A Casinha da Matemática

A Álgebra é generosa; ela frequentemente dá mais do que aquilo que lhe é pedido. (D'Alembert)

Tagged: função derivada

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12.º Ano / Funções seno, co-seno e tangente / Aplicando

A figura representa parte da representação gráfica da função $f$

Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 129 Ex. 12 (Adaptado)

Enunciado

A figura representa parte da representação gráfica da função $f$ derivável em $\mathbb{R}$.
As retas ${t_1}$ e ${t_2}$ são tangentes ao gráfico de $f$ nos pontos B e A, respetivamente.

Recorrendo ao gráfico:

  1. Resolva a equação $f'(x) = 0$ em $\left[ { – 2,3} \right]$.
  2. Determine o valor de $$\mathop {\lim }\limits_{x \to 2,5} \frac{{f(2,5 + h) – 0,02}}{h}$$
  3. Determine $f'(0)$ e a equação reduzida da reta ${t_1}$.

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Aplicando / 12.º Ano / Funções seno, co-seno e tangente

Um corredor de um museu

Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 128 Ex. 11

Enunciado

Na figura está representado um corredor de um museu.

Considere a reta que passa por O, sendo $0 < \alpha  < \frac{\pi }{2}$, e que encontra as paredes em A e B.

  1. Exprima $\overline {OA} $ em função de $\alpha $.
  2. Exprima $\overline {OB} $ em função de $\alpha $.
  3. a) Faça $\overline {AB}  = f(\alpha )$ e mostre que $$f(\alpha ) = \frac{5}{{\operatorname{sen} \alpha }} + \frac{1}{{\cos \alpha }}$$b) Determine a função derivada de $f$ em
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Funções seno, co-seno e tangente / Aplicando / 12.º Ano

Considere as funções reais de variável real

Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 128 Ex. 10

Enunciado

Considere as funções reais de variável real:

$\begin{array}{*{20}{c}}
{f(x) = x + 2\operatorname{sen} x}&{}&{g(x) = x + \cos x}&{}&{h(x) = x + \operatorname{tg} x}
\end{array}$

Determine, para cada uma das funções dadas, as abcissas de todos os pontos do gráfico em que a reta tangente é horizontal.

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Aplicando / 12.º Ano / Funções seno, co-seno e tangente

Caracterize a função derivada

Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 128 Ex. 9

Enunciado

Recorrendo às regras de derivação, caracterize a função derivada em cada um dos casos seguintes:

  1. $f(x) = {x^2}\operatorname{sen} x$
  2. $f(x) = 5x\cos \left( {3x} \right)$
  3. $f(x) = \frac{{1 – \cos x}}{{1 + \cos x}}$
  4. $f(x) = \frac{x}{{\operatorname{sen} x}}$
  5. $f(x) = \frac{{\operatorname{tg} x}}{{1 + {x^2}}}$
  6. $f(x) = \frac{{1 – \cos \left( {2x} \right)}}{{2x}}$
  7. $f(x) = {\left( {\cos x + \operatorname{sen} x} \right)^2}$
  8. $f(x) = \frac{1}{{\operatorname{sen} x\cos x}}$

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Aplicando / 12.º Ano / Funções seno, co-seno e tangente

A secção de um túnel

Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 128 Ex. 8

Enunciado

A secção de um túnel é um semicírculo com 1 hm de raio.

No interior do túnel há uma estrutura com a forma de um trapézio, como mostra a figura.

Qual é o valor de $\theta $ $\left( {0 < \theta  < \frac{\pi }{2}} \right)$ que torna máxima a área da secção da estrutura trapezoidal?

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Funções seno, co-seno e tangente / Aplicando / 12.º Ano

Uma rolha flutua num lago

Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 127 Ex. 7

Enunciado

Uma rolha flutua num lago, movendo-se para cima e para baixo.

A distância $d(t)$ do fundo do lago ao centro da rolha no instante $t \geqslant 0$ é dada por $$d(t) = \cos \left( {\pi t} \right) + 12$$ com $d(t)$ expresso em metros e $t$ em segundos.

  1. Em que instantes é a distância da rolha ao fundo do lago igual a 11,5 m?
  2. Entre que valores varia a distância da rolha ao fundo do lago?
  3. O
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12.º Ano / Funções seno, co-seno e tangente / Aplicando

De um função $f$

Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 127 Ex. 6

Enunciado

De um função $f$ de domínio $\left[ { – \pi ,\pi } \right]$, sabe-se que a sua derivada é:

$$f'(x) = 2x – 2\cos \left( {2x} \right)$$

  1. Calcule, analiticamente, o valor de $$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f(x + \pi ) – f(\pi )}}{x}$$
  2. Estude a função $f$ quanto às concavidades e determine analiticamente as abcissas dos pontos de inflexão.
  3. O gráfico de $f$ contém um ponto onde a reta tangente é paralela à reta de equação
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Aplicando / 12.º Ano / Funções seno, co-seno e tangente

Maré

Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 127 Ex. 5

Enunciado

Maré é, como se sabe, o movimento periódico de subida e descida (aproximadamente duas vezes por dia) do nível das águas do mar.

A expressão abaixo representa a variação $M$ da maré na baixa de Boston, desde as 0 às 24 horas de um determinado dia:

$$M(t) = 4,5\operatorname{sen} \left( {\frac{\pi }{6}t – \frac{{5\pi }}{3}} \right) + 7,5$$

com $t$ em horas e $M$ em metros.

  1.  Qual o valor (exato) de $M$ às 2 horas da manhã?
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Funções seno, co-seno e tangente / Aplicando / 12.º Ano

Determine as expressões designatórias das funções derivadas

Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 50 Ex. 23

Enunciado

  1. Determine as expressões designatórias das funções derivadas das funções:

    a) $f:x \to \operatorname{sen} (3x) + \cos x$

    b) $g:x \to {\cos ^2}(2x)$

    c) $h:\alpha  \to \frac{{1 – \cos (3\alpha )}}{\alpha }$

    d) $i:z \to \frac{{1 – \cos (2z)}}{{1 + \cos (2z)}}$

    e) $j:t \to \cos \left( {4 – 3t} \right)$

  2. Sabendo que as funções $f$ e $g$ são deriváveis e que $g(1) = 3$, $g'(1) = 2$ e $f'(3) = 5$, determine, nos pontos indicados, o valor
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Aplicando / 12.º Ano / Funções seno, co-seno e tangente

Calcule a derivada de cada uma das funções

Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 49 Ex. 22

Enunciado

Calcule a derivada de cada uma das funções reais de variável real:

  1. $f:x \to 3 + 2\cos x$
  2. $g:x \to \operatorname{sen} x + \cos x$
  3. $h:t \to \operatorname{sen} t.\cos t$
  4. $i:z \to 3z\cos z$
  5. $j:x \to 3x\operatorname{tg} x$

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Cálculo diferencial / Aplicando / 12.º Ano

Defina a derivada de cada uma das funções

Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 211 Ex. 38

Enunciado

Defina a derivada de cada uma das funções:

  1. $f:x \to {x^6} – 3{x^5} + 2{x^4} + x + 2$
  2. $f:x \to \frac{1}{3}{x^4} – \frac{1}{2}{x^3} – 3{x^2} + \frac{1}{5}$
  3. $f:x \to \pi {x^5} + \frac{1}{2}{x^2} + \sqrt 3 $
  4. $f:x \to \frac{2}{{3{x^2} – 3}}$
  5. $f:x \to \frac{{{x^2} + 1}}{{3{x^2} + x + 1}}$
  6. $f:x \to {\left( {2x + 1} \right)^3}$
  7. $f:x \to 1 – \sqrt x $
  8. $f:x \to  – \frac{1}{{3{x^2}}} + \frac{1}{x}$
  9. $f:x \to {\left( {\frac{{x +
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