Tag: inequação

Determine o conjunto solução de cada uma das condições 0

Determine o conjunto solução de cada uma das condições

Funções racionais: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 52 Ex. 12

Enunciado

Considere a função $f$ definida por: \[f\left( x \right) = \frac{x}{{{x^2} – 3x + 2}}\]

Determine o conjunto solução de cada uma das inequações:

  1. $f\left( x \right) > 0$
     
  2. $f\left( {x – 2} \right) > 0$

Resolução >> Resolução

  1.  
    \[\begin{array}{*{20}{l}}
      {f\left( x \right) > 0}& \Leftrightarrow &{\frac{x}{{{x^2} – 3x + 2}} > 0} \\
      {}& \Leftrightarrow &{\frac{x}{{\left( {x – 1} \right)\left( {x – 2} \right)}} > 0} \\
      {}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{l}}
      {\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
      {x < 0} \\
      {\left( {x – 1} \right)\left( {x – 2} \right) < 0}
    \end{array}} \right.}& \vee &{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
      {x > 0} \\
      {\left( {x – 1} \right)\left( {x – 2} \right) > 0}
    \end{array}} \right.}
    \end{array}} \\
      {}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{l}}
      {\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
      {x < 0} \\
      {x \in \left] {1,2} \right[}
    \end{array}} \right.}& \vee &{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
      {x > 0} \\
      {x \in \left] { – \infty ,1} \right[ \cup \left] {2, + \infty } \right[}
    \end{array}} \right.}
    \end{array}} \\
      {}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{l}}
      {x \in \emptyset }& \vee &{x \in \left] {0,1} \right[ \cup \left] {2, + \infty } \right[}
    \end{array}} \\
      {}& \Leftrightarrow &{x \in \left] {0,1} \right[ \cup \left] {2, + \infty } \right[}
    \end{array}\]
     
  2. Seja $g\left( x \right) = f\left( {x – 2} \right)$.
Resolva, em $\mathbb{R}$, as seguintes inequações 0

Resolva, em $\mathbb{R}$, as seguintes inequações

Funções racionais: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 50 Ex. 3

Enunciado

Resolva, em $\mathbb{R}$, as seguintes inequações:

  1. $\frac{{x + 1}}{{x – 2}} > 0$
     
  2. $\frac{{ – 5}}{{1 – 2x}} < 0$
     
  3. $\frac{2}{{{x^2} + 2x}} – \frac{{x + 1}}{{x + 2}} < 0$

Resolução >> Resolução

  1.  
    \[\begin{array}{*{20}{l}}
      {\frac{{x + 1}}{{x – 2}} > 0}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{l}}
      {\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
      {x + 1 < 0} \\
      {x – 2 < 0}
    \end{array}} \right.}& \vee &{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
      {x + 1 > 0} \\
      {x – 2 > 0}
    \end{array}} \right.}
    \end{array}} \\
      {}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{l}}
      {\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
      {x <  – 1} \\
      {x < 2}
    \end{array}} \right.}& \vee &{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
      {x >  – 1} \\
      {x > 2}
    \end{array}} \right.}
    \end{array}} \\
      {}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{l}}
      {x <  – 1}& \vee &{x > 2}
    \end{array}} \\
      {}& \Leftrightarrow &{x \in \left] { – \infty , – 1} \right[ \cup \left] {2, + \infty } \right[}
    \end{array}\]
     
  2.  
    \[\begin{array}{*{20}{l}}
      {\frac{{ – 5}}{{1 – 2x}} < 0}& \Leftrightarrow &{1 – 2x > 0} \\
      {}& \Leftrightarrow &{x < \frac{1}{2}} \\
      {}& \Leftrightarrow &{x \in \left] { – \infty ,\frac{1}{2}} \right[}
    \end{array}\]
     
  3.  
    \[\begin{array}{*{20}{l}}
      {\frac{2}{{{x^2} + 2x}} – \frac{{x + 1}}{{\mathop {x + 2}\limits_{\left( x \right)} }} < 0}& \Leftrightarrow &{\frac{{2 – {x^2} – x}}{{x\left( {x + 2} \right)}} < 0} \\
      {}& \Leftrightarrow &{\frac{{{x^2} + x – 2}}{{x\left( {x + 2} \right)}} > 0} \\
      {}& \Leftrightarrow &{\frac{{\left( {x – 1} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{x\left( {x + 2} \right)}} > 0} \\
      {}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{l}}
      {\frac{{\left( {x – 1} \right)}}{x} > 0}& \wedge &{x \ne  – 2}
    \end{array}} \\
      {}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{l}}
      {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
      {\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
      {x – 1 < 0} \\
      {x < 0}
    \end{array}} \right.}& \vee &{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
      {x – 1 > 0} \\
      {x > 0}
    \end{array}} \right.}
    \end{array}} \right)}& \wedge &{x \ne  – 2}
    \end{array}} \\
      {}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{l}}
      {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
      {\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
      {x < 1} \\
      {x < 0}
    \end{array}} \right.}& \vee &{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
      {x > 1} \\
      {x > 0}
    \end{array}} \right.}
    \end{array}} \right)}& \wedge &{x \ne  – 2}
    \end{array}} \\
      {}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{l}}
      {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
      {x < 0}& \vee &{x > 1}
    \end{array}} \right)}& \wedge &{x \ne  – 2}
    \end{array}} \\
      {}& \Leftrightarrow &{x \in \left] { – \infty , – 2} \right[ \cup \left] { – 2,0} \right[ \cup \left] {1, + \infty } \right[}
    \end{array}\]
<< Enunciado
Considere a função $g$ 0

Considere a função $g$

Funções racionais: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 49 Ex. 10

Enunciado

Considere a função $g$, definida por: \[g\left( x \right) = 5 + \frac{2}{{x – 3}}\]

  1. Esboce o gráfico de $g$.
     
  2. Indique como se obtém, por meio de uma série de transformações geométricas, o gráfico da função $g$, a partir do gráfico da função $f\left( x \right) = \frac{1}{x}$.
0

Um ponto $B$

Funções racionais: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 49 Ex. 9

Enunciado

Seja $B$ o ponto de coordenadas $\left( {1,2} \right)$.
A cada ponto $C\left( {x,0} \right)$ do eixo $Ox$, com $x > 1$, faça corresponder um ponto $D\left( {0,y} \right)$ do eixo $Oy$, de modo que $B$, $C$ e $D$ sejam colineares.

  1. Exprima $y$ em função de $x$.
     
  2. Mostre que a área $A\left( x \right)$ do triângulo $\left[ {ODC} \right]$ é dada por: \[A\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{{x – 1}},\,x > 1\]
     
  3. Represente o gráfico de $A$ e indique o maior intervalo onde $A$ é crescente e o maior intervalo onde é decrescente.
Sabendo que a razão 0

Sabendo que a razão

Funções racionais: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 49 Ex. 8

Enunciado

Sabendo que a razão \[\frac{{x + 2}}{{x – 5}}\] é um valor maior do que $30$% de $x$, determine o valor de $x$.

Resolução >> Resolução

\[\begin{array}{*{20}{l}}
  {\frac{{x + 2}}{{x – 5}} > \frac{3}{{10}}x}& \Leftrightarrow &{\frac{{10x + 20 – 3{x^2} + 15x}}{{10\left( {x – 5} \right)}} > 0} \\
  {}& \Leftrightarrow &{\frac{{ – 3{x^2} + 25x + 20}}{{10\left( {x – 5} \right)}} > 0} \\
  {}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{l}}
  {\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
  { – 3{x^2} + 25x + 20 > 0} \\
  {10\left( {x – 5} \right) > 0}
\end{array}} \right.}& \vee &{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
  { – 3{x^2} + 25x + 20 < 0} \\
  {10\left( {x – 5} \right) < 0}
\end{array}} \right.}
\end{array}} \\
  {}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{l}}
  {\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
  {x \in \left] {\frac{{ – 25 + \sqrt {865} }}{{ – 6}},\frac{{ – 25 – \sqrt {865} }}{{ – 6}}} \right[} \\
  {x > 5}
\end{array}} \right.}& \vee &{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
  {x \in \left] { – \infty ,\frac{{ – 25 + \sqrt {865} }}{{ – 6}}} \right[ \cup \left] {\frac{{ – 25 – \sqrt {865} }}{{ – 6}}, + \infty } \right[} \\
  {x < 5}
\end{array}} \right.}
\end{array}} \\
  {}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{l}}
  {\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
  {x \in \left] {\frac{{25 – \sqrt {865} }}{6},\frac{{25 + \sqrt {865} }}{6}} \right[} \\
  {x > 5}
\end{array}} \right.}& \vee &{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
  {x \in \left] { – \infty ,\frac{{25 – \sqrt {865} }}{6}} \right[ \cup \left] {\frac{{25 + \sqrt {865} }}{6}, + \infty } \right[} \\
  {x < 5}
\end{array}} \right.}
\end{array}} \\
  {}& \Leftrightarrow &{x \in \left] { – \infty ,\frac{{25 – \sqrt {865} }}{6}} \right[ \cup \left] {5,\frac{{25 + \sqrt {865} }}{6}} \right[}
\end{array}\]

<< Enunciado
Verifique se $\left( {6,3} \right)$ é solução da inequação 0

Verifique se $\left( {6,3} \right)$ é solução da inequação

Funções racionais: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 49 Ex. 7

Enunciado

Verifique se $\left( {6,3} \right)$ é solução da inequação \[y \leqslant \frac{{2x + 3}}{x}\]

Resolução >> Resolução

Substituindo na inequação \[y \leqslant \frac{{2x + 3}}{x}\] $x$ por $6$ e $y$ por $3$, vem:

\[3 \leqslant \frac{{2 \times 6 + 3}}{6} \Leftrightarrow 3 \leqslant \frac{{15}}{6} \Leftrightarrow 3 \leqslant \frac{5}{2}\]

Como a proposição obtida é falsa, então $\left( {6,3} \right)$ não é solução da inequação dada.…

Resolva, em $\mathbb{R}$, as seguintes inequações 0

Resolva, em $\mathbb{R}$, as seguintes inequações

Funções racionais: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 49 Ex. 6

Enunciado

Resolva, em $\mathbb{R}$, as seguintes inequações:

  1. \[\frac{{3x + 2}}{{x + 3}} >  – \frac{2}{3}\]
     
  2. \[\frac{{x + 1}}{{x – 1}} – \frac{{x – 1}}{{x + 1}} > 0\]
     
  3. \[\frac{{a – 2}}{a} < \frac{{a – 4}}{{a – 6}}\]

Resolução >> Resolução

  1.  
    \[\begin{array}{*{20}{l}}
      {\frac{{3x + 2}}{{\mathop {x + 3}\limits_{\left( 3 \right)} }} >  – \frac{2}{{\mathop 3\limits_{\left( {x + 3} \right)} }}}& \Leftrightarrow &{\frac{{9x + 6 + 2x + 6}}{{3\left( {x + 3} \right)}} > 0} \\
      {}& \Leftrightarrow &{\frac{{11x + 12}}{{3\left( {x + 3} \right)}} > 0} \\
      {}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{l}}
      {\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
      {11x + 2 > 0} \\
      {3\left( {x + 3} \right) > 0}
    \end{array}} \right.}& \vee &{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
      {11x + 2 < 0} \\
      {3\left( {x + 3} \right) < 0}
    \end{array}} \right.}
    \end{array}} \\
      {}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{l}}
      {\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
      {x >  – \frac{2}{{11}}} \\
      {x >  – 3}
    \end{array}} \right.}& \vee &{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
      {x <  – \frac{2}{{11}}} \\
      {x <  – 3}
    \end{array}} \right.}
    \end{array}} \\
      {}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{l}}
      {x >  – \frac{2}{{11}}}& \vee &{x <  – 3}
    \end{array}} \\
      {}& \Leftrightarrow &{x \in \left] { – \infty , – 3} \right[ \cup \left] { – \frac{2}{{11}}, + \infty } \right[}
    \end{array}\]
     
  2.  
    \[\begin{array}{*{20}{l}}
      {\frac{{x + 1}}{{\mathop {x – 1}\limits_{\left( {x + 1} \right)} }} – \frac{{x – 1}}{{\mathop {x + 1}\limits_{\left( {x – 1} \right)} }} > 0}& \Leftrightarrow &{\frac{{{x^2} + 2x + 1 – {x^2} + 1}}{{\left( {x – 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} > 0} \\
      {}& \Leftrightarrow &{\frac{{2x}}{{\left( {x – 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} > 0} \\
      {}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{l}}
      {\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
      {2x > 0} \\
      {\left( {x – 1} \right)\left( {x + 1} \right) > 0}
    \end{array}} \right.}& \vee &{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
      {2x < 0} \\
      {\left( {x – 1} \right)\left( {x + 1} \right) < 0}
    \end{array}} \right.}
    \end{array}} \\
      {}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{l}}
      {\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
      {x > 0} \\
      {x \in \left] { – \infty , – 1} \right[ \cup \left] {1, + \infty } \right[}
    \end{array}} \right.}& \vee &{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
      {x < 0} \\
      {x \in \left] { – 1,1} \right[}
    \end{array}} \right.}
    \end{array}} \\
      {}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{l}}
      {x \in \left] {1, + \infty } \right[}& \vee &{x \in \left] { – 1,0} \right[}
    \end{array}} \\
      {}& \Leftrightarrow &{x \in \left] { – 1,0} \right[ \cup \left] {1, + \infty } \right[}
    \end{array}\]
     

    Em alternativa, podemos usar um quadro de sinal (a partir da expressão obtida na 2.ª equivalência acima):

     

    $x$ ${ – \infty }$ $-1$   $0$   $1$ ${ + \infty }$
    $2x$ $ – $ $ – $ $ – $ $0$ $ + $ $ + $ $ + $
    ${\left( {x – 1} \right)\left( {x + 1} \right)}$ $ + $ $0$  $ – $ $ – $  $ – $ $0$ $ + $
    ${\frac{{2x}}{{\left( {x – 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}}$ $ – $ n.d.
Resolva as inequações 0

Resolva as inequações

Funções racionais: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 39 Ex. 13

Enunciado

Resolva, em $\mathbb{R}$, as equações:

  1. $5 + \frac{1}{x} > \frac{{16}}{x}$
     
  2. $1 + \frac{5}{{x – 1}} \leqslant \frac{7}{6}$
     
  3. $\frac{{{x^2} – 16}}{{{x^2} – 4x + 5}} \geqslant 0$

Resolução >> Resolução

  1.  
    \[\begin{array}{*{20}{l}}
      {5 + \frac{1}{x} > \frac{{16}}{x}}& \Leftrightarrow &{\frac{{5x + 1 – 16}}{x} > 0} \\
      {}& \Leftrightarrow &{\frac{{5x – 15}}{x} > 0} \\
      {}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{c}}
      {\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
      {5x – 15 < 0} \\
      {x < 0}
    \end{array}} \right.}& \vee &{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
      {5x – 15 > 0} \\
      {x > 0}
    \end{array}} \right.}
    \end{array}} \\
      {}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{c}}
      {\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
      {x < 3} \\
      {x < 0}
    \end{array}} \right.}& \vee &{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
      {x > 3} \\
      {x > 0}
    \end{array}} \right.}
    \end{array}} \\
      {}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{c}}
      {x < 0}& \vee &{x > 3}
    \end{array}} \\
      {}& \Leftrightarrow &{x \in \left] { – \infty ,0} \right[ \cup \left] {3, + \infty } \right[}
    \end{array}\]
     
    Em alternativa, podemos usar um quadro de sinal (a partir da expressão obtida na 2.ª equivalência acima):
     
     
    $x$ ${ – \infty }$ $0$   $3$ ${ + \infty }$
    ${5x – 15}$ $ – $ $ – $ $ – $  $0$ $ + $
    $x$ $ – $ $0$ $ + $ $ + $ $ + $
    ${\frac{{5x – 15}}{x}}$ $ + $ n.d.
Determina a soma 0

Determina a soma

Os números reais: Matematicamente Falando 9 - Pág. 113 Ex.8

Enunciado

Determina a soma dos números inteiros maiores que $-6$ que satisfazem a inequação:$$2-\frac{x-2}{4}>3+\frac{x-3}{3}$$

Resolução >> Resolução

Começando por resolver a inequação, temos:

$$\begin{array}{*{35}{l}}
   \underset{(12)}{\mathop{2}}\,-\frac{x-2}{\underset{(3)}{\mathop{4}}\,}>\underset{(12)}{\mathop{3}}\,+\frac{x-3}{\underset{(4)}{\mathop{3}}\,} & \Leftrightarrow  & 24-3x+6>36+4x-12  \\
   {} & \Leftrightarrow  & -7x>-6  \\
   {} & \Leftrightarrow  & x<\frac{6}{7}  \\
\end{array}$$

\[S=\left] -\infty ,\frac{6}{7} \right[\]

Os números inteiros maiores que $-6$ que satisfazem a inequação são: $-5$, $-4$, $-3$, $-2$, $-1$ e $0$.…

Considera as seguintes inequações 0

Considera as seguintes inequações

Os números reais: Matematicamente Falando 9 - Pág. 113 Ex.7

Enunciado

Considera as seguintes inequações:

$$\begin{matrix}
   6x-2<0 & {} & -4x\ge -2 & {} & -3x+2>1  \\
\end{matrix}$$

  1. Resolve cada uma delas, apresentando a solução na forma de intervalo.
     
  2. Os números $\frac{1}{3}$ e $-\frac{1}{3}$ são soluções comuns às três inequações? Justiifca.

Resolução >> Resolução

  1. 1.ª inequação:
    $$\begin{array}{*{35}{l}}
       6x-2<0 & \Leftrightarrow  & 6x<2  \\
       {} & \Leftrightarrow  & x<\frac{1}{3}  \\
    \end{array}$$
    \[{{S}_{1}}=\left] -\infty ,\frac{1}{3} \right[\]2.ª inequação:
    $$\begin{array}{*{35}{l}}
       -4x\ge -2 & \Leftrightarrow  & x\le \frac{1}{2}  \\
    \end{array}$$
    \[{{S}_{2}}=\left] -\infty ,\frac{1}{2} \right]\]3.ª inequação:
    $$\begin{array}{*{35}{l}}
       -3x+2>1 & \Leftrightarrow  & -3x>-1  \\
       {} & \Leftrightarrow  & x<\frac{1}{3}  \\
    \end{array}$$
    \[{{S}_{3}}=\left] -\infty ,\frac{1}{3} \right[\]
  2. Os números $\frac{1}{3}$ e $-\frac{1}{3}$ não são soluções comuns às três inequações, pois, ainda que $-\frac{1}{3}$ seja solução das três inequações, $\frac{1}{3}$ apenas é solução da 2.ª inequação.