Acção de Formação à Distância TRENDS/PROF2000    

A-13 - Calculadora gráfica e o computador em interacção

António Manuel Marques do Amaral


Proposta de Trabalho N.º 1


Uma pequena floresta possui 4000 árvores.

O novo plano de reflorestamento prevê que sejam abatidas, anualmente, 20% das árvores e que 1000 novas árvores sejam plantadas.

Será que a floresta vai desaparecer?

O processo estabilizará as dimensões da floresta?

Se assim for, daqui a quantos anos e com quantas árvores?

Página 54, 11º ANO SUCESSÕES - PORTO EDITORA

 

Proposta de Resolução

 

Introdução

O problema apresentado parece simples. Contudo, há algumas questões que podem escapar à primeira vista ou inclusivamente não serem consensuais.

Consultando a indicação bibliográfica, somos alertados para uma situação em destaque: "a sucessão que representa o número anual de árvores da floresta é uma sucessão de números inteiros". Aqui, parece haver consenso.

  

Mas..., suponhamos que a pequena floresta possui inicialmente 4012 árvores. Nessa situação, quantas árvores seriam abatidas no primeiro ano, 802 ou 803? Ou nenhum destes valores?
E se inicialmente a floresta possui 4013 árvores, seriam abatidas no primeiro ano 802 ou 803 árvores?

  

4012×0,2=802,4

4013×0,2=802,6

 


Diríamos, certamente, 802 árvores no primeiro caso e 803 no segundo. Que não é mais do que a decisão habitual nestas situações.

Por outro lado, será que o plano de reflorestamento é assim tão inflexível que não permite a  existência de factores alheios que possam alterar o sistema? Na realidade talvez o não seja. Também, quanto ao modelo matemático, será que ele tem de ser assim tão rígido? Certamente não, pelo menos para a resposta às duas primeiras questões colocadas.
Contudo, as duas últimas questões são de uma tamanha rigidez, que mais não resta ao modelo que inflexibilidade para uma resposta tão exacta.

Vamos, por isso, considerar 3 situações diferentes e, portanto, considerar também três modelos distintos.

      


     
 

1.º Modelo

  
Em primeira aproximação, vamos considerar que o número anual de árvores da floresta pode assumir um número real não negativo.

Assim, se u0=4000 designar o número inicial de árvores da floresta, a expressão un=0,8×un-1+1000 representará o número de árvores decorridos n anos.

Introduzindo na calculadora gráfica CASIO CFX-9950 G os dados relativos à sucessão e os valores iniciais e finais das ordens dos termos a considerar, temos:


A seguir podemos obter o gráfico abaixo, considerando a janela de visualização ao lado.


Utilizando agora o comando WEB, constatamos a convergência da sucessão:

  


O número de árvores da floresta pode assumir um número real não negativo

Número de anos decorridos

Número anual de árvores
0 4000
1 4200
2 4360
3 4488
4 4590,4
5 4672,32
6 4737,856
7 4790,2848
8 4832,22784
9 4865,78227
10 4892,62582
11 4914,10065
12 4931,28052
13 4945,02442
14 4956,01953
15 4964,81563
16 4971,8525
17 4977,482
18 4981,9856
19 4985,58848
20 4988,47078
21 4990,77663
22 4992,6213
23 4994,09704
24 4995,27763
25 4996,22211
26 4996,97769
27 4997,58215
28 4998,06572
29 4998,45257
30 4998,76206
31 4999,00965
32 4999,20772
33 4999,36617
34 4999,49294
35 4999,59435
36 4999,67548
37 4999,74039
38 4999,79231
39 4999,83385
40 4999,86708
41 4999,89366
42 4999,91493
43 4999,93194
44 4999,94555
45 4999,95644
46 4999,96516
47 4999,97212
48 4999,9777
49 4999,98216
50 4999,98573
 



     
 

2.º Modelo

  
Vamos agora considerar que o número anual de árvores da floresta é um número inteiro obtido por truncagem.

Neste caso, o número de árvores decorridos n anos será dado pela expressão un=Int (0,8×un-1)+1000. 

Introduzindo os dados relativos a esta sucessão e os valores iniciais e finais das ordens dos termos a considerar, podemos obter:


E ainda o gráfico abaixo, considerando a janela de visualização ao lado.


Utilizando agora o comando WEB, constatamos novamente a convergência da sucessão:

  


O número anual de árvores da floresta é um número inteiro obtido por truncagem



Número de anos decorridos

Número anual de árvores
0 4000
1 4200
2 4360
3 4488
4 4590
5 4672
6 4737
7 4789
8 4831
9 4864
10 4891
11 4912
12 4929
13 4943
14 4954
15 4963
16 4970
17 4976
18 4980
19 4984
20 4987
21 4989
22 4991
23 4992
24 4993
25 4994
26 4995
27 4996
28 4996
29 4996
30 4996

 

  



     
 

3.º Modelo

  
Consideremos, por último, que o número anual de árvores da floresta é um número inteiro obtido por aproximação às unidades.

Agora, na linguagem da calculadora, podemos utilizar a seguinte expressão condicional:

un+1=1000+Int (0,8×un)+1(Frac(0,8×un)>=0.5)

Introduzindo os dados relativos a esta sucessão, assim como os valores iniciais e finais das ordens dos termos a considerar, podemos obter:


Obtendo-se o gráfico abaixo, considerando a janela de visualização ao lado.


Utilizando agora o comando WEB, constatamos mais uma vez a convergência da sucessão:


Ajustando novamente a janela de visualização podemos obter ainda:

  
O número anual de árvores da floresta é um número inteiro obtido por aproximação às unidades

Número de anos decorridos

Número anual de árvores
0 4000
1 4200
2 4360
3 4488
4 4590
5 4672
6 4738
7 4790
8 4832
9 4866
10 4893
11 4914
12 4931
13 4945
14 4956
15 4965
16 4972
17 4978
18 4982
19 4986
20 4989
21 4991
22 4993
23 4994
24 4995
25 4996
26 4997
27 4998
28 4998
29 4998
30 4998

 

  



     
 

Conclusão

  
Independentemente do modelo adoptado, conclui-se que, nas condições apresentadas, a floresta não tem tendência a desaparecer. Pelo contrário, não havendo perturbação no sistema, o plano de reflorestamento promoverá a longo prazo a estabilização das dimensões da floresta.

Concretizando, em cerca de de 3 décadas a dimensão da floresta tenderá a estabilizar à roda de 5 milhares de árvores.		  

 



     
 

E a sua resposta, qual é?

  
Passemos agora à questão polémica.
Contrariamente à opinião do autor da obra, preferindo eu o 3.º modelo, digo que ao fim de 27 anos o número de árvores da floresta tende a estabilizar em 4998 árvores.

E a sua resposta, qual é?

  

 
     

 

Actualizada em
 10-05-2000