Tag: Equações

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Beautiful Equations

Artist and writer Matt Collings takes the plunge into an alien world of equations

Artist and writer Matt Collings takes the plunge into an alien world of equations. He asks top scientists to help him understand five of the most famous equations in science, talks to Stephen Hawking about his equation for black holes and comes face to face with a particle of anti-matter.

Along the way he discovers why Newton was right about those falling apples and how to make sense of E=mc2.…

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Quantos alunos foram almoçar?

Funções racionais: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 36 Ex. 12

Enunciado

Um grupo de alunos de uma turma resolveu ir almoçar no último dia de aulas. No final, a conta paga foi de $60$ €.

Como dois desses alunos não tinham dinheiro, os outros resolveram a questão dando cada um mais $8$ €.

Quantos alunos foram almoçar?

Resolução >> Resolução

Seja $n \in \mathbb{N}$ o número de alunos que foram almoçar.…

Resolva as equações 0

Resolva as equações

Módulo inicial: Matemática A 10.º - Parte 1 - Pág. 38 Ex. 26

Enunciado

Resolva, em $\mathbb{R}$, as seguintes equações:

  1. $$\frac{{2\left( {x + 1} \right)}}{3} + 5\left( {x + 2} \right) = 8 – 3x$$
     
  2. $$3\left( {\frac{{x + 1}}{2} + \frac{{x – 1}}{3}} \right) = 5x – 2$$
     
  3. $$5 – \frac{{2\left( {x + 1} \right)}}{4} = \frac{{3x – 1}}{7}$$
     
  4. $$\frac{{x + 4}}{6} – \frac{{2\left( {x + 1} \right)}}{9} = \frac{{x – 2}}{6} + \frac{{11 – 2x}}{{18}}$$
     
  5. $$\left( {3x – \frac{2}{3}} \right)\left( {3x + \frac{2}{3}} \right) – 4 = {\left( {3x – 5} \right)^2} + \frac{5}{9}$$
     
  6. $$5{\left( {x – 2} \right)^2} – 500 = 0$$

 

Resolução >> Resolução

  1. $$\begin{array}{*{20}{l}}   {\mathop {\frac{{2\left( {x + 1} \right)}}{3}}\limits_{(1)}  + \mathop {5\left( {x + 2} \right)}\limits_{(3)}  = \mathop 8\limits_{(3)}  – \mathop {3x}\limits_{(3)} }& \Leftrightarrow &{2\left( {x + 1} \right) + 15\left( {x + 2} \right) = 24 – 9x} \\   {}& \Leftrightarrow &{2x + 2 + 15x + 30 = 24 – 9x} \\   {}& \Leftrightarrow &{26x =  – 8} \\   {}& \Leftrightarrow &{x =  – \frac{4}{{13}}} \end{array}$$
     
  2. $$\begin{array}{*{20}{l}}   {3\left( {\frac{{x + 1}}{2} + \frac{{x – 1}}{3}} \right) = 5x – 2}& \Leftrightarrow &{\frac{{3x + 3}}{2} + x – 1 = 5x – 2} \\   {}& \Leftrightarrow &{3x + 3 + 2x – 2 = 10x – 4} \\   {}& \Leftrightarrow &{ – 5x =  – 5} \\   {}& \Leftrightarrow &{x = 1} \end{array}$$
     
  3. $$\begin{array}{*{20}{l}}   {\mathop 5\limits_{(28)}  – \mathop {\frac{{2\left( {x + 1} \right)}}{4}}\limits_{(7)}  = \mathop {\frac{{3x – 1}}{7}}\limits_{(4)} }& \Leftrightarrow &{140 – 14\left( {x + 1} \right) = 12x – 4} \\   {}& \Leftrightarrow &{140 – 14x – 14 = 12x – 4} \\   {}& \Leftrightarrow &{ – 26x =  – 130} \\   {}& \Leftrightarrow &{x = 5} \end{array}$$
     
  4. $$\begin{array}{*{20}{l}}   {\mathop {\frac{{x + 4}}{6}}\limits_{(3)}  – \mathop {\frac{{2\left( {x + 1} \right)}}{9}}\limits_{(2)}  = \mathop {\frac{{x – 2}}{6}}\limits_{(3)}  + \mathop {\frac{{11 – 2x}}{{18}}}\limits_{(1)} }& \Leftrightarrow &{3\left( {x + 4} \right) – 4\left( {x + 1} \right) = 3\left( {x – 2} \right) + 11 – 2x} \\   {}& \Leftrightarrow &{3x + 12 – 4x – 4 = 3x – 6 + 11 – 2x} \\   {}& \Leftrightarrow &{ – 2x =  – 3} \\   {}& \Leftrightarrow &{x = \frac{3}{2}} \end{array}$$
     
  5. $$\begin{array}{*{20}{l}}   {\left( {3x – \frac{2}{3}} \right)\left( {3x + \frac{2}{3}} \right) – 4 = {{\left( {3x – 5} \right)}^2} + \frac{5}{9}}& \Leftrightarrow &{{{\left( {3x} \right)}^2} – {{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^2} – 4 = 9{x^2} – 30x + 25 + \frac{5}{9}} \\   {}& \Leftrightarrow &{9{x^2} – \frac{4}{9} – 4 = 9{x^2} – 30x + 25 + \frac{5}{9}} \\   {}& \Leftrightarrow &{30x = 29 + 1} \\   {}& \Leftrightarrow &{x = 1} \end{array}$$
     
    RECORDE:
    $$\left( {A + B} \right)\left( {A – B} \right) = {A^2} – B{}^2$$
    $${\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}$$
     
  6. $$\begin{array}{*{20}{l}}   {5{{\left( {x – 2} \right)}^2} – 500 = 0}& \Leftrightarrow &{{{\left( {x – 2} \right)}^2} – 100 = 0} \\   {}& \Leftrightarrow &{{x^2} – 4x + 4 – 100 = 0} \\   {}& \Leftrightarrow &{x = \frac{{4 \pm \sqrt {16 – 4 \times 1 \times \left( { – 96} \right)} }}{2}} \\   {}& \Leftrightarrow &{x = \frac{{4 \pm \sqrt {400} }}{2}} \\   {}& \Leftrightarrow &{x = \frac{{4 \pm 20}}{2}} \\   {}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{c}}   {x =  – 8}& \vee &{x = 12} \end{array}} \end{array}$$
     
    ALTERNATIVA:
    $$\begin{array}{*{20}{l}}   {5{{\left( {x – 2} \right)}^2} – 500 = 0}& \Leftrightarrow &{{{\left( {x – 2} \right)}^2} = \frac{{500}}{5}} \\   {}& \Leftrightarrow &{{{\left( {x – 2} \right)}^2} = 100} \\   {}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{c}}   {x – 2 =  – 10}& \vee &{x – 2 =  + 10} \end{array}} \\   {}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{c}}   {x =  – 8}& \vee &{x = 12} \end{array}} \end{array}$$

 

<< Enunciado
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Uma equipa de futebol

Equações do 1.º grau: Matematicamente Falando 8 - Parte 2 Pág. 61 Ex. 2

Enunciado

Uma equipa de futebol ganhou $\frac{4}{7}$ dos jogos que efectuou, empatou $\frac{2}{5}$ dos jogos e perdeu 6.

Quantos jogos efectuou esta equipa?

Resolução >> Resolução

Seja x o número de jogos efectuados por esta equipa.

Assim, temos:

  • Número de vitórias: $\frac{4x}{7}$
     
  • Número de empates: $\frac{2x}{5}$
     
  • Número de derrotas: $6$
     

Logo, \[\begin{array}{*{35}{l}}
   \frac{4x}{\underset{(5)}{\mathop{7}}\,}+\frac{2x}{\underset{(7)}{\mathop{5}}\,}+\underset{(35)}{\mathop{6}}\,=\underset{(35)}{\mathop{x}}\, & \Leftrightarrow  & 20x+14x+210=35x  \\
   {} & \Leftrightarrow  & -x=-210  \\
   {} & \Leftrightarrow  & x=210  \\
\end{array}\]

A equipa efectuou 210 jogos.…

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Verifica se o número indicado é solução da equação

Equações do 1.º grau: Matematicamente Falando 8 - Parte 2 Pág. 57 Ex. 3

Enunciado

Verifica, sem resolveres as equações, se o número indicado entre parênteses é ou não solução da equação:

  1. $\frac{a-2}{5}+\frac{a+3}{2}=\frac{1}{10}$, $(0)$;
     
  2. $\frac{3(x-1)}{2}-\frac{2(x-1)}{3}=0$, $(1)$

Resolução >> Resolução

  1. Substituindo a por $0$, vem:
    \[\begin{array}{*{35}{l}}
       \frac{0-2}{5}+\frac{0+3}{2}=\frac{1}{10} & \Leftrightarrow  & -\frac{2}{\underset{(2)}{\mathop{5}}\,}+\frac{3}{\underset{(5)}{\mathop{2}}\,}=\frac{1}{10}  \\
       {} & \Leftrightarrow  & -\frac{4}{10}+\frac{15}{10}=\frac{1}{10}  \\
       {} & \Leftrightarrow  & \frac{11}{10}=\frac{1}{10}  \\
    \end{array}\]
    Como a proposição obtida é falsa, $0$ não é solução da equação.
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Quatro amigos fizeram uma viagem de automóvel

Equações do 1.º grau: Matematicamente Falando 8 - Parte 2 Pág. 56 Ex. 2

Enunciado

Quatro amigos fizeram uma viagem de automóvel.

Como o percurso era longo, cada um conduziu uma parte.

A Marta conduziu $\frac{1}{3}$ do percurso, o Francisco durante $\frac{1}{5}$ do percurso, a Cláudia durante $\frac{3}{10}$ do percurso e o Luís conduziu os restantes 500 km.

De quantos quilómetros foi a viagem?…

Resolve as equações 0

Resolve as equações

Equações do 1.º grau: Matematicamente Falando 8 - Parte 2 Pág. 56 Ex. 1

Enunciado

Resolve as equações:

  1. $\frac{y}{2}-\frac{2y+1}{3}=0$
     
  2. $b-(2b-4)=\frac{b}{5}$
     
  3. $\frac{5(x+2)}{2}-\frac{x}{5}=5$
     
  4. $\frac{4d-3}{8}-\frac{d}{2}=0$
     
  5. $\frac{m+3}{6}-\frac{2(m-1)}{3}=\frac{1}{9}$

Resolução >> Resolução

  1.  
    \[\begin{array}{*{35}{l}}
       \frac{y}{\underset{(3)}{\mathop{2}}\,}-\frac{2y+1}{\underset{(2)}{\mathop{3}}\,}=\underset{(6)}{\mathop{0}}\, & \Leftrightarrow  & 3y-4y-2=0  \\
       {} & \Leftrightarrow  & -y=2  \\
       {} & \Leftrightarrow  & y=-2  \\
    \end{array}\]
     
  2.  
    \[\begin{array}{*{35}{l}}
       b-(2b-4)=\frac{b}{5} & \Leftrightarrow  & \underset{(5)}{\mathop{b}}\,-\underset{(5)}{\mathop{2b}}\,+\underset{(5)}{\mathop{4}}\,=\frac{b}{\underset{(1)}{\mathop{5}}\,}  \\
       {} & \Leftrightarrow  & 5b-10b+20=b  \\
       {} & \Leftrightarrow  & -6b=-20  \\
       {} & \Leftrightarrow  & b=\frac{20}{6}  \\
       {} & \Leftrightarrow  & b=\frac{10}{3}  \\
    \end{array}\]
     
  3.  
    \[\begin{array}{*{35}{l}}
       \frac{5(x+2)}{2}-\frac{x}{5}=5 & \Leftrightarrow  & \frac{5x+10}{\underset{(5)}{\mathop{2}}\,}-\frac{x}{\underset{(2)}{\mathop{5}}\,}=\underset{(10)}{\mathop{5}}\,  \\
       {} & \Leftrightarrow  & 25x+50-2x=50  \\
       {} & \Leftrightarrow  & 23x=0  \\
       {} & \Leftrightarrow  & x=0  \\
    \end{array}\]
     
  4.  
    \[\begin{array}{*{35}{l}}
       \frac{4d-3}{\underset{(1)}{\mathop{8}}\,}-\frac{d}{\underset{(4)}{\mathop{2}}\,}=\underset{(8)}{\mathop{0}}\, & \Leftrightarrow  & 4d-3-4d=0  \\
       {} & \Leftrightarrow  & 0d=3  \\
    \end{array}\]
    A equação é impossível.
Equações com denominadores 0

Equações com denominadores

Equações do 1.º grau: Matematicamente Falando 8 - Parte 2 Pág. 56 Ex. 1

Enunciado

Resolve as equações:

  1. $1+\frac{x-3}{2}=1$
     
  2. $\frac{x-2}{4}+\frac{2x}{3}=1$
     
  3. $\frac{y+1}{4}-\frac{5+y}{2}=\frac{3}{2}$

Resolução >> Resolução

  1. $1+\frac{x-3}{2}=1$
     
    Escrevendo uma equação equivalente onde todas as fracções figurem com igual denominador (igual ao m.m.c. dos denominadores), temos:
    \[\begin{matrix}
       \underset{(2)}{\mathop{1}}\,+\frac{x-3}{\underset{(1)}{\mathop{2}}\,}=\underset{(2)}{\mathop{1}}\,  \\
       \frac{2}{2}+\frac{x-3}{2}=\frac{2}{2}  \\
    \end{matrix}\]
    Se multiplicarmos por 2 ambos os membros da equação obtemos uma equação equivalente. Seguidamente, aplicando a propriedade distributiva da multiplicação em ambos os membros, obtém-se uma equação equivalente sem denominadores:
    \[\begin{matrix}
       2\times \left( \frac{2}{2}+\frac{x-3}{2} \right)=\left( \frac{2}{2} \right)\times 2  \\
       2+x-3=2  \\
    \end{matrix}\]
    Esta sequência de procedimentos pode ser abreviada: suprimindo a 2.ª e 3.ª equações.
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Calcula o valor de x em cada figura

Do espaço ao plano: Matematicamente Falando 7 - Parte 2 Pág. 103 Ex. 2

Enunciado

Calcula o valor de x em cada figura, considerando r//s.

Resolução >> Resolução

FIGURA a)

Os ângulos considerados são geometricamente iguais, pois são ambos agudos e de lados paralelos.
Logo, temos:

$\begin{array}{*{35}{l}}
   2x-95=25 & \Leftrightarrow  & 2x=120  \\
   {} & \Leftrightarrow  & x=60  \\
\end{array}$

Portanto, $x=60{}^\text{o}$.

FIGURA b)

Os ângulos considerados são suplementares pois, sendo um agudo e outro obtuso, possuem lados paralelos:
Logo, temos:

$\begin{array}{*{35}{l}}
   (5x+30)+(x+6)=180 & \Leftrightarrow  & 5x+x=180-30-6  \\
   {} & \Leftrightarrow  & 6x=144  \\
   {} & \Leftrightarrow  & x=24  \\
\end{array}$

Portanto, $x=24{}^\text{o}$.…

Quatro equações 0

Quatro equações

Equações: Matematicamente Falando 7 - Parte 2 Pág. 67 Ex. 19

Enunciado

Resolve e classifica cada uma das equações:

  1. $7x-3=7x$
     
  2. $8x+1=2x+1$
     
  3. $-2x+3=-2x+3$
     
  4. $5x+2=5(x-2)$

Resolução >> Resolução

  1.  
    \[\begin{array}{*{35}{l}}
       7x-3=7x & \Leftrightarrow  & 7x-7x=3  \\
       {} & \Leftrightarrow  & 0x=3  \\
    \end{array}\]
    Como sabemos, o produto de qualquer número por zero é nulo.
    Logo, a equação é impossível. O seu conjunto-solução é vazio: $S=\left\{ {} \right\}$.