Tag: lei do anulamento do produto

Resolve as equações 0

Resolve as equações

Equações do 2.º grau: Matematicamente Falando 9 - Pág. 68 Ex. 3

Enunciado

Resolve as equações:

  1. ${\sqrt 2 {x^2} + 11x = 0}$
     
  2. ${x^2} + 9 = 0$
     
  3. $5a + {\left( {a + 2} \right)^2} = 3a\left( {a + 2} \right) + a$
     
  4. $4,8{x^2} – 8,4x + 2,4 = 0$
     
  5. $\frac{{a – 1}}{2} – \frac{{a\left( {3 – a} \right)}}{3} = a + \frac{1}{3}$

Resolução >> Resolução

  1.  
    $$\begin{array}{*{20}{l}}
      {\sqrt 2 {x^2} + 11x = 0}& \Leftrightarrow &{x\left( {\sqrt 2 x + 11} \right) = 0} \\
      {}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{l}}
      {x = 0}& \vee &{\sqrt 2 x + 11 = 0}
    \end{array}} \\
      {}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{l}}
      {x = 0}& \vee &{x =  – \frac{{11}}{{\sqrt 2 }}}
    \end{array}}
    \end{array}$$
     
  2.  
    $$\begin{array}{*{20}{l}}
      {{x^2} + 9 = 0}& \Leftrightarrow &{\overbrace {{x^2} =  – 9}^{{\text{Equaão impossível}}}} \\
      {}& \Leftrightarrow &{x \in \emptyset }
    \end{array}$$
     
  3.  
    $$\begin{array}{*{20}{l}}
      {5a + {{\left( {a + 2} \right)}^2} = 3a\left( {a + 2} \right) + a}& \Leftrightarrow &{5a + {a^2} + 4a + 4 = 3{a^2} + 6a + a} \\
      {}& \Leftrightarrow &{2{a^2} – 2a – 4 = 0} \\
      {}& \Leftrightarrow &{{a^2} – a – 2 = 0} \\
      {}& \Leftrightarrow &{a = \frac{{1 \pm \sqrt {{{( – 1)}^2} – 4 \times 1 \times ( – 2)} }}{2}} \\
      {}& \Leftrightarrow &{a = \frac{{1 \pm 3}}{2}} \\
      {}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{l}}
      {a =  – 1}& \vee &{a = 2}
    \end{array}}
    \end{array}$$
     
  4.  
    $$\begin{array}{*{20}{l}}
      {4,8{x^2} – 8,4x + 2,4 = 0}& \Leftrightarrow &{4{x^2} – 7x + 2 = 0} \\
      {}& \Leftrightarrow &{x = \frac{{7 \pm \sqrt {49 – 32} }}{8}} \\
      {}& \Leftrightarrow &{x = \frac{{7 \pm \sqrt {17} }}{8}} \\
      {}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{l}}
      {x = \frac{{7 – \sqrt {17} }}{8}}& \vee &{x = \frac{{7 + \sqrt {17} }}{8}}
    \end{array}}
    \end{array}$$
     
  5.  
    $$\begin{array}{*{20}{l}}
      {\frac{{a – 1}}{{\mathop 2\limits_{(3)} }} – \frac{{a\left( {3 – a} \right)}}{{\mathop 3\limits_{(2)} }} = \mathop a\limits_{(6)}  + \frac{1}{{\mathop 3\limits_{(2)} }}}& \Leftrightarrow &{3a – 3 – 2a\left( {3 – a} \right) = 6a + 2} \\
      {}& \Leftrightarrow &{3a – 3 – 6a + 2{a^2} = 6a + 2} \\
      {}& \Leftrightarrow &{2{a^2} – 9a – 5 = 0} \\
      {}& \Leftrightarrow &{a = \frac{{9 \pm \sqrt {81 + 40} }}{4}} \\
      {}& \Leftrightarrow &{a = \frac{{9 \pm 11}}{4}} \\
      {}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{l}}
      {a =  – \frac{1}{2}}& \vee &{a = 5}
    \end{array}}
    \end{array}$$
<< Enunciado
Resolve as seguintes equações 0

Resolve as seguintes equações

Equações do 2.º grau: Matematicamente Falando 9 - Pág. 61 Ex. 6

Enunciado

Resolve as seguintes equações pelo processo mais adequado:

  1. ${x^2} – 2x + 1 = 0$
     
  2. $9{x^2} + 12x + 4 = 0$
     
  3. $4{x^2} – 20x + 25 = 0$
     
  4. ${x^2} – 8x = 4$

Resolução >> Resolução

Casos notáveis:
$${\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}$$

$$\left( {A + B} \right)\left( {A – B} \right) = {A^2} – {B^2}$$

Lei do anulamento do produto:
$$\begin{array}{*{20}{c}}
  {A \times B = 0}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{c}}
  {A = 0}& \vee &{B = 0}
\end{array}}
\end{array}$$

  1.  
    $$\begin{array}{*{20}{l}}
      {{x^2} – 2x + 1 = 0}& \Leftrightarrow &{{{\left( {x – 1} \right)}^2} = 0} \\
      {}& \Leftrightarrow &{x – 1 = 0} \\
      {}& \Leftrightarrow &{x = 1}
    \end{array}$$
     
  2.  
    $$\begin{array}{*{20}{l}}
      {9{x^2} + 12x + 4 = 0}& \Leftrightarrow &{{{\left( {3x + 2} \right)}^2} = 0} \\
      {}& \Leftrightarrow &{3x + 2 = 0} \\
      {}& \Leftrightarrow &{x =  – \frac{2}{3}}
    \end{array}$$
     
  3.  
    $$\begin{array}{*{20}{l}}
      {4{x^2} – 20x + 25 = 0}& \Leftrightarrow &{{{\left( {2x – 5} \right)}^2} = 0} \\
      {}& \Leftrightarrow &{2x – 5 = 0} \\
      {}& \Leftrightarrow &{x = \frac{5}{2}}
    \end{array}$$
     
  4.  
    $$\begin{array}{*{20}{l}}
      {{x^2} – 8x = 4}& \Leftrightarrow &{{x^2} – 8x – 4 = 0} \\
      {}& \Leftrightarrow &{{{\left( {x – 4} \right)}^2} – 16 – 4 = 0} \\
      {}& \Leftrightarrow &{{{\left( {x – 4} \right)}^2} = 20} \\
      {}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{l}}
      {x – 4 =  – \sqrt {20} }& \vee &{x – 4 = \sqrt {20} }
    \end{array}} \\
      {}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{l}}
      {x = 4 – \sqrt {20} }& \vee &{x = 4 + \sqrt {20} }
    \end{array}}
    \end{array}$$
    Alternativa:
    $$\begin{array}{*{20}{l}}
      {{x^2} – 8x = 4}& \Leftrightarrow &{{x^2} – 8x – 4 = 0} \\
      {}& \Leftrightarrow &{{{\left( {x – 4} \right)}^2} – 16 – 4 = 0} \\
      {}& \Leftrightarrow &{{{\left( {x – 4} \right)}^2} – 20 = 0} \\
      {}& \Leftrightarrow &{{{\left( {x – 4} \right)}^2} – {{\left( {\sqrt {20} } \right)}^2} = 0} \\
      {}& \Leftrightarrow &{\left[ {\left( {x - 4} \right) + \sqrt {20} } \right]\left[ {\left( {x - 4} \right) - \sqrt {20} } \right] = 0} \\
      {}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{l}}
      {x – 4 + \sqrt {20}  = 0}& \vee &{x – 4 – \sqrt {20} }
    \end{array}} \\
      {}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{l}}
      {x = 4 – \sqrt {20} }& \vee &{x = 4 + \sqrt {20} }
    \end{array}}
    \end{array}$$
<< Enunciado
Resolve as seguintes equações 0

Resolve as seguintes equações

Equações do 2.º grau: Matematicamente Falando 9 - Pág. 60 Ex. 4

Enunciado

Resolve as seguintes equações:

  1. $3{x^2} – 7 = 0$
     
  2. $2\left( {{x^2} + x} \right) = x$
     
  3. $\frac{{13}}{4}{x^2} = \frac{{13}}{5}$
     
  4. $2{x^2} + 3 = 0$
     
  5. $\frac{4}{7}\left( {x – 2} \right)(x + 2) + x = \frac{{9 + 7x}}{7}$

Resolução >> Resolução

Casos notáveis:
$${\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}$$

$$\left( {A + B} \right)\left( {A – B} \right) = {A^2} – {B^2}$$

Lei do anulamento do produto:
$$\begin{array}{*{20}{c}}
  {A \times B = 0}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{c}}
  {A = 0}& \vee &{B = 0}
\end{array}}
\end{array}$$

  1.  
    $$\begin{array}{*{20}{l}}
      {3{x^2} – 7 = 0}& \Leftrightarrow &{{x^2} = \frac{7}{3}} \\
      {}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{l}}
      {x =  – \sqrt {\frac{7}{3}} }& \vee &{x = \sqrt {\frac{7}{3}} }
    \end{array}}
    \end{array}$$
     
  2.  
    $$\begin{array}{*{20}{l}}
      {2\left( {{x^2} + x} \right) = x}& \Leftrightarrow &{2{x^2} + 2x – x = 0} \\
      {}& \Leftrightarrow &{x\left( {2x + 1} \right) = 0} \\
      {}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{l}}
      {x = 0}& \vee &{2x + 1 = 0}
    \end{array}} \\
      {}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{l}}
      {x = 0}& \vee &{x =  – \frac{1}{2}}
    \end{array}}
    \end{array}$$
     
  3.  
    $$\begin{array}{*{20}{l}}
      {\frac{{13}}{4}{x^2} = \frac{{13}}{5}}& \Leftrightarrow &{\frac{{{x^2}}}{4} = \frac{1}{5}} \\
      {}& \Leftrightarrow &{{x^2} = \frac{4}{5}} \\
      {}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{l}}
      {x =  – \sqrt {\frac{4}{5}} }& \vee &{x = \sqrt {\frac{4}{5}} }
    \end{array}}
    \end{array}$$
     
  4.  
    $$\begin{array}{*{20}{l}}
      {2{x^2} + 3 = 0}& \Leftrightarrow &{\overbrace {{x^2} =  – \frac{3}{2}}^{{\text{Eq}}{\text{.
Resolve as seguintes equações 0

Resolve as seguintes equações

Equações de grau superior ao 1.º: Matematicamente Falando 8 - Parte 2 Pág. 81 Ex. 9

Enunciado

Resolve as seguintes equações:

  1. $x(x-1)=0$
     
  2. $(a-1)(a+1)=0$
     
  3. ${{x}^{2}}-2x=0$
     
  4. ${{a}^{2}}-6a+9=0$
     
  5. $4{{y}^{2}}+25=20y$
     
  6. ${{c}^{2}}-0,25=0$
     
  7. $0,04{{x}^{2}}-0,4x+1=0$
     
  8. ${{x}^{2}}=0,01$

Resolução >> Resolução

  1.  
    \[\begin{array}{*{35}{l}}
       x(x-1)=0 & \Leftrightarrow  & \begin{array}{*{35}{l}}
       x=0 & \vee  & x-1=0  \\
    \end{array}  \\
       {} & \Leftrightarrow  & \begin{array}{*{35}{l}}
       x=0 & \vee  & x=1  \\
    \end{array}  \\
    \end{array}\]
     
  2.  
    \[\begin{array}{*{35}{l}}
       (a-1)(a+1)=0 & \Leftrightarrow  & \begin{array}{*{35}{l}}
       a-1=0 & \vee  & a+1=0  \\
    \end{array}  \\
       {} & \Leftrightarrow  & \begin{array}{*{35}{l}}
       a=1 & \vee  & a=-1  \\
    \end{array}  \\
    \end{array}\]
     
  3.  
    \[\begin{array}{*{35}{l}}
       {{x}^{2}}-2x=0 & \Leftrightarrow  & x(x-2)=0  \\
       {} & \Leftrightarrow  & \begin{array}{*{35}{l}}
       x=0 & \vee  & x-2=0  \\
    \end{array}  \\
       {} & \Leftrightarrow  & \begin{array}{*{35}{l}}
       x=0 & \vee  & x=2  \\
    \end{array}  \\
    \end{array}\]
     
  4.  
    \[\begin{array}{*{35}{l}}
       {{a}^{2}}-6a+9=0 & \Leftrightarrow  & {{(a-3)}^{2}}=0  \\
       {} & \Leftrightarrow  & a-3=0  \\
       {} & \Leftrightarrow  & a=3  \\
    \end{array}\]
     
  5.  
    \[\begin{array}{*{35}{l}}
       4{{y}^{2}}+25=20y & \Leftrightarrow  & 4{{y}^{2}}-20y+25=0  \\
       {} & \Leftrightarrow  & {{(2y-5)}^{2}}=0  \\
       {} & \Leftrightarrow  & 2y-5=0  \\
       {} & \Leftrightarrow  & y=\frac{5}{2}  \\
    \end{array}\]
     
  6.  
    \[\begin{array}{*{35}{l}}
       {{c}^{2}}-0,25=0 & \Leftrightarrow  & (c+0,5)(c-0,5)=0  \\
       {} & \Leftrightarrow  & \begin{array}{*{35}{l}}
       c+0,5=0 & \vee  & c-0,5=0  \\
    \end{array}  \\
       {} & \Leftrightarrow  & \begin{array}{*{35}{l}}
       c=-0,5 & \vee  & c=0,5  \\
    \end{array}  \\
    \end{array}\]
     
  7.  
    \[\begin{array}{*{35}{l}}
       0,04{{x}^{2}}-0,4x+1=0 & \Leftrightarrow  & {{(0,2x-1)}^{2}}=0  \\
       {} & \Leftrightarrow  & 0,2x-1=0  \\
       {} & \Leftrightarrow  & x=5  \\
    \end{array}\]
     
  8.  
    \[\begin{array}{*{35}{l}}
       {{x}^{2}}=0,01 & \Leftrightarrow  & {{x}^{2}}-0,01=0  \\
       {} & \Leftrightarrow  & (x+0,1)(x-0,1)=0  \\
       {} & \Leftrightarrow  & \begin{array}{*{35}{l}}
       x+0,1=0 & \vee  & x-0,1=0  \\
    \end{array}  \\
       {} & \Leftrightarrow  & \begin{array}{*{35}{l}}
       x=-0,1 & \vee  & x=0,1  \\
    \end{array}  \\
    \end{array}\]
     
  9.  
    \[\begin{array}{*{35}{l}}
       {{y}^{3}}-4y=0 & \Leftrightarrow  & y({{y}^{2}}-4)=0  \\
       {} & \Leftrightarrow  & y(y+2)(y-2)=0  \\
       {} & \Leftrightarrow  & \begin{array}{*{35}{l}}
       y=0 & \vee  & y+2=0 & \vee  & y-2=0  \\
    \end{array}  \\
       {} & \Leftrightarrow  & \begin{array}{*{35}{l}}
       y=0 & \vee  & y=-2 & \vee  & y=2  \\
    \end{array}  \\
    \end{array}\]
     
  10.  
    \[\begin{array}{*{35}{l}}
       {{x}^{3}}+4{{x}^{2}}+4x=0 & \Leftrightarrow  & x({{x}^{2}}+4x+4)=0  \\
       {} & \Leftrightarrow  & x{{(x+2)}^{2}}=0  \\
       {} & \Leftrightarrow  & \begin{array}{*{35}{l}}
       x=0 & \vee  & x+2=0  \\
    \end{array}  \\
       {} & \Leftrightarrow  & \begin{array}{*{35}{l}}
       x=0 & \vee  & x=-2  \\
    \end{array}  \\
    \end{array}\]
<< Enunciado
Determina o conjunto-solução de cada uma das equações 0

Determina o conjunto-solução de cada uma das equações

Equações de grau superior ao 1.º: Matematicamente Falando 8 - Parte 2 Pág. 78 Ex. 23

Enunciado

Determina o conjunto-solução de cada uma das equações:

  1. ${{x}^{2}}-6x+9=0$
     
  2. ${{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+x=0$
     
  3. ${{x}^{2}}-16=0$
     
  4. $x({{x}^{2}}-25)=0$
     
  5. $8{{x}^{3}}-2x=0$
     
  6. $4{{x}^{2}}+4x+1=0$
     
  7. ${{x}^{2}}-36=0$
     
  8. ${{x}^{2}}-{{(3x+1)}^{2}}=0$
     
  9. ${{(x+1)}^{2}}-(x+1)=0$

Resolução >> Resolução

  1.  
    \[\begin{array}{*{35}{l}}
       {{x}^{2}}-6x+9=0 & \Leftrightarrow  & {{(x-3)}^{2}}=0  \\
       {} & \Leftrightarrow  & (x-3)=0  \\
       {} & \Leftrightarrow  & x=3  \\
    \end{array}\]
     
    Portanto, o conjunto-solução da equação é $S=\left\{ 3 \right\}$.
Resolve as equações, utilizando a lei do anulamento do produto 1

Resolve as equações, utilizando a lei do anulamento do produto

Equações de grau superior ao 1.º: Matematicamente Falando 8 - Parte 2 Pág. 77 Ex. 22

Enunciado

Resolve as equações, utilizando a lei do anulamento do produto:

  1. $x(x+2)=0$
     
  2. $(2x+1)(x-\frac{1}{3})=0$
     
  3. ${{x}^{2}}+3x=0$
     
  4. $3{{z}^{2}}-12z=0$
     
  5. $(x-3)(2+7x)=0$
     
  6. $x(x+1)+2(x+1)=0$
     
  7. $-x(x+4)=0$
     
  8. $(x+4)x-3(x+4)=0$
     
  9. $3(x-2)(x+2)=0$
     
  10. $16x+2{{x}^{2}}=0$
     
  11. $2{{m}^{2}}+5m=0$

Resolução >> Resolução

Lei do anulamento do produto

Um produto é nulo se e só se pelo menos um dos factores for nulo.

$\begin{matrix}
A\times B=0 & \Leftrightarrow & A=0\vee B=0 \\
\end{matrix}$

  1.  
    \[\begin{array}{*{35}{l}}
       x(x+2)=0 & \Leftrightarrow  & \begin{array}{*{35}{l}}
       x=0 & \vee  & x+2=0  \\
    \end{array}  \\
       {} & \Leftrightarrow  & \begin{array}{*{35}{l}}
       x=0 & \vee  & x=-2  \\
    \end{array}  \\
    \end{array}\]
     
  2.  
    \[\begin{array}{*{35}{l}}
       (2x+1)(x-\frac{1}{3})=0 & \Leftrightarrow  & \begin{array}{*{35}{l}}
       2x+1=0 & \vee  & x-\frac{1}{3}=0  \\
    \end{array}  \\
       {} & \Leftrightarrow  & \begin{array}{*{35}{l}}
       x=-\frac{1}{2} & \vee  & x=\frac{1}{3}  \\
    \end{array}  \\
    \end{array}\]
     
  3.  
    \[\begin{array}{*{35}{l}}
       {{x}^{2}}+3x=0 & \Leftrightarrow  & x(x+3)=0  \\
       {} & \Leftrightarrow  & \begin{array}{*{35}{l}}
       x=0 & \vee  & x+3=0  \\
    \end{array}  \\
       {} & \Leftrightarrow  & \begin{array}{*{35}{l}}
       x=0 & \vee  & x=-3  \\
    \end{array}  \\
    \end{array}\]
     
  4.  
    \[\begin{array}{*{35}{l}}
       3{{z}^{2}}-12z=0 & \Leftrightarrow  & 3z(z-4)=0  \\
       {} & \Leftrightarrow  & \begin{array}{*{35}{l}}
       3z=0 & \vee  & z-4=0  \\
    \end{array}  \\
       {} & \Leftrightarrow  & \begin{array}{*{35}{l}}
       z=0 & \vee  & z=4  \\
    \end{array}  \\
    \end{array}\]
     
  5.  
    \[\begin{array}{*{35}{l}}
       (x-3)(2+7x)=0 & \Leftrightarrow  & \begin{array}{*{35}{l}}
       x-3=0 & \vee  & 2+7x=0  \\
    \end{array}  \\
       {} & \Leftrightarrow  & \begin{array}{*{35}{l}}
       x=3 & \vee  & x=-\frac{2}{7}  \\
    \end{array}  \\
    \end{array}\]
     
  6.  
    \[\begin{array}{*{35}{l}}
       x(x+1)+2(x+1)=0 & \Leftrightarrow  & (x+1)(x+2)=0  \\
       {} & \Leftrightarrow  & \begin{array}{*{35}{l}}
       x+1=0 & \vee  & x+2=0  \\
    \end{array}  \\
       {} & \Leftrightarrow  & \begin{array}{*{35}{l}}
       x=-1 & \vee  & x=-2  \\
    \end{array}  \\
    \end{array}\]
     
  7.  
    \[\begin{array}{*{35}{l}}
       -x(x+4)=0 & \Leftrightarrow  & \begin{array}{*{35}{l}}
       -x=0 & \vee  & x+4=0  \\
    \end{array}  \\
       {} & \Leftrightarrow  & \begin{array}{*{35}{l}}
       x=0 & \vee  & x=-4  \\
    \end{array}  \\
    \end{array}\]
     
  8.  
    \[\begin{array}{*{35}{l}}
       (x+4)x-3(x+4)=0 & \Leftrightarrow  & (x+4)(x-3)=0  \\
       {} & \Leftrightarrow  & \begin{array}{*{35}{l}}
       x+4=0 & \vee  & x-3=0  \\
    \end{array}  \\
       {} & \Leftrightarrow  & \begin{array}{*{35}{l}}
       x=-4 & \vee  & x=3  \\
    \end{array}  \\
    \end{array}\]
     
  9.  
    \[\begin{array}{*{35}{l}}
       3(x-2)(x+2)=0 & \Leftrightarrow  & \begin{array}{*{35}{l}}
       x-2=0 & \vee  & x+2=0  \\
    \end{array}  \\
       {} & \Leftrightarrow  & \begin{array}{*{35}{l}}
       x=2 & \vee  & x=-2  \\
    \end{array}  \\
    \end{array}\]
     
  10.  
    \[\begin{array}{*{35}{l}}
       16x+2{{x}^{2}}=0 & \Leftrightarrow  & 2x(8+x)=0  \\
       {} & \Leftrightarrow  & \begin{array}{*{35}{l}}
       2x=0 & \vee  & 8+x=0  \\
    \end{array}  \\
       {} & \Leftrightarrow  & \begin{array}{*{35}{l}}
       x=0 & \vee  & x=-8  \\
    \end{array}  \\
    \end{array}\]
     
  11.  
    \[\begin{array}{*{35}{l}}
       2{{m}^{2}}+5m=0 & \Leftrightarrow  & m(2m+5)=0  \\
       {} & \Leftrightarrow  & \begin{array}{*{35}{l}}
       m=0 & \vee  & 2m+5=0  \\
    \end{array}  \\
       {} & \Leftrightarrow  & \begin{array}{*{35}{l}}
       m=0 & \vee  & m=-\frac{5}{2}  \\
    \end{array}  \\
    \end{array}\]
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