Tag: equação

Resolva, em $\mathbb{R}$, a equação 0

Resolva, em $\mathbb{R}$, a equação

Funções racionais: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 53 Ex. 2

Enunciado

Resolva, em $\mathbb{R}$, a equação seguinte: \[{\frac{{2x + 4}}{{x – 3}} = \frac{{x – 2}}{{x + 5}}}\]

Resolução >> Resolução

\[\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{2x + 4}}{{\mathop {x{\rm{ }} – {\rm{ }}3}\limits_{\left( {x + 5} \right)} }} = \frac{{x – 2}}{{\mathop {x{\rm{ }} + {\rm{ }}5}\limits_{\left( {x – 3} \right)} }}}& \Leftrightarrow &{\frac{{2{x^2} + 10x + 4x + 20 – {x^2} + 3x + 2x – 6}}{{\left( {x – 3} \right)\left( {5 + 5} \right)}} = 0}\\{}& \Leftrightarrow &{\frac{{{x^2} + 19x + 14}}{{\left( {x – 3} \right)\left( {5 + 5} \right)}} = 0}\\{}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} + 19x + 14 = 0}& \wedge &{\left( {x – 3} \right)\left( {5 + 5} \right) \ne 0}\end{array}}\\{}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{l}}{x = \frac{{ – 19 \pm \sqrt {361 – 56} }}{2}}& \wedge &{\begin{array}{*{20}{c}}{x \ne 3}& \wedge &{x \ne  – 5}\end{array}}\end{array}}\\{}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{l}}{x = \frac{{ – 19 – \sqrt {305} }}{2}}& \vee &{x = \frac{{ – 19 + \sqrt {305} }}{2}}\end{array}}\end{array}\]

<< Enunciado
0

Concentração do composto

Funções racionais: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 53 Ex. 1

Enunciado

Juntou-se ácido puro a $30$ gramas de uma substância $30$% ácida.

Seja $x$ o número de gramas de ácido puro adicionado.

  1. Determine uma expressão que represente a concentração do composto formado.
     
  2. Represente graficamente a função da alínea anterior.
     
  3. Entre que valores varia a função?
     
  4. Qual a quantidade de ácido puro que devemos adicionar para produzir uma solução $75$% ácida?
0

Uma espécie rara de insetos

Funções racionais: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 50 Ex. 4

Enunciado

Uma espécie rara de insetos foi descoberta na floresta tropical do Brasil.

Ambientalistas colocaram os insetos numa área protegida.

A população de insetos no mês $t$, após terem sido colocados na área protegida, é dado pela função: \[P\left( t \right) = \frac{{45\left( {1 + 0,6t} \right)}}{{3 + 0,02t}}\]

  1. Qual era a população quando $t = 0$?
0

Determine graficamente

Funções racionais: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 49 Ex. 12

Enunciado

Determine, graficamente, as abcissas (com aproximação às milésimas) dos pontos de interseção dos gráficos das funções seguintes: \[\begin{array}{*{20}{c}}
  {f\left( x \right) = \frac{{{x^3} + 4x – 2}}{{{x^2} – 3}}}&{\text{e}}&{g\left( x \right) = \frac{{ – 2x + 1}}{{2{x^3} + 3{x^2} – 7x + 1}}}
\end{array}\]

Resolução >> Resolução

Independentemente da janela de visualização escolhida, não é fácil obter, com suficiente legibilidade, uma representação dos dois gráficos que inclua os seus pontos de interseção.
0

Uma plataforma petrolífera

Funções racionais: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 48 Ex. 5

Enunciado

Para construir uma plataforma petrolífera, o custo aproximado por tonelada é dado, em euros, para $x$ mil toneladas, por:

\[C\left( x \right) = \frac{{312000,5}}{{x + 625}}\]

  1. Qual é o custo por tonelada para $30$ mil toneladas?
     
  2. Quantas mil toneladas tem a plataforma, se o custo por tonelada foi de $483$ euros?
0

Número de horas de estudo

Funções racionais: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 48 Ex. 4

Enunciado

A função \[E\left( x \right) = \frac{{0,32x}}{{100,5 – x}}\] permite determinar o número de horas de estudo, $E\left( x \right)$, necessárias para obter num teste um resultado $x$, entre $0$ e $100$ (em percentagem).

  1. Quantas horas de estudo são necessárias para se obter $85$ (em percentagem)?
    Apresente o resultado em horas e minutos, com aproximação ao minuto.
0

Escreva uma equação fracionária

Funções racionais: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 48 Ex. 3

Enunciado

Escreva uma equação fracionária que admita $2$ e $-3$ como soluções.

Resolução >> Resolução

Comecemos por considerar uma equação que admita $2$ e $-3$ como soluções:

\[\left( {x – 2} \right)\left( {x + 3} \right) = 0\]

Desenvolvendo o primeiro membro da equação, vem:

\[{x^2} + x – 6 = 0\]

Dividindo os dois membros por x, com $x \ne 0$, temos:

\[x + 1 – \frac{6}{x} = 0\]

Assim, a equação fracionária seguinte admite $2$ e $-3$ como soluções:

\[x + 1 = \frac{6}{x}\]

 

Mecanismo de equações fracionárias que admitem $2$ e $-3$ como soluções

Interprete matematicamente o mecanismo seguinte:

 

var parameters = { "id": "ggbApplet", "width":904, "height":500, "showMenuBar":false, "showAlgebraInput":false, "showToolBar":false, "customToolBar":"0 39 59 || 1 501 67 , 5 19 , 72 | 2 15 45 , 18 65 , 7 37 | 4 3 8 9 , 13 44 , 58 , 47 || 16 51 64 , 70 | 10 34 53 11 , 24 20 22 , 21 23 | 55 56 57 , 12 || 36 46 , 38 49 50 , 71 | 30 29 54 32 31 33 | 17 26 62 , 14 66 68 | 25 52 60 61 || 40 41 42 , 27 28 35 , 6", "showToolBarHelp":false, "showResetIcon":true, "enableLabelDrags":false, "enableShiftDragZoom":false, "enableRightClick":false, "errorDialogsActive":false, "useBrowserForJS":false, "preventFocus":false, "language":"pt", // use this instead of ggbBase64 to load a material from GeoGebraTube // "material_id":12345, "ggbBase64":"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"}; // is3D=is 3D applet using 3D view, AV=Algebra View, SV=Spreadsheet View, CV=CAS View, EV2=Graphics View 2, CP=Construction Protocol, PC=Probability Calculator, DA=Data Analysis, FI=Function Inspector, PV=Python, macro=Macro View var views = {'is3D': 0,'AV': 0,'SV': 0,'CV': 0,'EV2': 0,'CP': 1,'PC': 0,'DA': 0,'FI': 0,'PV': 0,'macro': 0}; var applet = new GGBApplet(parameters, '5.0', views); window.onload = function() {applet.inject('ggbApplet')};

<< Enunciado
Resolva, em $\mathbb{R}$, as equações 0

Resolva, em $\mathbb{R}$, as equações

Funções racionais: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 48 Ex. 1

Enunciado

Resolva, em $\mathbb{R}$, as equações:

  1. $a – \frac{5}{a} = 4$
     
  2. $\frac{9}{{x + 5}} = \frac{3}{{x – 3}}$
     
  3. $\frac{{x + 4}}{x} + \frac{3}{{x + 3}} =  – \frac{{16}}{{{x^2} – 4x}}$

Resolução >> Resolução

  1.  
    \[\begin{array}{*{20}{l}}
      {\mathop a\limits_{\left( a \right)}  – \frac{5}{a} = \mathop 4\limits_{\left( a \right)} }& \Leftrightarrow &{\frac{{{a^2} – 5 – 4a}}{a} = 0} \\
      {}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{c}}
      {{a^2} – 4a – 5 = 0}& \wedge &{a \ne 0}
    \end{array}} \\
      {}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{c}}
      {a = \frac{{4 \pm \sqrt {16 + 20} }}{2}}& \wedge &{a \ne 0}
    \end{array}} \\
      {}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{c}}
      {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
      {a =  – 1}& \vee &{a = 5}
    \end{array}} \right)}& \wedge &{a \ne 0}
    \end{array}} \\
      {}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{c}}
      {a =  – 1}& \vee &{a = 5}
    \end{array}}
    \end{array}\]
     
  2.  
    \[\begin{array}{*{20}{l}}
      {\frac{9}{{\mathop {x + 5}\limits_{\left( {x – 3} \right)} }} = \frac{3}{{\mathop {x – 3}\limits_{\left( {x + 5} \right)} }}}& \Leftrightarrow &{\frac{{9x – 27 – 3x – 15}}{{\left( {x + 5} \right)\left( {x – 3} \right)}} = 0} \\
      {}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{c}}
      {6x – 42 = 0}& \wedge &{\left( {x + 5} \right)\left( {x – 3} \right) \ne 0}
    \end{array}} \\
      {}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{c}}
      {x = 7}& \wedge &{\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
      {x \ne  – 5}& \wedge &{x \ne 3}
    \end{array}} \right)}
    \end{array}} \\
      {}& \Leftrightarrow &{x = 7}
    \end{array}\]
     
  3.  
    \[\begin{array}{*{20}{l}}
      {\frac{{x + 4}}{{\mathop x\limits_{\left( {\left( {x + 3} \right)\left( {x – 4} \right)} \right)} }} + \frac{3}{{\mathop {x + 3}\limits_{\left( {x\left( {x – 4} \right)} \right)} }} =  – \frac{{16}}{{\mathop {{x^2} – 4x}\limits_{\left( {x + 3} \right)} }}}& \Leftrightarrow &{\frac{{\left( {x + 3} \right)\left( {x – 4} \right)\left( {x + 4} \right) + 3x\left( {x – 4} \right) + 16\left( {x + 3} \right)}}{{x\left( {x + 3} \right)\left( {x – 4} \right)}} = 0} \\
      {}& \Leftrightarrow &{\frac{{\left( {x + 3} \right)\left( {{x^2} – 16} \right) + 3x\left( {x – 4} \right) + 16\left( {x + 3} \right)}}{{x\left( {x + 3} \right)\left( {x – 4} \right)}} = 0} \\
      {}& \Leftrightarrow &{\frac{{\left( {x + 3} \right){x^2} – 16\left( {x + 3} \right) + 3x\left( {x – 4} \right) + 16\left( {x + 3} \right)}}{{x\left( {x + 3} \right)\left( {x – 4} \right)}} = 0} \\
      {}& \Leftrightarrow &{\frac{{\left( {x + 3} \right){x^2} + 3x\left( {x – 4} \right)}}{{x\left( {x + 3} \right)\left( {x – 4} \right)}} = 0} \\
      {}& \Leftrightarrow &{\frac{{x\left[ {x\left( {x + 3} \right) + 3\left( {x – 4} \right)} \right]}}{{x\left( {x + 3} \right)\left( {x – 4} \right)}} = 0} \\
      {}& \Leftrightarrow &{\frac{{x\left( {{x^2} + 6x – 12} \right)}}{{x\left( {x + 3} \right)\left( {x – 4} \right)}} = 0} \\
      {}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{c}}
      {x\left( {{x^2} + 6x – 12} \right) = 0}& \wedge &{x\left( {x + 3} \right)\left( {x – 4} \right) \ne 0}
    \end{array}} \\
      {}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{c}}
      {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
      {x = 0}& \vee &{{x^2} + 6x – 12 = 0}
    \end{array}} \right)}& \wedge &{\left( {\begin{array}{*{20}{l}}
      {x \ne 0}& \wedge &{x \ne  – 3}& \wedge &{x \ne 4}
    \end{array}} \right)}
    \end{array}} \\
      {}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{c}}
      {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
      {x = 0}& \vee &{x = \frac{{ – 6 \pm \sqrt {36 + 48} }}{2}}
    \end{array}} \right)}& \wedge &{\left( {\begin{array}{*{20}{l}}
      {x \ne 0}& \wedge &{x \ne  – 3}& \wedge &{x \ne 4}
    \end{array}} \right)}
    \end{array}} \\
      {}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{c}}
      {\left( {\begin{array}{*{20}{l}}
      {x = 0}& \vee &{x =  – 3 – \sqrt {21} }& \vee &{x = }
    \end{array} – 3 + \sqrt {21} } \right)}& \wedge &{\left( {\begin{array}{*{20}{l}}
      {x \ne 0}& \wedge &{x \ne  – 3}& \wedge &{x \ne 4}
    \end{array}} \right)}
    \end{array}} \\
      {}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{l}}
      {x =  – 3 – \sqrt {21} }& \vee &{x =  – 3 + \sqrt {21} }
    \end{array}}
    \end{array}\]

 

<< Enunciado
Resolve as seguintes equações 0

Resolve as seguintes equações

Equações do 2.º grau: Matematicamente Falando 9 - Pág. 61 Ex. 6

Enunciado

Resolve as seguintes equações pelo processo mais adequado:

  1. ${x^2} – 2x + 1 = 0$
     
  2. $9{x^2} + 12x + 4 = 0$
     
  3. $4{x^2} – 20x + 25 = 0$
     
  4. ${x^2} – 8x = 4$

Resolução >> Resolução

Casos notáveis:
$${\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}$$

$$\left( {A + B} \right)\left( {A – B} \right) = {A^2} – {B^2}$$

Lei do anulamento do produto:
$$\begin{array}{*{20}{c}}
  {A \times B = 0}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{c}}
  {A = 0}& \vee &{B = 0}
\end{array}}
\end{array}$$

  1.  
    $$\begin{array}{*{20}{l}}
      {{x^2} – 2x + 1 = 0}& \Leftrightarrow &{{{\left( {x – 1} \right)}^2} = 0} \\
      {}& \Leftrightarrow &{x – 1 = 0} \\
      {}& \Leftrightarrow &{x = 1}
    \end{array}$$
     
  2.  
    $$\begin{array}{*{20}{l}}
      {9{x^2} + 12x + 4 = 0}& \Leftrightarrow &{{{\left( {3x + 2} \right)}^2} = 0} \\
      {}& \Leftrightarrow &{3x + 2 = 0} \\
      {}& \Leftrightarrow &{x =  – \frac{2}{3}}
    \end{array}$$
     
  3.  
    $$\begin{array}{*{20}{l}}
      {4{x^2} – 20x + 25 = 0}& \Leftrightarrow &{{{\left( {2x – 5} \right)}^2} = 0} \\
      {}& \Leftrightarrow &{2x – 5 = 0} \\
      {}& \Leftrightarrow &{x = \frac{5}{2}}
    \end{array}$$
     
  4.  
    $$\begin{array}{*{20}{l}}
      {{x^2} – 8x = 4}& \Leftrightarrow &{{x^2} – 8x – 4 = 0} \\
      {}& \Leftrightarrow &{{{\left( {x – 4} \right)}^2} – 16 – 4 = 0} \\
      {}& \Leftrightarrow &{{{\left( {x – 4} \right)}^2} = 20} \\
      {}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{l}}
      {x – 4 =  – \sqrt {20} }& \vee &{x – 4 = \sqrt {20} }
    \end{array}} \\
      {}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{l}}
      {x = 4 – \sqrt {20} }& \vee &{x = 4 + \sqrt {20} }
    \end{array}}
    \end{array}$$
    Alternativa:
    $$\begin{array}{*{20}{l}}
      {{x^2} – 8x = 4}& \Leftrightarrow &{{x^2} – 8x – 4 = 0} \\
      {}& \Leftrightarrow &{{{\left( {x – 4} \right)}^2} – 16 – 4 = 0} \\
      {}& \Leftrightarrow &{{{\left( {x – 4} \right)}^2} – 20 = 0} \\
      {}& \Leftrightarrow &{{{\left( {x – 4} \right)}^2} – {{\left( {\sqrt {20} } \right)}^2} = 0} \\
      {}& \Leftrightarrow &{\left[ {\left( {x – 4} \right) + \sqrt {20} } \right]\left[ {\left( {x – 4} \right) – \sqrt {20} } \right] = 0} \\
      {}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{l}}
      {x – 4 + \sqrt {20}  = 0}& \vee &{x – 4 – \sqrt {20} }
    \end{array}} \\
      {}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{l}}
      {x = 4 – \sqrt {20} }& \vee &{x = 4 + \sqrt {20} }
    \end{array}}
    \end{array}$$
<< Enunciado
Resolve as seguintes equações 0

Resolve as seguintes equações

Equações do 2.º grau: Matematicamente Falando 9 - Pág. 60 Ex. 4

Enunciado

Resolve as seguintes equações:

  1. $3{x^2} – 7 = 0$
     
  2. $2\left( {{x^2} + x} \right) = x$
     
  3. $\frac{{13}}{4}{x^2} = \frac{{13}}{5}$
     
  4. $2{x^2} + 3 = 0$
     
  5. $\frac{4}{7}\left( {x – 2} \right)(x + 2) + x = \frac{{9 + 7x}}{7}$

Resolução >> Resolução

Casos notáveis:
$${\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}$$

$$\left( {A + B} \right)\left( {A – B} \right) = {A^2} – {B^2}$$

Lei do anulamento do produto:
$$\begin{array}{*{20}{c}}
  {A \times B = 0}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{c}}
  {A = 0}& \vee &{B = 0}
\end{array}}
\end{array}$$

  1.  
    $$\begin{array}{*{20}{l}}
      {3{x^2} – 7 = 0}& \Leftrightarrow &{{x^2} = \frac{7}{3}} \\
      {}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{l}}
      {x =  – \sqrt {\frac{7}{3}} }& \vee &{x = \sqrt {\frac{7}{3}} }
    \end{array}}
    \end{array}$$
     
  2.  
    $$\begin{array}{*{20}{l}}
      {2\left( {{x^2} + x} \right) = x}& \Leftrightarrow &{2{x^2} + 2x – x = 0} \\
      {}& \Leftrightarrow &{x\left( {2x + 1} \right) = 0} \\
      {}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{l}}
      {x = 0}& \vee &{2x + 1 = 0}
    \end{array}} \\
      {}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{l}}
      {x = 0}& \vee &{x =  – \frac{1}{2}}
    \end{array}}
    \end{array}$$
     
  3.  
    $$\begin{array}{*{20}{l}}
      {\frac{{13}}{4}{x^2} = \frac{{13}}{5}}& \Leftrightarrow &{\frac{{{x^2}}}{4} = \frac{1}{5}} \\
      {}& \Leftrightarrow &{{x^2} = \frac{4}{5}} \\
      {}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{l}}
      {x =  – \sqrt {\frac{4}{5}} }& \vee &{x = \sqrt {\frac{4}{5}} }
    \end{array}}
    \end{array}$$
     
  4.  
    $$\begin{array}{*{20}{l}}
      {2{x^2} + 3 = 0}& \Leftrightarrow &{\overbrace {{x^2} =  – \frac{3}{2}}^{{\text{Eq}}{\text{.