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Resolva, em $\mathbb{R}$, as seguintes inequações 0

Resolva, em $\mathbb{R}$, as seguintes inequações

Funções racionais: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 49 Ex. 6

Enunciado

Resolva, em $\mathbb{R}$, as seguintes inequações:

  1. \[\frac{{3x + 2}}{{x + 3}} >  – \frac{2}{3}\]
     
  2. \[\frac{{x + 1}}{{x – 1}} – \frac{{x – 1}}{{x + 1}} > 0\]
     
  3. \[\frac{{a – 2}}{a} < \frac{{a – 4}}{{a – 6}}\]

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  1.  
    \[\begin{array}{*{20}{l}}
      {\frac{{3x + 2}}{{\mathop {x + 3}\limits_{\left( 3 \right)} }} >  – \frac{2}{{\mathop 3\limits_{\left( {x + 3} \right)} }}}& \Leftrightarrow &{\frac{{9x + 6 + 2x + 6}}{{3\left( {x + 3} \right)}} > 0} \\
      {}& \Leftrightarrow &{\frac{{11x + 12}}{{3\left( {x + 3} \right)}} > 0} \\
      {}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{l}}
      {\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
      {11x + 2 > 0} \\
      {3\left( {x + 3} \right) > 0}
    \end{array}} \right.}& \vee &{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
      {11x + 2 < 0} \\
      {3\left( {x + 3} \right) < 0}
    \end{array}} \right.}
    \end{array}} \\
      {}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{l}}
      {\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
      {x >  – \frac{2}{{11}}} \\
      {x >  – 3}
    \end{array}} \right.}& \vee &{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
      {x <  – \frac{2}{{11}}} \\
      {x <  – 3}
    \end{array}} \right.}
    \end{array}} \\
      {}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{l}}
      {x >  – \frac{2}{{11}}}& \vee &{x <  – 3}
    \end{array}} \\
      {}& \Leftrightarrow &{x \in \left] { – \infty , – 3} \right[ \cup \left] { – \frac{2}{{11}}, + \infty } \right[}
    \end{array}\]
     
  2.  
    \[\begin{array}{*{20}{l}}
      {\frac{{x + 1}}{{\mathop {x – 1}\limits_{\left( {x + 1} \right)} }} – \frac{{x – 1}}{{\mathop {x + 1}\limits_{\left( {x – 1} \right)} }} > 0}& \Leftrightarrow &{\frac{{{x^2} + 2x + 1 – {x^2} + 1}}{{\left( {x – 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} > 0} \\
      {}& \Leftrightarrow &{\frac{{2x}}{{\left( {x – 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} > 0} \\
      {}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{l}}
      {\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
      {2x > 0} \\
      {\left( {x – 1} \right)\left( {x + 1} \right) > 0}
    \end{array}} \right.}& \vee &{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
      {2x < 0} \\
      {\left( {x – 1} \right)\left( {x + 1} \right) < 0}
    \end{array}} \right.}
    \end{array}} \\
      {}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{l}}
      {\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
      {x > 0} \\
      {x \in \left] { – \infty , – 1} \right[ \cup \left] {1, + \infty } \right[}
    \end{array}} \right.}& \vee &{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
      {x < 0} \\
      {x \in \left] { – 1,1} \right[}
    \end{array}} \right.}
    \end{array}} \\
      {}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{l}}
      {x \in \left] {1, + \infty } \right[}& \vee &{x \in \left] { – 1,0} \right[}
    \end{array}} \\
      {}& \Leftrightarrow &{x \in \left] { – 1,0} \right[ \cup \left] {1, + \infty } \right[}
    \end{array}\]
     

    Em alternativa, podemos usar um quadro de sinal (a partir da expressão obtida na 2.ª equivalência acima):

     

    $x$ ${ – \infty }$ $-1$   $0$   $1$ ${ + \infty }$
    $2x$ $ – $ $ – $ $ – $ $0$ $ + $ $ + $ $ + $
    ${\left( {x – 1} \right)\left( {x + 1} \right)}$ $ + $ $0$  $ – $ $ – $  $ – $ $0$ $ + $
    ${\frac{{2x}}{{\left( {x – 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}}$ $ – $ n.d.
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Mais assíntotas

Funções racionais: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 33 Ex. 8

Enunciado

Escreva as equações das assíntotas dos gráficos das funções racionais seguintes:
\[\begin{array}{*{20}{l}}
  {f\left( x \right) = \frac{{ – 2}}{{x – 2}}}&{}&{g\left( x \right) = \frac{{x – 7}}{{x + 2}}}&{}&{h\left( x \right) = \frac{{3x – 3}}{{2x + 4}}}
\end{array}\]

Resolução >> Resolução

\[\begin{array}{*{20}{l}}
  {f\left( x \right) = \frac{{ – 2}}{{x – 2}}}&{}&{g\left( x \right) = \frac{{x – 7}}{{x + 2}}}&{}&{h\left( x \right) = \frac{{3x – 3}}{{2x + 4}}}
\end{array}\]

 


Função $f$

 Ora, \[f\left( x \right) = \frac{{ – 2}}{{x – 2}} = 0 – \frac{2}{{x – 2}}\]

Assíntota vertical:

\[\begin{array}{*{20}{c}}
  {\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} f\left( x \right) =  + \infty }&{\text{e}}&{\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) =  – \infty }
\end{array}\]

Logo, a reta de equação $x = 2$ é assíntota vertical bilateral do gráfico de $f$.…

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Equações das assíntotas

Funções racionais: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 33 Ex. 7

Enunciado

  1. Indique, por observação do gráfico, as equações das assíntotas de cada uma das seguintes funções:
     
     
  2. Faça corresponder a cada um dos gráficos das alíneas anteriores uma das seguintes funções:
    \[\begin{array}{*{20}{l}}
      {f\left( x \right) = \frac{{ – x}}{{x + 2}}}&{}&{g\left( x \right) = \frac{{3x – 5}}{{x – 2}}}&{}&{h\left( x \right) = \frac{{x – 2}}{x}}
    \end{array}\]

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  1.     
    Gráfico a):
    Assíntota vertical: $x = 0$;
    Assíntota horizontal: $y = 1$.

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A intensidade do som

Função potência: Infinito 11 A - Parte 2 Pág. 209 Ex. 98

Enunciado

A intensidade do som pode ser medida em Watt por metro quadrado, medida da pressão que o som exerce sobre o nosso ouvido. A intensidade do som emitido por uma aparelhagem sonora é função da distância a que o ouvinte se encontra das colunas de som. Na tabela seguinte estão registados os resultados de algumas medições efectuadas a diferentes distâncias das colunas de uma certa aparelhagem de som:

 

  1. Descreva o modelo global que relaciona a distância D com a intensidade I, a partir dos dados conhecidos.
Uma parábola e uma hipérbole 0

Uma parábola e uma hipérbole

Funções racionais: Infinito 11 A - Parte 2 Pág. 187 Ex. 20

Enunciado

Considere, num referencial o.n. do plano, os pontos: $A(1,0)$, $B(-1,-1)$ e $C(-3,2)$.

  1. Determine os números reais a, b e c de modo que a parábola P, de equação $y=a{{x}^{2}}+bx+c$, passe pelos pontos A, B e C.
     
  2. Considere a hipérbole H de equação $y=\frac{1}{x}$.
     
    a) Verifique que H passa por B.
Simplifique as fracções 0

Simplifique as fracções

Funções racionais: Infinito 11 A - Parte 2 Pág. 187 Ex. 19

Enunciado

Sempre que for possível, simplifique as fracções e indique o domínio da função.

Aprecie a correcção dos resultados recorrendo à calculadora gráfica.

  1. $f(x)=\frac{2{{x}^{3}}-8{{x}^{2}}+8x}{{{x}^{3}}-4x}$;
     
  2. $f(x)=\frac{3{{x}^{2}}+5x-8}{-{{x}^{2}}-x+2}$;
     
  3. $f(x)=\frac{4{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+4x-3}{4x-3}$;
     
  4. $f(x)=\frac{{{x}^{2}}+x-6}{{{x}^{3}}-2{{x}^{2}}-x+2}$;
     
  5. $f(x)=\frac{{{x}^{2}}+2x-8}{{{x}^{3}}-8}$.

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  1. ${{D}_{f}}=\left\{ x\in \mathbb{R}:{{x}^{3}}-4x\ne 0 \right\}=\left\{ x\in \mathbb{R}:x({{x}^{2}}-4)\ne 0 \right\}=\mathbb{R}\backslash \left\{ -2,0,2 \right\}$. 
     
    \[\frac{2{{x}^{3}}-8{{x}^{2}}+8x}{{{x}^{3}}-4x}=\frac{2x({{x}^{2}}-4x+4)}{x({{x}^{2}}-4)}=\frac{2x{{(x-2)}^{2}}}{x(x+2)(x-2)}=\frac{2(x-2)}{x+2}=\frac{2x-4}{x+2}\]
    Simplificação válida em $\mathbb{R}\backslash \left\{ -2,0,2 \right\}$.
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Um aquário aberto em cima

Funções racionais: Infinito 11 A - Parte 2 Pág. 187 Ex. 18

Enunciado

Um aquário aberto em cima, de forma paralelepipédica, com 45 cm de altura, deve ter o volume de 170 litros.

Sejam x e y o comprimento e a largura da base, respectivamente.

  1. Exprima y como função de x.
     
  2. Exprima, em função de x, a área total do vidro necessário.
Duas funções racionais 0

Duas funções racionais

Funções racionais: Infinito 11 A - Parte 2 Pág. 187 Ex. 17

Enunciado

Sejam

\[\begin{matrix}
   f:x\to \frac{2x+1}{{{x}^{2}}-1} & e & g:x\to \frac{2}{x-1}  \\
\end{matrix}\]

  1. Mostre que $f+g$ e $f-g$ são funções racionais e determine o seu domínio.
     
  2. Resolva gráfica e analiticamente as condições:a) $f(x)\ge 1$

    b) $g(x)\ge x$

    c) $f(x)<-\frac{1}{2}$

    d) $f(x)\ge g(x)$
     

  3. Determine gráfica e analiticamente as coordenadas dos pontos do gráfico de g que têm abcissa igual à ordenada.
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Para que um remédio produza o efeito desejado

Funções racionais: Infinito 11 A - Parte 2 Pág. 187 Ex. 16

Enunciado

Para que um remédio produza o efeito desejado, a sua concentração na corrente sanguínea deve estar acima de um certo valor, o nível terapêutico mínimo.

Suponhamos que a concentração c de um remédio, t horas após ser ingerido, é dada, em mg/l, por: \[c(t)=\frac{20t}{{{t}^{2}}+4}\]

Se o nível terapêutico mínimo é de 4 mg/l, determine qunado este nível é excedido.…

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Nível de álcool no sangue

Funções racionais: Infinito 11 A - Parte 2 Pág. 185 Ex. 12

Enunciado

Pretende-se esboçar o gráfico de N, que dá o “Nivel de álcool no sangue”, em função do peso p de uma pessoa, depois de ela ter ingerido um litro de cerveja.

Sabe-se que:

  • num litro de cerveja existem 40 g de álcool;
  • N(p) é a razão entre o peso (em gramas) de álcool existente no litro de cerveja e o volume (em litros) do fluido orgânico da pessoa;
  • o volume de líquido orgânico de cada pessoa é numericamente igual a 70% do seu peso total (em quilogramas).