Tag: função exponencial

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Considere as funções $f$ e $g$

Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 126 Ex. 4

Enunciado

Considere as funções $f$ e $g$ de domínio $\mathbb{R}$, definidas por:

$$f(x) = \frac{4}{3} + 3{e^{(1 – x)}}$$

$$g(x) = 2\operatorname{sen} x – \cos x$$

Utilize métodos exclusivamente analíticos para responder às duas primeiras questões.

  1. Estude a função $f$ quanto à existência de assíntotas paralelas aos eixos coordenados.
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Prendeu-se um carrinho à extremidade de uma mola

Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 126 Ex. 3

Enunciado

Prendeu-se um carrinho à extremidade C de uma mola horizontal. A outra extremidade da mola está presa num ponto fixo A.

A posição de equilíbrio ocorre quando a mola não está esticada nem comprimida.

Se puxarmos o carrinho e o soltarmos de uma posição um pouco afastada da posição de equilíbrio ele vai oscilar de um lado para o outro em torno da posição de equilíbrio devido à ação da força elástica da mola.…

Piza 0

Uma piza foi confecionada à temperatura de 230º C

Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 228 Ex. 91

Enunciado

Uma piza foi confecionada à temperatura de 230º C e retirada do forno às 17 horas para um compartimento que se encontra à temperatura de 20º C.

Admita que, passados 5 minutos, a piza se encontra à temperatura de 150º C.

Sabe-se que a temperatura $A$ (em ºC) de arrefecimento de um corpo varia com o tempo $t$ (em minutos), decorridos após ser retirado da fonte de calor, de acordo com uma lei do tipo $$A(t) = {t_0} + \left( {{A_0} – {t_0}} \right){e^{kt}},\,\,\,t \in \left[ {0, + \infty } \right[$$ em que ${t_0}$ representa a temperatura ambiente, ${{A_0}}$ a temperatura de aquecimento (em ºC) e $k$ é uma constante negativa.…

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Função logística

 

Evolução de uma população

Pierre Francois Verhulst (1804-1849)

Suponha-se uma população de uma determinada espécie que vive, se reproduz e morre numa determinada região, sem que haja emigração ou imigração de indivíduos dessa espécie.

Em cada instante, designe-se por $P(t)$ o número de indivíduos dessa população.

Um primeiro aspecto que convém notar é que se vai representar por uma função real de variável real um número de indivíduos que é necessariamente inteiro.…

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Número de habitantes de um certo país

Funções exponenciais e logarítmicas: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 210 Ex. 34

Enunciado

Admita que o número de habitantes de um certo país é dado por:

$$N(t)=\frac{100}{1+9\times {{e}^{-0,18\,t}}}$$

com $N$ expresso em milhões e sendo $t$ o número de anos contados desde o início do ano 2000.

  1. Determine o número de habitantes do referido país em 2000.
     
  2. Passado quanto tempo (em mês e ano) a população duplicou?
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Um depósito num banco

Funções exponenciais e logarítmicas: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 204 Ex. 13

Enunciado

Se o capital de ${{C}_{0}}$ euros for depositado num banco, numa conta a prazo à taxa anual $r$ e os juros forem capitalizados $n$ vezes ao ano, o capital $C$ acumulado, ao fim de $t$ anos, será dado, em euros, pela expressão

$$C(t)={{C}_{0}}{{\left( 1+\frac{r}{n} \right)}^{nt}}$$

Sabendo que se depositaram 1000 € à taxa anual de 4%, calcule o capital acumulado após 10 anos se os juros forem capitalizados:

  1. anualmente;
     
  2. trimestralmente;
     
  3. mensalmente;
     
  4. de hora a hora;
     
  5. de minuto a minuto;
     
  6. continuamente.
Considere as funções 0

Considere as funções

Funções exponenciais e logarítmicas: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 204 Ex. 12

Enunciado

Considere as funções $$\begin{array}{*{35}{l}}
   f:x\to \frac{4-\ln (2-x)}{3}  \\
   g:x\to 2+3{{e}^{2x-1}}  \\
   h:x\to {{\log }_{2}}(2x-2)-{{\log }_{2}}(x+2)-2  \\
\end{array}$$

  1. Indique o domínio de cada uma das funções.
     
  2. Caraterize as funções inversas de $f$ e $g$.
     
  3. Determine os zeros de cada uma das funções.
     
  4. Determine os valores de $x$ para os quais $h(x)\le -2$.
Duas funções reais de variável real 0

Duas funções reais de variável real

Funções exponenciais e logarítmicas: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 203 Ex. 10

Enunciado

Considere as funções reais de variável real $f$ e $g$ definidas por $$\begin{matrix}
   f(x)={{e}^{2x+1}} & {} & {} & g(x)=\ln \left( 3-3x \right)  \\
\end{matrix}$$

  1. Qual  o domínio de cada uma das funções?
     
  2. Defina a função $f\circ g$ e simplifique o mais possível a expressão que a representa.
A população de uma cidade 0

A população de uma cidade

Funções exponenciais e logarítmicas: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 202 Ex. 7

Enunciado

A população de uma cidade aumenta 5% por ano.

Supõe-se que no início de 1990 a populção era de 100.000 habitantes.

  1. Designe por $P(n)$ o número de habitantes no início do ano $1989+n$ (com $n\in \mathbb{N}$).
    Qual o valor de $P(1)$?
    Estabeleça uma relação entre $P(n)$ e $P(n+1)$ e, em seguida, deduza a espressão de $P(n)$ em função de $n$.
Caraterize a função inversa 0

Caraterize a função inversa

Funções exponenciais e logarítmicas: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 55 Ex. 28

Enunciado

Caraterize a função inversa de cada uma das funções definidas por:

  • $f:x\to 1+{{2}^{x}}$
     
  • $g:x\to {{\log }_{2}}(3-5x)$
     
  • $h:x\to 4-3{{e}^{-x+2}}$
     
  • $j:x\to 4-\ln (1-2x)$

Resolução >> Resolução

  •  $f:x\to 1+{{2}^{x}}$

Comecemos por determinar o domínio da função:

$$\begin{array}{*{35}{l}}
   {{D}_{f}}=D{{‘}_{{{f}^{-1}}}} & = & \left\{ x\in \mathbb{R}:x\in \mathbb{R} \right\}  \\
   {} & = & \mathbb{R}  \\
\end{array}$$

 Ora, $$\begin{array}{*{35}{l}}
   y=1+{{2}^{x}} & \Leftrightarrow  & {{2}^{x}}=y-1  \\
   {} & \Leftrightarrow  & x={{\log }_{2}}(y-1)  \\
\end{array}$$

Logo, o domínio da função inversa é: \[\begin{array}{*{35}{l}}
   {{D}_{{{f}^{-1}}}}=D{{‘}_{f}} & = & \left\{ x\in \mathbb{R}:x-1>0 \right\}  \\
   {} & = & \left] 1,+\infty  \right[  \\
\end{array}\]

Portanto, a função inversa é caraterizada por: \[\begin{array}{*{35}{l}}
   {{f}^{-1}}: & \left] 1,+\infty  \right[\to \mathbb{R}  \\
   {} & x\to {{\log }_{2}}(x-1)  \\
\end{array}\]

 

 

  • $g:x\to {{\log }_{2}}(3-5x)$

Comecemos por determinar o domínio da função:

\[\begin{array}{*{35}{l}}
   {{D}_{g}}=D{{‘}_{{{g}^{-1}}}} & = & \left\{ x\in \mathbb{R}:3-5x>0 \right\}  \\
   {} & = & \left\{ x\in \mathbb{R}:x<\frac{3}{5} \right\}  \\
   {} & = & \left] -\infty ,\frac{3}{5} \right[  \\
\end{array}\]

 Ora, \[\begin{array}{*{35}{l}}
   y={{\log }_{2}}(3-5x) & \Leftrightarrow  & 3-5x={{2}^{y}}  \\
   {} & \Leftrightarrow  & x=\frac{3-{{2}^{y}}}{5}  \\
\end{array}\]

Logo, o domínio da função inversa é: \[\begin{array}{*{35}{l}}
   {{D}_{{{g}^{-1}}}}=D{{‘}_{g}} & = & \left\{ x\in \mathbb{R}:x\in \mathbb{R} \right\}  \\
   {} & = & \mathbb{R}  \\
\end{array}\]

Portanto, a função inversa é caraterizada por: \[\begin{array}{*{35}{l}}
   {{g}^{-1}}: & \mathbb{R}\to \left] -\infty ,\frac{3}{5} \right[  \\
   {} & x\to \frac{3-{{2}^{x}}}{5}  \\
\end{array}\]

 

 

  • $h:x\to 4-3{{e}^{-x+2}}$

Comecemos por determinar o domínio da função:

\[\begin{array}{*{35}{l}}
   {{D}_{h}}=D{{‘}_{{{h}^{-1}}}} & = & \left\{ x\in \mathbb{R}:(-x+2)\in \mathbb{R} \right\}  \\
   {} & = & \mathbb{R}  \\
\end{array}\]

 Ora, \[\begin{array}{*{35}{l}}
   y=4-3{{e}^{-x+2}} & \Leftrightarrow  & {{e}^{-x+2}}=\frac{4-y}{3}  \\
   {} & \Leftrightarrow  & -x+2=\ln \left( \frac{4-y}{3} \right)  \\
   {} & \Leftrightarrow  & x=2-\ln \left( \frac{4-y}{3} \right)  \\
\end{array}\]

Logo, o domínio da função inversa é: \[\begin{array}{*{35}{l}}
   {{D}_{{{h}^{-1}}}}=D{{‘}_{h}} & = & \left\{ x\in \mathbb{R}:\frac{4-x}{3}>0 \right\}  \\
   {} & = & \left] -\infty ,4 \right[  \\
\end{array}\]

Portanto, a função inversa é caraterizada por: \[\begin{array}{*{35}{l}}
   {{h}^{-1}}: & \left] -\infty ,4 \right[\to \mathbb{R}  \\
   {} & x\to 2-\ln \left( \frac{4-x}{3} \right)  \\
\end{array}\]

 

 

  • $j:x\to 4-\ln (1-2x)$

Comecemos por determinar o domínio da função:

\[\begin{array}{*{35}{l}}
   {{D}_{j}}=D{{‘}_{{{j}^{-1}}}} & = & \left\{ x\in \mathbb{R}:1-2x>0 \right\}  \\
   {} & = & \left\{ x\in \mathbb{R}:x<\frac{1}{2} \right\}  \\
   {} & = & \left] -\infty ,\frac{1}{2} \right[  \\
\end{array}\]

 Ora, \[\begin{array}{*{35}{l}}
   y=4-\ln (1-2x) & \Leftrightarrow  & \ln (1-2x)=4-y  \\
   {} & \Leftrightarrow  & 1-2x={{e}^{4-y}}  \\
   {} & \Leftrightarrow  & x=\frac{1-{{e}^{4-y}}}{2}  \\
\end{array}\]

Logo, o domínio da função inversa é: \[\begin{array}{*{35}{l}}
   {{D}_{{{j}^{-1}}}}=D{{‘}_{j}} & = & \left\{ x\in \mathbb{R}:(4-x)\in \mathbb{R} \right\}  \\
   {} & = & \mathbb{R}  \\
\end{array}\]

Portanto, a função inversa é caraterizada por: \[\begin{array}{*{35}{l}}
   {{j}^{-1}}: & \mathbb{R}\to \left] -\infty ,\frac{1}{2} \right[  \\
   {} & x\to \frac{1-{{e}^{4-x}}}{2}  \\
\end{array}\]

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