para que o lucro seja superior a 1 milhar de contos.
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Um fio encontra-se suspenso entre dois postes

Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 230 Ex. 96

Enunciado

 Um fio encontra-se suspenso entre dois postes. A distância entre ambos é de 30 metros.

Considere a função $f$ definida por $$f(x) = 5\left( {{e^{1 – 0,1x}} + {e^{0,1x – 1}}} \right)$$

Admita que $f(x)$ é a distância ao solo, em metros, do ponto do fio a $x$ metros à direita do primeiro poste.…

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Um novo analgésico: o AntiDor

Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 229 Ex. 94

Resolução

Um laboratório farmacêutico lançou no mercado um novo analgésico: o AntiDor.

A concentração desse medicamento, em decigramas por litro de sangue, $t$ horas após ser administrado a uma pessoa, é dada por $$C(t) = {t^2}{e^{ – 0,6t}}\,\,\,\left( {t \geqslant 0} \right)$$

  1. Recorrendo exclusivamente a processos analíticos, determine o valor de $t$ para o qual é máxima a concentração de AntiDor no sangue de uma pessoa que o tenha tomado.
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Reprodução de duas espécies vegetais

Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 229 Ex. 93

Enunciado

Um biólogo provoca, em laboratório, a reprodução de duas espécies vegetais, A e B. O número de exemplares de cada uma das espécies, ao fim de $t$ meses, após o início da experiência, é dado por:

$$\begin{array}{*{20}{c}}
  {{\text{Esp}}{\text{. A:}}}&{A(t) = 40 + \ln \left( {{t^2} + 1} \right)}
\end{array}$$

$$\begin{array}{*{20}{c}}
  {{\text{Esp}}{\text{.…

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Capacidade pulmonar de um ser humano

Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 229 Ex. 92

Enunciado

Seja $f$ a função definida em $\left[ {10,100} \right]$ por $$f(x) = \frac{{\ln x – 2}}{x}$$

  1. Caraterize a função derivada $f’$.
     
  2. Representando por $x$ a idade, em anos, e por $g(x)$ a capacidade pulmonar de um ser humano, em litros, admite-se que $g(x) = 100 \times f(x)$.
    Calcule para que idade é máxima a capacidade pulmonar e qual é o valor dessa capacidade pulmonar.
Piza 0

Uma piza foi confecionada à temperatura de 230º C

Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 228 Ex. 91

Enunciado

Uma piza foi confecionada à temperatura de 230º C e retirada do forno às 17 horas para um compartimento que se encontra à temperatura de 20º C.

Admita que, passados 5 minutos, a piza se encontra à temperatura de 150º C.

Sabe-se que a temperatura $A$ (em ºC) de arrefecimento de um corpo varia com o tempo $t$ (em minutos), decorridos após ser retirado da fonte de calor, de acordo com uma lei do tipo $$A(t) = {t_0} + \left( {{A_0} – {t_0}} \right){e^{kt}},\,\,\,t \in \left[ {0, + \infty } \right[$$ em que ${t_0}$ representa a temperatura ambiente, ${{A_0}}$ a temperatura de aquecimento (em ºC) e $k$ é uma constante negativa.…

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A representação gráfica da derivada de $f$

Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 227 Ex. 86

Enunciado

A curva $C$ é a representação gráfica da função derivada $f’$ de uma função $f$ derivável em $\left[ {1,5} \right]$.

A tangente à curva no ponto de abcissa 4 é horizontal.

  1. Diga, justificando, se é verdadeira ou falsa cada uma das seguintes afirmações:a) $f$ é contínua em $\left[ {1,5} \right]$;b) $f(1)<f(5)$.