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Considere a função $h$ 0

Considere a função $h$

Funções racionais: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 50 Ex. 5

Enunciado

Considere a função $h$, definida por: \[h\left( x \right) = \frac{{2{x^2} + x – 1}}{{x – 3}}\]

  1. Escreva $h\left( x \right)$ na forma \[a + bx + \frac{c}{{x – 3}}\]
     
  2. A partir da decomposição obtida na alínea anterior, determine:
    \[\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } h\left( x \right)\]
    \[\mathop {\lim }\limits_{x \to  – \infty } h\left( x \right)\]
    \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} h\left( x \right)\]
     
  3. Tendo em consideração os resultados obtidos anteriormente, esboce o gráfico da função.
Considere a função $f$ 0

Considere a função $f$

Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 54 Ex. 26

Enunciado

Considere a função $$f:x \to 2x – \operatorname{sen} x$$

  1. Estude a paridade da função $f$ e exprima $f(x + 2\pi )$ em função de $f(x)$.
    Verifique que se pode estudar $f$ em $\left[ {0,\pi } \right]$ e obter toda a curva ${C_f}$, recorrendo a transformações adequadas.
     
  2. Estude a variação de $f$ em $\left[ {0,\pi } \right]$.
0

Determine

Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 46 Ex. 18

Enunciado

  1. Determine $${\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{1 – \cos x}}{{{x^2}}}}$$ multiplicando os termos da fração por $1 + \cos x$.
     
  2. Com a sua calculadora gráfica, represente a função $$x \to \frac{{1 – \cos x}}{{{x^2}}}$$ e, recorrendo a um ZOOM perto de zero, verifique o valor obtido na alínea anterior.
Calcule, se existir 0

Calcule, se existir

Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 46 Ex. 17

Enunciado

Calcule, se existir:

  1. $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\operatorname{sen} 3x}}{x}$
     
  2. $\mathop {\lim }\limits_{\theta  \to 0} \frac{\theta }{{\operatorname{sen} \frac{\theta }{2}}}$
     
  3. $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\operatorname{sen} 2x}}{{\operatorname{sen} 3x}}$
     
  4. $\mathop {\lim }\limits_{} \left[ {n\operatorname{sen} \left( {\frac{{2\pi }}{n}} \right)} \right]$

Resolução >> Resolução

$$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\operatorname{sen} x}}{x} = 1$$

  1.  
    $$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\operatorname{sen} 3x}}{x} = 3 \times \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\operatorname{sen} 3x}}{{3x}} = 3 \times \underbrace {\mathop {\lim }\limits_{y \to 0} \frac{{\operatorname{sen} y}}{y}}_1 = 3$$
     
  2.  
    $$\mathop {\lim }\limits_{\theta  \to 0} \frac{\theta }{{\operatorname{sen} \frac{\theta }{2}}} = \mathop {\lim }\limits_{\theta  \to 0} \frac{1}{{\frac{{\operatorname{sen} \frac{\theta }{2}}}{\theta }}} = \frac{1}{{\frac{1}{2} \times \mathop {\lim }\limits_{\theta  \to 0} \frac{{\operatorname{sen} \frac{\theta }{2}}}{{\frac{\theta }{2}}}}} = \frac{1}{{\frac{1}{2} \times \underbrace {\mathop {\lim }\limits_{y \to 0} \frac{{\operatorname{sen} y}}{y}}_{`1}}} = 2$$
     
  3.  
    $$\begin{array}{*{20}{l}}
      {\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\operatorname{sen} 2x}}{{\operatorname{sen} 3x}}}& = &{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\frac{2}{3} \times \frac{{\operatorname{sen} 2x}}{{2x}} \times \frac{{3x}}{{\operatorname{sen} 3x}}} \right)} \\
      {}& = &{\frac{2}{3} \times \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\operatorname{sen} 2x}}{{2x}} \times \frac{1}{{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\operatorname{sen} 3x}}{{3x}}}}} \\
      {}& = &{\frac{2}{3} \times \underbrace {\mathop {\lim }\limits_{y \to 0} \frac{{\operatorname{sen} y}}{y}}_1 \times \frac{1}{{\underbrace {\mathop {\lim }\limits_{z \to 0} \frac{{\operatorname{sen} z}}{z}}_1}}} \\
      {}& = &{\frac{2}{3}}
    \end{array}$$
     
  4.  
    $$\begin{array}{*{20}{l}}
      {\mathop {\lim }\limits_{} \left[ {n\operatorname{sen} \left( {\frac{{2\pi }}{n}} \right)} \right]}& = &{\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \left[ {n\operatorname{sen} \left( {\frac{{2\pi }}{n}} \right)} \right]} \\
      {}& = &{\mathop {\lim }\limits_{y \to {0^ + }} \left[ {\frac{1}{y}\operatorname{sen} \left( {2\pi y} \right)} \right]} \\
      {}& = &{2\pi  \times \mathop {\lim }\limits_{y \to {0^ + }} \frac{{\operatorname{sen} \left( {2\pi y} \right)}}{{2\pi y}}} \\
      {}& = &{2\pi  \times \underbrace {\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{\operatorname{sen} x}}{x}}_1} \\
      {}& = &{2\pi }
    \end{array}$$
<< Enunciado
0

Uma determinada substância é injetada na corrente sanguínea

Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 231 Ex. 99

Enunciado

Quando uma determinada substância é injetada na corrente sanguínea, a sua concentração $C$, $t$ minutos depois, é dada por $$C(t) = \frac{1}{2}\left( {{e^{ – 2t}} – {e^{ – 4t}}} \right)$$

  1. Em que instante ocorre a concentração máxima e qual o seu valor?
     
  2. O que se pode dizer sobre a concentração, após um longo período de tempo?
Numa empresa 0

Numa empresa

Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 231 Ex. 98

Enunciado

Numa empresa, o lucro originado pela produção de $n$ peças é dado, em milhares de contos, por $$L(n) = \ln \left( {100 + n} \right) + k$$ com $k$ constante real.

  1. Sabendo que, não havendo produção, não há lucro, determine $k$ e mostre que: $$L(n) = \ln \left( {1 + 0,01n} \right)$$
     
  2. Qual é o número mínimo de peças que é necessário produzir para que o lucro seja superior a 1 milhar de contos.
Calcule, se existir, o limite das funções dadas nos pontos indicados 0

Calcule, se existir, o limite das funções dadas nos pontos indicados

Teoria de limites: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 227 Ex. 87

Enunciado

Calcule, se existrir, o limite das funções dadas nos pontos indicados:

  1. $x \to f(x) = {e^{\sqrt[3]{x}}}$, em $ + \infty $ e em $ – \infty $;
     
  2. $x \to f(x) = {e^{ – {x^2}}}$, em $ + \infty $ e em $ – \infty $;
     
  3. $x \to f(x) = \frac{{{x^5}}}{{{2^x}}}$, em $ + \infty $ e em $ – \infty $;
     
  4. $x \to f(x) = {x^2}\,{e^{\frac{1}{x}}}$, em $ + \infty $ e em $ – \infty $;
     
  5. $x \to f(x) = \frac{{{e^x} – 1}}{{2x}}$, em $ + \infty $ e em $0$;
     
  6. $x \to f(x) = \frac{{{e^x}}}{{1 – {e^x}}}$, em $ – \infty $, em $0$ e em $ + \infty $;
     
  7. $x \to f(x) = \frac{{{e^x} – {e^3}}}{{x – 3}}$, em $3$;
     
  8. $x \to f(x) = \frac{{\ln x}}{x}$, em ${0^ + }$;
     
  9. $x \to f(x) = \frac{x}{{\ln x}}$, em ${0^ + }$;
     
  10. $x \to f(x) = x\ln x$, em ${0^ + }$;
     
  11. $x \to f(x) = \frac{{{x^2} – 1}}{{\ln {x^2}}}$, em $1$;
     
  12. $x \to f(x) = \frac{{{e^x}}}{{\ln x}}$, em $ + \infty $.
Seja $g$ a função real de variável real definida por $g(x) = x – 1 + {e^{ – \frac{x}{2}}}$ 0

Seja $g$ a função real de variável real definida por $g(x) = x – 1 + {e^{ – \frac{x}{2}}}$

Teoria de limites: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 210 Ex. 35

Enunciado

 Seja $g$ a função real de variável real definida por $$g(x) = x – 1 + {e^{ – \frac{x}{2}}}$$

  1. Prove, usando um processo analítico, que o gráfico da função admite uma assíntota oblíqua.
     
  2. Prove, recorrendo ao Teorema de Bolzano-Cauchy, que a função $g$ tem um zero no intervalo $\left] { – 3, – 2} \right[$.
Considere a função 0

Considere a função

Teoria de limites: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 210 Ex. 33

Enunciado

Considere a função real de variável real $h$ definida por $$h(x) \to \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
  {\frac{{x – 2}}{{x + 1}}}& \Leftarrow &{x <  – 2} \\
  {\frac{{ – 2x}}{{x + 3}}}& \Leftarrow &{x \geqslant  – 2}
\end{array}} \right.$$

  1. Faça o estudo da continuidade da função $h$.
     
  2. Prove que a função $h$ tem um zero no intervalo $\left] { – \frac{5}{2},\frac{1}{2}} \right[$.
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Considere a função

Teoria de limites: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 208 Ex. 27

Enunciado

Considere a função $$f:x \to 4{x^3} – 7x + 1$$

  1. Complete o quadro com as imagens dos valores assinalados.
     
    $x$ $-2$   $0$   $1$   $2$
    $f(x)$              
  2. Justifique a seguinte afirmação:
    “A equação $f(x) = 0$ tem três e só três raízes: uma pertencente ao intervalo ]-2, 0[, outra pertencente ao intervalo ]0, 1[ e a terceira pertencente ao intervalo ]1, 2[.”
     
  3. Determine, a menos de $0,1$, a maior das raízes.