Acção de Formação à Distância TRENDS/PROF2000    

O lançamento de duas bolas

O Joaquim lança duas bolas simultaneamente. A altura, em metros, das bolas ao solo é dada pelas fórmulas seguintes, com t em segundos:

	Bola 1	Bola 2

Represente graficamente as funções s₁ e s₂.

Qual das duas bolas atingiu maior altura? e em que instante?

Em que instante as duas bolas se encontraram à mesma altura do solo?

Determine, a menos de uma décima, a distância máxima entre as duas bolas durante os primeiros 7 segundos, e em que instante tal aconteceu.

Adaptado de FUNÇÕES 1 - 10º ano, pág. 108, PORTO EDITORA

• Gráficos de coordenadas cartesianas;

• Gráficos de coordenadas polares;

• Gráficos paramétricos;

• Gráficos de constantes x=k;

• Gráficos de inequações;

• Gráficos de integrais (no modo RUN).

É possível ainda efectuar análise gráfica e aproximar resultados:

• Extracção das raízes;

• Determinação dos máximos e dos mínimos;

• Determinação da intersecção com o eixo Oy;

• Determinação da intersecção de dois gráficos;

• Determinação das coordenadas em qualquer ponto, dada uma das coordenadas;

• Determinação do integral para qualquer intervalo.

MAIN MENU 
GRAPH

Depois de utilizarmos o Modo GRAPH pra representar o gráfico, pressionamos

SHIFT F5 (G-Solv)

para visualizar o menu de análise gráfica:

Depois de ajustada convenientemente a janela de vizualização podemos obter a seguinte representação gráfica:

h

A bola 2 foi a bola que atingiu maior altura - 18 metros -, 4 segundos após o lançamento.

As duas bolas encontraram-se à mesma altura do solo no instante do lançamento e aproximadamente 6,7 segundos depois.

O autor apresenta como solução o máximo da função

y(t)=|s₁(t)-s₂(t)|

no intervalo [0, 7] segundos:

Esta resposta é incorrecta, pois esta função traduz o módulo da diferença de alturas das bolas ao solo, que não é igual à distância entre as bolas, como iremos constatar.

Entretanto, analisemos do ponto de vista físico a situação apresentada.

As equações fornecidas são do tipo:

h(t)=h₀+v_ot+0,5gt²

As quais permitem obter:

• Qual o fenómeno que explica a diferença entre as acelerações gravíticas?!

Esqueçamos esse "pormenor".
Assumindo que as trajectórias das bolas são complanares, considerar que a distância entre estas é dada por

y(t)=|s₁(t)-s₂(t)|

implica que as duas bolas ocupem em cada instante posições em que são iguais as coordenadas horizontais.

Ora, o único tipo de movimento razoável nestas circunstâncias é o vertical, pertencendo as trajectórias das bolas à mesma recta. Mas..., mesmo que fosse possível lançar as duas bolas do mesmo sítio ao mesmo tempo, elas chocariam no ar passados cerca de 6,7 segundos, o que originaria uma mudança no movimento.

Se considerarmos que o lançamento das bolas não é feito na vertical, mas permanecendo com trajectórias parabólicas complanares, então a partir do momento em que a bola 2 atingisse o chão (e aí terminasse o seu movimento, por suposição) a bola 1 teria que terminar o seu movimento descendo na perpendicular. Estranho, não?!

Apesar do que atrás foi referido, se admitirmos que as bolas terminam o movimento quando tocam o chão e considerarmos o período de tempo compreendido entre o lançamento das bolas até a última bola tocar o chão, confirmamos que o módulo da diferença de alturas das bolas ao chão é máximo quando a primeira bola tocar o chão:

Em metros, o máximo do módulo da diferença de alturas das bolas ao chão será

Se considerarmos apenas os primeiros 7 segundos, o máximo será apenas de 25/3 metros, decorridos 10/3 de segundo após o lançamento, que são os valores exactos correspondentes aos indicados pela calculadora.

Consideremos a incorrecção da aceleração gravítica um pormenor sem importância e tentemos dar uma resposta adequada à questão colocada.

Como nada é referido quanto ao tipo de movimento, vamos supor a situação mais simples:

As duas bolas foram lançadas simultaneamente, na vertical e afastadas de 1 metro.

Admitamos ainda que as bolas quando tocam o chão terminam o seu movimento.

Nestas circunstâncias, a distância entre as bolas é dada por:

A partir da representação gráfica podemos determinar então a distância máxima a que as bolas estiveram:

Concluímos que as bolas estiveram a uma distância máxima de aproximadamente 9,8 metros, no instante em que a bola 2 chegou ao chão.

Se considerarmos apenas os primeiros 7 segundos, esses valores serão inferiores, aproximadamente 8,4 metros decorridos cerca de 3,3 segundos após o lançamento das bolas.

Os valores exactos são:

Se considerarmos apenas os primeiros 7 segundos, os valores exactos são agora:

Este «gif» animado foi construído a partir de uma animação criada com o programa Modellus.

Pode fazer download do Modellus a partir do site da Secção de Ciências e Tecnologias da Educação e da Formação da Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade Nova de Lisboa.

O ficheiro 2_bolas.mdl contém o modelo que permitiu construir a animação apresentada (deve também carregar a imagem chao.gif).

O ficheiro 2_bolas2.mdl contém outro modelo que permite construir uma animação mais realista, pois foi considerado para aceleração gravítica -9,8 m/s².

Actualizada em
 07-06-2000