Tag: extremos relativos

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A distância entre os automóveis

Funções com radicais: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 177 Ex. 11

Enunciado

Dois automóveis circulam à mesma velocidade, em estradas perpendiculares, em direção a um cruzamento.
Um deles encontra-se a $5$ km do cruzamento e o outro a $6$ km.

Representa graficamente a função que dá a distância entre os dois automóveis à medida que se aproximam do cruzamento.

Utilizando a calculadora gráfica, determina quando é que a distância entre os automóveis é mínima.…

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Um triângulo inscrito numa semicircunferência

Funções com radicais: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 174 Ex. 16

Enunciado

Considere o triângulo da figura inscrito numa semicircunferência de centro C.

  1. Justifique que o triângulo é retângulo.
     
  2. Exprima a área do triângulo em função do raio e do cateto de comprimento $x$.
     
  3. Qual deve ser o raio da circunferência para que o triângulo tenha área $10$ e um cateto seja duplo do outro?
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Mostre que a função não admite extremo em $x = 0$

Derivadas: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 82 Ex. 19

Enunciado

Mostre que a derivada da função definida por \[\begin{array}{*{20}{c}}
  {f\left( x \right)}& = &{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
  x& \Leftarrow &{x > 0} \\
  {{x^2} + 1}& \Leftarrow &{x \leqslant 0}
\end{array}} \right.}
\end{array}\]

muda de sinal quando passa da esquerda para a direita de zero, mas a função $f$ não tem máximo nem mínimo nesse ponto.…

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A secção de um túnel

Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 128 Ex. 8

Enunciado

A secção de um túnel é um semicírculo com 1 hm de raio.

No interior do túnel há uma estrutura com a forma de um trapézio, como mostra a figura.

Qual é o valor de $\theta $ $\left( {0 < \theta  < \frac{\pi }{2}} \right)$ que torna máxima a área da secção da estrutura trapezoidal?…

Considere as funções 0

Considere as funções

Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 27 Ex. 2

Enunciado

Considere as funções:

$$f(x) = 2\operatorname{sen} x$$

$$g(x) =  – 0,5\operatorname{sen} x$$

$$h(x) =  – 1 + \operatorname{sen} x$$

$$t(x) =  – 1 + 2\operatorname{sen} x$$

Determine para cada uma:

  • a expressão geral dos zeros;
  • os extremos e a expressão dos minimizantes e maximizantes;
  • o contradomínio;
  • o período positivo mínimo.
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Uma determinada substância é injetada na corrente sanguínea

Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 231 Ex. 99

Enunciado

Quando uma determinada substância é injetada na corrente sanguínea, a sua concentração $C$, $t$ minutos depois, é dada por $$C(t) = \frac{1}{2}\left( {{e^{ – 2t}} – {e^{ – 4t}}} \right)$$

  1. Em que instante ocorre a concentração máxima e qual o seu valor?
     
  2. O que se pode dizer sobre a concentração, após um longo período de tempo?
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Um fio encontra-se suspenso entre dois postes

Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 230 Ex. 96

Enunciado

 Um fio encontra-se suspenso entre dois postes. A distância entre ambos é de 30 metros.

Considere a função $f$ definida por $$f(x) = 5\left( {{e^{1 – 0,1x}} + {e^{0,1x – 1}}} \right)$$

Admita que $f(x)$ é a distância ao solo, em metros, do ponto do fio a $x$ metros à direita do primeiro poste.…

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Um novo analgésico: o AntiDor

Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 229 Ex. 94

Resolução

Um laboratório farmacêutico lançou no mercado um novo analgésico: o AntiDor.

A concentração desse medicamento, em decigramas por litro de sangue, $t$ horas após ser administrado a uma pessoa, é dada por $$C(t) = {t^2}{e^{ – 0,6t}}\,\,\,\left( {t \geqslant 0} \right)$$

  1. Recorrendo exclusivamente a processos analíticos, determine o valor de $t$ para o qual é máxima a concentração de AntiDor no sangue de uma pessoa que o tenha tomado.