Tag: volume

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Os carros de coleção do Pedro

Números inteiros: Matematicamente Falando 7 - Pág. 42 Ex. 9

Enunciado

O Pedro pretende guardar os seus carros de coleção dentro de uma caixa cúbica com $64000$ cm3 no armário do seu quarto.

Será isso possível, sabendo que a distância entre prateleiras consecutivas do armário é $37$ cm?
Explica a tua resposta.

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Como a caixa cúbica tem $64000$ cm3 de volume, então a aresta da caixa tem $a = \sqrt[3]{{64000}} = 40$ cm de comprimento.…

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Os cubos da Rita

Números inteiros: Matematicamente Falando 7 - Pág. 42 Ex. 8

Enunciado

Os cubos usados pela Rita

A Rita usou cubos iguais sobrepostos para obter a construção da figura

Esta construção tem $256$ cm3 de medida de volume.

  1. Determina a medida do volume de cada cubo usado pela Rita.
     
  2. Qual a medida do comprimento da aresta de cada um dos cubos usados pela Rita.
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Um reservatório cúbico

Números inteiros: Matematicamente Falando 7 - Pág. 42 Ex. 5

Enunciado

Qual a medida do comprimento da aresta de um reservatório cúbico com $1331$ m3 de volume?

 

Reservatório cúbico

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Sendo $a$ o comprimento da aresta de um cubo, o seu volume é ${V_{Cubo}} = a \times a \times a = {a^3}$.

Reciprocamente, o comprimento da aresta do cubo é $a = \sqrt[3]{{{V_{Cubo}}}}$.

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Duas esferas e um cilindro

Módulo inicial: Matemática A 10.º - Parte 1 - Pág. 37 Ex. 19

Enunciado

Duas esferas, de raios $2$ e $3$, estão encaixadas num recipiente cilíndrico de diâmetro $9$ (unidades em centímetro).

  1. Faça um desenho e explique a sua construção.
     
  2. Qual é o volume de líquido necessário para cobrir totalmente as duas esferas.
     
  3. Se o líquido cobrir exatamente a esfera maior, que se encontra no fundo, que parte da esfera menor fica fora?
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Caixa de forma cilíndrica com bolas de ténis

Módulo inicial: Matemática A 10.º - Parte 1 - Pág. 33 Ex. 11

Enunciado

Uma caixa de forma cilíndrica com bolas de ténis tem $7$ cm de diâmetro e uma altura de $20$ cm.

Se o diâmetro de cada bola de ténis for $6$ cm, qual a percentagem do volume ocupado pelas $3$ bolas?

Caixa com bolas de ténis

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Uma caixa de forma cilíndrica com bolas de ténis tem $7$ cm de diâmetro e uma altura de $20$ cm.…

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Que quantidade de água pode encher a piscina?

Módulo inicial: Matemática A 10.º - Parte 1 - Pág. 33 Ex. 10

Enunciado

Piscina

Uma psicina tem a forma de prisma que se apresenta na figura.

Que quantidade de água pode encher a piscina?

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Piscina

 

Considerando que a forma da piscina se pode obter pela decomposição de um paralelepípedo retângulo em dois prismas retos, um de base pentagonal e outro de base triangular, vem:

$$\begin{array}{*{20}{l}}
{{V_{Piscina}}}& = &{{V_{Paralelepípedo}} – {V_{\Pr isma – Triangular}}}\\
{}& = &{9 \times 4,8 \times 4,2 – \frac{{\left( {9 – 3,9} \right) \times \left( {4,2 – 1,2} \right)}}{2} \times 4,8}\\
{}& = &{181,44 – 36,72}\\
{}& = &{144,72}
\end{array}$$

A piscinha enche com ${144,72}$ m3 de água.…

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A altura do cone

Módulo inicial: Matemática A 10.º - Parte 1 - Pág. 33 Ex. 9

Enunciado

Setor circular e cone sem base

O setor circular $ARC$ tem raio $9$ cm e o ângulo mede $80^\circ $.

Quando se corta o setor circular e se junta, com fita adesiva, os segmentos $AR$ e $RC$ forma-se o cone, sem base, representado na figura.

Determine a altura do cone.…

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Um copo cilíndrico e uma esfera metálica

Módulo inicial: Matemática A 10.º - Parte 1 - Pág. 33 Ex. 7

Enunciado

Um copo cilíndrico com $10$ cm de altura e $8$ cm de diâmetro está cheio, com água, até $1$ cm do topo.

Se uma bola metálica com $4$ cm de diâmetro for introduzida no copo, a água será vertida?

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O volume da bola, em centímetros cúbicos, é:

$$\begin{array}{*{20}{l}}
{{V_B}}& = &{\frac{4}{3}\pi  \times {2^3}}\\
{}& = &{\frac{{32\pi }}{3}}
\end{array}$$

O volume disponível no copo cilíndrico, em centímetros cúbicos, é:

$$\begin{array}{*{20}{l}}
{{V_D}}& = &{\pi  \times {4^2} \times 1}\\
{}& = &{16\pi }
\end{array}$$

 

A água não verte, visto que o volume da bola é inferior ao volume disponível no copo cilindrico, pois ${V_B} < {B_D}$.…

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Determine a área total e o volume de cada um dos sólidos

Módulo inicial: Matemática A 10.º - Parte 1 - Pág. 33 Ex. 5

Enunciado

Determine a área total e o volume de cada um dos sólidos.

As medidas estão expressas em cm.

Sólidos geométricos

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Sólidos geométricos

 

5.1.

Planificada a superfície lateral do prisma triangular reto, obtém-se um retângulo com $3 + 4 + 5 = 12$ unidades de comprimento e $4$ unidades de largura (Desenhe essa planificação).…

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Relação entre os volumes de dois cubos

Módulo inicial: Matemática A 10.º - Parte 1 - Pág. 33 Ex. 2

Enunciado

Qual é a relação entre os volumes de dois cubos, sabendo que a aresta de um é o triplo da do outro?

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Cubo A B
Volume ${V_1}$ ${V_2}$
Comprimento da aresta ${a_1} = a$ ${a_2} = 3a$

 

Os cubos A e B são semelhantes (o cubo B uma ampliação do cubo A), sendo a razão de semelhança:

$$r = \frac{{{a_2}}}{{a{}_1}} = \frac{{3a}}{a} = 3$$

Quanto à razão entre os seus volumes, temos:

$$\frac{{{V_2}}}{{{V_1}}} = \frac{{{{\left( {{a_2}} \right)}^3}}}{{{{\left( {a{}_1} \right)}^3}}} = \frac{{{{\left( {3a} \right)}^3}}}{{{{\left( a \right)}^3}}} = {\left( {\frac{{3a}}{a}} \right)^3} = {3^3} = 27$$

 

 

De um modo geral [extensivo a outros sólidos e independentemente de ser uma ampliação ($r > 1$) ou redução ($0 < r < 1$)], tem-se:

Relação entre os seus volumes:

$$\frac{{{V_2}}}{{{V_1}}} = {r^3}$$

Relação entre as áreas das suas faces:

$$\frac{{{A_2}}}{{{A_1}}} = {r^2}$$

Relação entre o comprimento das suas arestas:

$$\frac{{{a_2}}}{{a{}_1}} = r$$

 

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