Tag: forma trigonométrica

Prove que 0

Prove que

Números complexos: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 100 Ex. 61

Enunciado

Prove que:

  1. $w = 2i$ é uma raiz quarta de $z = 16$.
     
  2. $w = 1 + i$ é uma raiz quadrada de $z = 2i$.

Resolução >> Resolução

  1. Ora, $$\begin{array}{*{20}{l}}
      {{w^4}}& = &{{{\left( {2i} \right)}^4}} \\
      {}& = &{16{i^4}} \\
      {}& = &{16}
    \end{array}$$
     
    Como ${w^4} = z$, então $w = 2i$ é uma raiz quarta de $z = 16$.
Prove que $w = 1 + i$ é uma raiz cúbica de $z =  – 2 + 2i$ 0

Prove que $w = 1 + i$ é uma raiz cúbica de $z = – 2 + 2i$

Números complexos: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 143 Ex. 57

Enunciado

Prove que $w = 1 + i$ é uma raiz cúbica de $z =  – 2 + 2i$.

Resolução >> Resolução

$$\begin{array}{*{20}{l}}
  {{w^3}}& = &{{{\left( {1 + i} \right)}^3}} \\
  {}& = &{{{\left( {\sqrt 2 \operatorname{cis} \frac{\pi }{4}} \right)}^3}} \\
  {}& = &{{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^3}\operatorname{cis} \left( {\frac{{3\pi }}{4}} \right)} \\
  {}& = &{2\sqrt 2 \left( {\cos \left( {\frac{{3\pi }}{4}} \right) + i\operatorname{sen} \left( {\frac{{3\pi }}{4}} \right)} \right)} \\
  {}& = &{2\sqrt 2 \left( { – \frac{{\sqrt 2 }}{2} + \frac{{\sqrt 2 }}{2}i} \right)} \\
  {}& = &{ – 2 + 2i} \\
  {}& = &z
\end{array}$$

Como ${w^3} = z$, então $w$ é uma raiz cúbica de $z$.…

Calcule o valor de 0

Calcule o valor de

Números complexos: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 143 Ex. 56

Enunciado

Calcule o valor de: $${{{\left( {\frac{{\cos \theta  – i\operatorname{sen} \theta }}{{\operatorname{sen} \theta  + i\cos \theta }}} \right)}^5}}$$

Resolução >> Resolução

$$\begin{array}{*{20}{l}}
  {{{\left( {\frac{{\cos \theta  – i\operatorname{sen} \theta }}{{\operatorname{sen} \theta  + i\cos \theta }}} \right)}^5}}& = &{{{\left( {\frac{{\operatorname{cis} \left( { – \theta } \right)}}{{\cos \left( {\frac{\pi }{2} – \theta } \right) + i\operatorname{sen} \left( {\frac{\pi }{2} – \theta } \right)}}} \right)}^5}} \\
  {}& = &{{{\left( {\frac{{\operatorname{cis} \left( { – \theta } \right)}}{{\operatorname{cis} \left( {\frac{\pi }{2} – \theta } \right)}}} \right)}^5}} \\
  {}& = &{\frac{{\operatorname{cis} \left( { – 5\theta } \right)}}{{\operatorname{cis} \left( {\frac{{5\pi }}{2} – 5\theta } \right)}}} \\
  {}& = &{\operatorname{cis} \left( { – 5\theta  – \frac{{5\pi }}{2} + 5\theta } \right)} \\
  {}& = &{\operatorname{cis} \left( { – \frac{{5\pi }}{2}} \right)} \\
  {}& = &{\operatorname{cis} \left( { – \frac{\pi }{2}} \right)} \\
  {}& = &{ – i}
\end{array}$$

<< Enunciado
Mostre que 0

Mostre que

Números complexos: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 143 Ex. 55

Enunciado

Mostre que $${\left( {1 + \sqrt 3 i} \right)^n} + {\left( {1 – \sqrt 3 i} \right)^n} = {2^{n + 1}}\operatorname{c} os\left( {\frac{{n\pi }}{3}} \right)$$ para todo o $n \in \mathbb{N}$.

Resolução >> Resolução

$$\begin{array}{*{20}{l}}
  {{{\left( {1 + \sqrt 3 i} \right)}^n} + {{\left( {1 – \sqrt 3 i} \right)}^n}}& = &{{{\left[ {2\left( {\frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i} \right)} \right]}^n} + {{\left[ {2\left( {\frac{1}{2} – \frac{{\sqrt 3 }}{2}i} \right)} \right]}^n}} \\
  {}& = &{{{\left( {2\operatorname{cis} \frac{\pi }{3}} \right)}^n} + {{\left( {2\operatorname{cis} \left( { – \frac{\pi }{3}} \right)} \right)}^n}} \\
  {}& = &{{2^n}\operatorname{cis} \left( {\frac{{n\pi }}{3}} \right) + {2^n}\operatorname{cis} \left( { – \frac{{n\pi }}{3}} \right)} \\
  {}& = &{{2^n}\left[ {\cos \left( {\frac{{n\pi }}{3}} \right) + i\operatorname{sen} \left( {\frac{{n\pi }}{3}} \right) + \cos \left( { – \frac{{n\pi }}{3}} \right) + i\operatorname{sen} \left( { – \frac{{n\pi }}{3}} \right)} \right]} \\
  {}& = &{{2^n}\left[ {\cos \left( {\frac{{n\pi }}{3}} \right) + i\operatorname{sen} \left( {\frac{{n\pi }}{3}} \right) + \cos \left( {\frac{{n\pi }}{3}} \right) – i\operatorname{sen} \left( {\frac{{n\pi }}{3}} \right)} \right]} \\
  {}& = &{{2^n} \times 2\cos \left( {\frac{{n\pi }}{3}} \right)} \\
  {}& = &{{2^{n + 1}}\cos \left( {\frac{{n\pi }}{3}} \right)}
\end{array}$$

Portanto, $${\left( {1 + \sqrt 3 i} \right)^n} + {\left( {1 – \sqrt 3 i} \right)^n} = {2^{n + 1}}\operatorname{c} os\left( {\frac{{n\pi }}{3}} \right),\forall n \in \mathbb{N}$$

<< Enunciado
Represente na forma trigonométrica 0

Represente na forma trigonométrica

Números complexos: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 143 Ex. 54

Enunciado

Represente, na forma trigonométrica, o número $$\frac{{1 + \sqrt 2  + i}}{{1 + \sqrt 2  – i}}$$

Resolução >> Resolução

$$\begin{array}{*{20}{l}}
  {\frac{{1 + \sqrt 2  + i}}{{1 + \sqrt 2  – i}}}& = &{\frac{{1 + \sqrt 2  + i}}{{1 + \sqrt 2  – i}} \times \frac{{1 + \sqrt 2  + i}}{{1 + \sqrt 2  + i}}} \\
  {}& = &{\frac{{{{\left( {1 + \sqrt 2  + i} \right)}^2}}}{{{{\left( {1 + \sqrt 2 } \right)}^2} + 1}}} \\
  {}& = &{\frac{{{{\left( {1 + \sqrt 2 } \right)}^2} + 2\left( {1 + \sqrt 2 } \right)i – 1}}{{1 + 2\sqrt 2  + 2 + 1}}} \\
  {}& = &{\frac{{1 + 2\sqrt 2  + 2 + 2\left( {1 + \sqrt 2 } \right)i – 1}}{{4 + 2\sqrt 2 }}} \\
  {}& = &{\frac{{2\left( {1 + \sqrt 2 } \right) + 2\left( {1 + \sqrt 2 } \right)i}}{{2\left( {2 + \sqrt 2 } \right)}}} \\
  {}& = &{\frac{{\left( {1 + \sqrt 2 } \right) + \left( {1 + \sqrt 2 } \right)i}}{{\left( {2 + \sqrt 2 } \right)}} \times \frac{{2 – \sqrt 2 }}{{2 – \sqrt 2 }}} \\
  {}& = &{\frac{{\left( {2 – \sqrt 2  + 2\sqrt 2  – 2} \right) + \left( {2 – \sqrt 2  + 2\sqrt 2  – 2} \right)i}}{{4 – 2}}} \\
  {}& = &{\frac{{\sqrt 2 }}{2} + \frac{{\sqrt 2 }}{2}i} \\
  {}& = &{\operatorname{cis} \frac{\pi }{4}}
\end{array}$$

<< Enunciado
Considere os seguintes números complexos 0

Considere os seguintes números complexos

Números complexos: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 142 Ex. 53

Enunciado

Considere $$\begin{array}{*{20}{c}}
  {{z_1} = \frac{{\sqrt 3 }}{2} – \frac{1}{2}i}&{\text{e}}&{{z_2} = \operatorname{cis} \frac{{3\pi }}{4}}
\end{array}$$

  1. Determine ${z_1}.{z_2}$, na forma trigonométrica e na forma algébrica.
     
  2. Utilizando os resultados obtidos na alínea anterior, deduza os valores exatos de $\cos \frac{{7\pi }}{{12}}$ e $\operatorname{sen} \frac{{7\pi }}{{12}}$.
     
  3. Obtenha os valores de $\cos \frac{{7\pi }}{{12}}$ e $\operatorname{sen} \frac{{7\pi }}{{12}}$ utilizando outro processo.
Represente na forma trigonométrica 0

Represente na forma trigonométrica

Números complexos: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 142 Ex. 52

Enunciado

Sendo $$\begin{array}{*{20}{c}}
  {z = \sqrt 2  – \sqrt 2 i}&{\text{e}}&{w =  – \frac{2}{3} + \frac{2}{{\sqrt 3 }}i}
\end{array}$$ represente na forma trigonométrica.

  1. $z$
     
  2. $w$
     
  3. $zw$
     
  4. $\frac{z}{w}$
     
  5. ${w^3}$
     
  6. $\frac{1}{{ – w}}$
     
  7. ${z^2}\overline w $
     
  8. ${z^4}:{w^3}$

Resolução >> Resolução

  1.  
    $$\begin{array}{*{20}{l}}
      z& = &{\sqrt 2  – \sqrt 2 i} \\
      {}& = &{2\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{{\text{2}}} – \frac{{\sqrt 2 }}{2}i} \right)} \\
      {}& = &{2\operatorname{cis} \left( { – \frac{\pi }{4}} \right)}
    \end{array}$$
     
  2.  
    $$\begin{array}{*{20}{l}}
      w& = &{ – \frac{2}{3} + \frac{2}{{\sqrt 3 }}i} \\
      {}& = &{\frac{4}{3}\left( { – \frac{1}{{\text{2}}} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i} \right)} \\
      {}& = &{\frac{4}{3}\operatorname{cis} \frac{{2\pi }}{3}}
    \end{array}$$
     
  3.  
    $$\begin{array}{*{20}{l}}
      {zw}& = &{2\operatorname{cis} \left( { – \frac{\pi }{4}} \right) \times \frac{4}{3}\operatorname{cis} \frac{{2\pi }}{3}} \\
      {}& = &{\frac{8}{3}\operatorname{cis} \left( { – \frac{\pi }{4} + \frac{{2\pi }}{3}} \right)} \\
      {}& = &{\frac{8}{3}\operatorname{cis} \frac{{5\pi }}{{12}}}
    \end{array}$$
     
  4.  
    $$\begin{array}{*{20}{l}}
      {zw}& = &{\frac{{2\operatorname{cis} \left( { – \frac{\pi }{4}} \right)}}{{\frac{4}{3}\operatorname{cis} \frac{{2\pi }}{3}}}} \\
      {}& = &{\frac{2}{{\frac{4}{3}}}\operatorname{cis} \left( { – \frac{\pi }{4} – \frac{{2\pi }}{3}} \right)} \\
      {}& = &{\frac{3}{2}\operatorname{cis} \left( { – \frac{{11\pi }}{{12}}} \right)}
    \end{array}$$
     
  5.  
    $$\begin{array}{*{20}{l}}
      {{w^3}}& = &{{{\left( {\frac{4}{3}\operatorname{cis} \frac{{2\pi }}{3}} \right)}^3}} \\
      {}& = &{{{\left( {\frac{4}{3}} \right)}^3}\operatorname{cis} \left( {3 \times \frac{{2\pi }}{3}} \right)} \\
      {}& = &{\frac{{64}}{{27}}\operatorname{cis} \left( 0 \right)}
    \end{array}$$
     
  6.  
    $$\begin{array}{*{20}{l}}
      {\frac{1}{{ – w}}}& = &{\frac{1}{{ – \frac{4}{3}\operatorname{cis} \frac{{2\pi }}{3}}}} \\
      {}& = &{\frac{{\operatorname{cis} \left( 0 \right)}}{{\frac{4}{3}\operatorname{cis} \left( {\frac{{2\pi }}{3} + \pi } \right)}}} \\
      {}& = &{\frac{1}{{\frac{4}{3}}}\operatorname{cis} \left( {0 – \frac{{2\pi }}{3} – \pi } \right)} \\
      {}& = &{\frac{3}{4}\operatorname{cis} \left( { – \frac{{5\pi }}{3}} \right)} \\
      {}& = &{\frac{3}{4}\operatorname{cis} \frac{\pi }{3}}
    \end{array}$$
     
  7.  
    $$\begin{array}{*{20}{l}}
      {{z^2}\overline w }& = &{{{\left( {2\operatorname{cis} \left( { – \frac{\pi }{4}} \right)} \right)}^2} \times \overline {\frac{4}{3}\operatorname{cis} \frac{{2\pi }}{3}} } \\
      {}& = &{{2^2}\operatorname{cis} \left( { – 2 \times \frac{\pi }{4}} \right) \times \frac{4}{3}\operatorname{cis} \left( { – \frac{{2\pi }}{3}} \right)} \\
      {}& = &{\frac{{16}}{{\frac{3}{3}}}\operatorname{cis} \left( { – \frac{\pi }{2} – \frac{{2\pi }}{3}} \right)} \\
      {}& = &{\frac{{16}}{3}\operatorname{cis} \left( { – \frac{{7\pi }}{6}} \right)} \\
      {}& = &{\frac{{16}}{3}\operatorname{cis} \frac{{5\pi }}{6}}
    \end{array}$$
     
  8.  
    $$\begin{array}{*{20}{l}}
      {{z^4}:{w^3}}& = &{\frac{{{{\left( {2\operatorname{cis} \left( { – \frac{\pi }{4}} \right)} \right)}^4}}}{{{{\left( {\frac{4}{3}\operatorname{cis} \frac{{2\pi }}{3}} \right)}^3}}}} \\
      {}& = &{\frac{{16\operatorname{cis} \left( { – \pi } \right)}}{{\frac{{64}}{{27}}\operatorname{cis} 2\pi }}} \\
      {}& = &{\frac{{16}}{{\frac{{64}}{{27}}}}\operatorname{cis} \left( { – \pi  – 2\pi } \right)} \\
      {}& = &{\frac{{27}}{4}\operatorname{cis} \left( { – 3\pi } \right)} \\
      {}& = &{\frac{{27}}{4}\operatorname{cis} \pi }
    \end{array}$$

 

<< Enunciado
Calcule 0

Calcule

Números complexos: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 141 Ex. 50

Enunciado

Sendo $$\begin{array}{*{20}{c}}
  {{z_1} = 16\operatorname{cis} \frac{\pi }{4}}&{\text{e}}&{{z_2} = 16\operatorname{cis} \frac{{3\pi }}{4}}
\end{array}$$ calcule:

  1. ${z_1} + {z_2}$
     
  2. ${z_1} – {z_2}$
     
  3. ${\left( {\frac{{{z_1} + {z_2}}}{{{z_1} – {z_2}}}} \right)^3}$

Resolução >> Resolução

  1.  
    $$\begin{array}{*{20}{l}}
      {{z_1} + {z_2}}& = &{16\operatorname{cis} \frac{\pi }{4} + 16\operatorname{cis} \frac{{3\pi }}{4}} \\
      {}& = &{16\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2} + \frac{{\sqrt 2 }}{2}i} \right) + 16\left( { – \frac{{\sqrt 2 }}{2} + \frac{{\sqrt 2 }}{2}i} \right)} \\
      {}& = &{16\sqrt 2 i}
    \end{array}$$
     
  2.  
    $$\begin{array}{*{20}{l}}
      {{z_1} – {z_2}}& = &{16\operatorname{cis} \frac{\pi }{4} – 16\operatorname{cis} \frac{{3\pi }}{4}} \\
      {}& = &{16\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2} + \frac{{\sqrt 2 }}{2}i} \right) – 16\left( { – \frac{{\sqrt 2 }}{2} + \frac{{\sqrt 2 }}{2}i} \right)} \\
      {}& = &{16\sqrt 2 }
    \end{array}$$
     
  3.  
    $$\begin{array}{*{20}{l}}
      {{{\left( {\frac{{{z_1} + {z_2}}}{{{z_1} – {z_2}}}} \right)}^3}}& = &{{{\left( {\frac{{16\sqrt 2 i}}{{16\sqrt 2 }}} \right)}^3}} \\
      {}& = &{{i^3}} \\
      {}& = &{ – i}
    \end{array}$$
     

Nota: NÃO existem regras operatórias relativas à adição e subtração de números complexos na forma trigonométrica!…

Escreva $z$ na forma trigonométrica 0

Escreva $z$ na forma trigonométrica

Números complexos: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 141 Ex. 47

Enunciado

Escreva $z$ na forma trigonométrica:

  1. $z = 1 – i\sqrt 3 $
     
  2. $z =  – 1 + i$
     
  3. $z =  – 5$
     
  4. $z = 3i$
     
  5. $z = \frac{1}{3} + \frac{1}{3}i$
     
  6. $z =  – \sqrt 2  – \sqrt 6 i$
     
  7. $z = \frac{4}{{1 – i\sqrt 3 }}$
     
  8. $z = \frac{2}{{\sqrt 6  – i\sqrt 2 }}$

Resolução >> Resolução

  1.  
    $$\begin{array}{*{20}{l}}
      z& = &{1 – i\sqrt 3 } \\
      {}& = &{2\left( {\frac{1}{2} – \frac{{\sqrt 3 }}{2}i} \right)} \\
      {}& = &{2\operatorname{cis} \left( { – \frac{\pi }{3}} \right)}
    \end{array}$$
     
  2.  
    $$\begin{array}{*{20}{l}}
      z& = &{ – 1 + i} \\
      {}& = &{\sqrt 2 \left( { – \frac{{\sqrt 2 }}{2} + \frac{{\sqrt 2 }}{2}i} \right)} \\
      {}& = &{\sqrt 2 \operatorname{cis} \left( {\frac{{3\pi }}{4}} \right)}
    \end{array}$$
     
  3.  
    $$\begin{array}{*{20}{l}}
      z& = &{ – 5} \\
      {}& = &{5\operatorname{cis} \pi }
    \end{array}$$

     

  4.  
    $$\begin{array}{*{20}{l}}
      z& = &{3i} \\
      {}& = &{3\operatorname{cis} \frac{\pi }{2}}
    \end{array}$$
     
  5.  
    $$\begin{array}{*{20}{l}}
      z& = &{\frac{1}{3} + \frac{1}{3}i} \\
      {}& = &{\frac{{\sqrt 2 }}{3}\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2} + \frac{{\sqrt 2 }}{2}i} \right)} \\
      {}& = &{\frac{{\sqrt 2 }}{3}\operatorname{cis} \frac{\pi }{4}}
    \end{array}$$
     
  6.  
    $$\begin{array}{*{20}{l}}
      z& = &{ – \sqrt 2  – \sqrt 6 i} \\
      {}& = &{2\sqrt 2 \left( { – \frac{1}{2} – \frac{{\sqrt 3 }}{2}i} \right)} \\
      {}& = &{2\sqrt 2 \operatorname{cis} \left( {\frac{{4\pi }}{3}} \right)}
    \end{array}$$
     
  7.  
    $$\begin{array}{*{20}{l}}
      z& = &{\frac{4}{{1 – i\sqrt 3 }}} \\
      {}& = &{\frac{{4\operatorname{cis} \left( 0 \right)}}{{2\left( {\frac{1}{2} – \frac{{\sqrt 3 }}{2}i} \right)}}} \\
      {}& = &{\frac{{4\operatorname{cis} \left( 0 \right)}}{{2\operatorname{cis} \left( { – \frac{\pi }{3}} \right)}}} \\
      {}& = &{2\operatorname{cis} \left( {0 + \frac{\pi }{3}} \right)} \\
      {}& = &{2\operatorname{cis} \frac{\pi }{3}}
    \end{array}$$
     
  8.  
    $$\begin{array}{*{20}{l}}
      z& = &{\frac{2}{{\sqrt 6  – i\sqrt 2 }}} \\
      {}& = &{\frac{{2\operatorname{cis} \left( 0 \right)}}{{2\sqrt 2 \left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2} – \frac{1}{2}i} \right)}}} \\
      {}& = &{\frac{{2\operatorname{cis} \left( 0 \right)}}{{2\sqrt 2 \operatorname{cis} \left( { – \frac{\pi }{6}} \right)}}} \\
      {}& = &{\frac{2}{{2\sqrt 2 }}\operatorname{cis} \frac{\pi }{6}} \\
      {}& = &{\frac{{\sqrt 2 }}{2}\operatorname{cis} \frac{\pi }{6}}
    \end{array}$$
<< Enunciado
Determine na forma trigonométrica 0

Determine na forma trigonométrica

Números complexos: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 140 Ex. 46

Enunciado

Sendo $$\begin{array}{*{20}{c}}
  {z = 2\operatorname{cis} \frac{\pi }{3}}&{\text{e}}&{w = 3\operatorname{cis} \frac{\pi }{2}}
\end{array}$$ determine na forma trigonométrica:

  1. $zw$
     
  2. $\frac{z}{w}$
     
  3. ${z^3}$

Resolução >> Resolução

  1.  
    $$\begin{array}{*{20}{l}}
      {zw}& = &{\left( {2\operatorname{cis} \frac{\pi }{3}} \right) \times \left( {3\operatorname{cis} \frac{\pi }{2}} \right)} \\
      {}& = &{\left( {2 \times 3} \right)\operatorname{cis} \left( {\frac{\pi }{3} + \frac{\pi }{2}} \right)} \\
      {}& = &{6\operatorname{cis} \frac{{5\pi }}{6}}
    \end{array}$$
     
  2.  
    $$\begin{array}{*{20}{l}}
      {\frac{z}{w}}& = &{\frac{{2\operatorname{cis} \frac{\pi }{3}}}{{3\operatorname{cis} \frac{\pi }{2}}}} \\
      {}& = &{\frac{2}{3}\operatorname{cis} \left( {\frac{\pi }{3} – \frac{\pi }{2}} \right)} \\
      {}& = &{\frac{2}{3}\operatorname{cis} \left( { – \frac{\pi }{6}} \right)}
    \end{array}$$
     
  3.  
    $$\begin{array}{*{20}{l}}
      {{z^3}}& = &{{{\left( {2\operatorname{cis} \frac{\pi }{3}} \right)}^3}} \\
      {}& = &{{2^3}\operatorname{cis} \left( {3 \times \frac{\pi }{3}} \right)} \\
      {}& = &{8\operatorname{cis} \pi }
    \end{array}$$
<< Enunciado