Acção de Formação a Distância PROF2000
AF-18 - 2003

Uma das razões por que devemos aprender a resolver problemas encontramo-la na História, pois os problemas foram e são um dos principais motores da evolução científica. O problema da trissecção de um ângulo, registado na História da Matemática, é disso um exemplo excelente.
Desde o século V a. C., juntamente com outros, tais como a duplicação do cubo, a quadratura do círculo que dividir um ângulo qualquer; no contexto da geometria de Euclides onde as construções requerem o uso exclusivo da régua e compasso euclidianos, constituiu um desafio durante séculos a inúmeros matemáticos. Por causa daquele problema estudaram e construíram muita da Matemática que hoje sustenta a ciência moderna e só no século XIX se conseguiu provar que, nas condições requeridas, era um problema impossível.

... Eu recebi este email. Suponho que sou bastante inovador quando indico que algumas coisas são actualmente impossíveis:

«Li o seu artigo sobre a trissecção do ângulo. Você parece bastante inteligente, mas possivelmente demasiado pomposo para ser um matemático. Eu resolvi este problema quando tinha 13 anos. Certamente não tem que desaprovar cada nova ideia que lhe chega, provavelmente nem sequer necessita de ver a maioria delas. Mas apoiar-se numa teoria velha incompleta de 200 anos cheia de buracos e desse modo tentando abafar o pensamento inovador é exemplar do tipo de arrogância que permite que tolos se chamem a si próprios de educados. Bom dia.»

As pessoas imponentes não podem ser matemáticos? Posso certamente ser pomposo de outras maneiras, mas estava a relatar apenas o que diz a geometria de hoje. Temos uma prova de que a trissecção do ângulo (usando certas ferramentas elementares) não pode ser feita. Você não pode refutar uma prova chamado-a  de desactualizada. De facto, não pode esperar que alguém acredite em si quando diz que fez alguma coisa considerada impossível, sem qualquer prova disso.

Obrigado por me informar que pode fazer o impossível; perdoe-me por não acreditar em si. Disse-lhe, “Com certeza não resolveu este problema quando tinha 13 anos.” Parece que ele aceitou isto muito mal, e jurou nunca mais me escrever. É pena.

Abafando a inovação? Devo ter um temperamento diferente desta pessoa que me enviou este email. Pessoalmente, estou intrigado como todos sobre um problema que sei ser impossível. Como é que sabemos que é impossível? Isso deve ser difícil de provar. Por que é que esta ideia não funciona ou essa outra ideia? Eu aprendi alguma geometria trabalhando nestes problemas impossíveis.

... Eu não tencionava transformar-me num quebra trissecções. Apenas estava disposto a indicar erros óbvios. Mas alguns dos processos que me foram enviados eram complicados ou deficientemente descritos. Como é que se pode quebrar uma construção que se não percebe? Bem, este é na verdade um dos meus projectos divertidos. Quebrando alguns dos métodos mais complicados descritos acima, descobri que aprecio fazer isso. E, certamente, estou a melhorar a minha destreza em trigonometria.

Há uma piada, em que há dois tipos de pessoas, aquelas que dividem as pessoas em dois tipos, e aquelas que não. Bem, há vários tipos diferentes de pessoas que escolhem acreditar que a trissecção (usando as ferramentas antigas) é possível. O primeiro tipo é matematicamente iletrado, e parece não ter a certeza se 2+2 é sempre igual a 4.

A maioria do género humano, na sua maior parte não cientistas e não engenheiros, é identicamente iletrada matematicamente. Disse a uma dessas pessoas que a simples trigonometria mostra que a sua trissecção de 60 graus fez um dos ângulos de 19,07 graus, e ela informou-me que a trissecção era um problema de geometria, não um problema de trigonometria, uma resposta que me deixou sem fala (por um momento).

Um segundo tipo de pessoas é versado matematicamente (algébrica e geometricamente) até certo ponto, mas parece pensar que uma resposta que está próxima de certa é certa. Medem dois ângulos e pensam que têm a mesma medida, e não se dão ao aborrecimento de provar que eles têm a mesma medida.

Um terceiro tipo é também adepto da matemática, e pensa que trissectou um ângulo, mas fez algum género de erro; e então descobre que isso é presumível ser impossível. Essas pessoas reagem com indignação quando lhes é dito que realmente não trissectaram um ângulo. Em vez de tentarem encontrar os seus erros, o que seria bastante educativo, zangam-se comigo, como se a falha fosse minha.

Há ainda um quarto tipo de pessoas, que realmente trissectou um ângulo arbitrário, com as ferramentas apropriadas? Bem, aí está aparentemente uma prova de que tal pessoa não pode existir. Uma prova matemática apresenta-se com um padrão muito elevado de prova.

Trisection of an Angle, Jim Loy
http://www.jimloy.com/geometry/trisect.htm

“Impossível” é um desafio bem vindo para muitas pessoas. Os problemas [trissecção do ângulo, quadratura do círculo e duplicação do cubo] são tão fáceis de perceber, mas a prova de impossibilidade é tão avançada, que muita gente rejeita liminarmente aceitar que os problemas são impossíveis. Eu ainda não desisti de persuadir essa gente. Matemáticos passaram anos correspondendo-se com muitos deles, e muitos eram absolutamente imunes à persuasão («The trisectors», digo.). Mas se desejar uma (esperançosamente) explicação inteligível de porque os matemáticos consideram os problemas impossíveis – quanto provado ser impossível – então este site pode ajudá-lo.

Um dos maiores problemas que as pessoas têm com a trissecção do ângulo é a ideia de que algo pode ser provado ser impossível. Muitas pessoas recusam liminarmente que algo possa ser provado ser impossível. Mas isto não é uma contradição? Se nada pode ser provado ser impossível, e puder prová-lo, então provou algo impossível, e contradisse-se. De facto, mostrar que algo envolve uma contradição é um meio poderoso de mostrar que algumas coisas são impossíveis. Por isso antes de pegar o problema da trissecção, vamos gastar algum tempo a provar que algumas coisas são impossíveis, mostrando como pode ser feito.

... Muita gente que envia soluções sobre os três problemas clássicos aos departamentos de matemática não tem qualquer indício de que os problemas foram resolvidos finalmente. Muitos pensam seriamente que os matemáticos desistiram e decretaram os problemas não susceptíveis de resolução.

Os problemas de verdade não podem ser resolvidos porque requerem propriedades que os instrumentos euclideanos simplesmente não possuem.

... Os trissectores de ângulos mais letrados matematicamente estão por vezes cientes da teoria dos números, mas rejeitam-na porque pensam que um problema geométrico apenas pode ser resolvido correctamente de forma geométrica. Mas se o problema é tal que a solução requeira capacidades além das da régua não graduada e do compasso, como é que isso pode ser descoberto dentro da geometria? De qualquer forma, quem diz que os problemas geométricos apenas podem ser resolvidos correctamente de forma geométrica? A única coisa que pode justificar essa regra é alguma demonstração de que a solução geométrica de um problema e a algébrica dão resultados diferentes – e então ter-se-á de provar que a geométrica é a correcta. Mas não existem casos onde isso já tenha acontecido, por isso não há justificação para rejeitar a solução algébrica nos problemas clássicos.

Why Trisecting the Angle is Impossible
Steven Dutch, Natural and Applied Sciences, University of Wisconsin - Green Bay
 http://membres.lycos.fr/villemingerard/Histoire/Trisangl.htm

• To: obm-l@xxxxxxxxxxxxxx
• Subject: [obm-l] Trisect angle geometrically
• From: "Paulo Santa Rita" <p_ssr@xxxxxxxxxxx>
• Date: Wed, 21 May 2003 17:29:22 +0000
• Reply-To: obm-l@xxxxxxxxxxxxxx
• Sender: owner-obm-l@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

Ola Pessoal,

A mensagem abaixo pode ser do interesse de muitas pessoas. Nela o Conway 
fala da trisseccao do angulo, um dos problemas classicos da antiguidade.


>From: John Conway <conway@Math.Princeton.EDU>
>To: Craig <jcraigw@msn.com>
>CC: geometry-college@mathforum.org
>Subject: Re: Trisect angle geometrically
>Date: Wed, 21 May 2003 12:31:55 -0400 (EDT)
>
>On 20 May 2003, Craig wrote:
>
> > Can someone lead me to a procedure or proof of how to trisect an angle
> > using geometry?  Thank you.
>
>    Well, you can't trisect an arbitrarily given angle using ruler and
>compass in the ways presecribed by Euclid, but you can if you use a marked
>ruler.  Here's how.  Supposing that the ruler has two marks a distance  d
>apart, draw a circle of radius d  centered at the vertex  O  of the given
>angle  AOB.
>
>
>     I hope you can read my figure - but you'll have to imagine that
>circle as passing through A,B,C,Y.  Now place your ruler so that it
>passes through  B,  while one mark  X  is in the line  COA  and the
>other one  Y  is on the circle:-
>
>
>                         B
>                        /
>               Y       /
>                      /
>   -----X----C-------O-------A--------
>
>      Then since  XY = OY = d  the angles  OXY  and  XOY  are equal,
>to theta say,  and since  OY = OB = d  (sorry this doesn't look right!)
>the exterior angle  OYB = 2theta of this triangle =  YBO,  and so
>finally the angle  AOB, as the exterior angle of  triangle  XOB
>opposite the two angles  OXB = theta and XBO = 2theta,  must equal
>3theta.
>
>    John Conway
>

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Department of Mathematics
Weekly Calendar

Abstract by Prof. Underwood Dudley

Angle Trisectors.

A brief survey of a vast field. How to trisect angles and how not to trisect them will be demonstrated. Characteristics of straightedge-and-compass trisectors will be given, along with case studies. Be warned that there is more psychological and sociological content than mathematical.

Tuesday - October 14, 1997.
11:00 AM - 245 Altgeld Hall - GEOMETRIC POTPOURRI SEMINAR

http://www.math.uiuc.edu/Bulletin/Abstracts/October/oct10-97geompot.html

Confession of a Weekend Trisector:
I was a crank for 48 hours
Thomas Whalen, Ph.D.
18 June 1999

http://dagwood.dgrc.crc.ca/thom/trisection.htm

Mathematical Mysteries: Trisecting the Angle

http://plus.maths.org/issue7/xfile/

How to Trisect an Angle
(By only using a Compass and Straight Edge)

http://home.att.net/~abcmcfarren/math/trisect.htm

The tri-section
(Doing the impossible)

http://minotaur.marques.co.za/duke/welook44.htm

PRESUMED IMPOSSIBILITIES

http://www.vjecsner.net/presumed%20impossibilities.htm

Re: Can I trisect any and all angles by G.E. Ivey

http://mathforum.org/epigone/geometry-pre-college/twingstreutrerd/d30ut9ddi188@legacy

EUCLID CHALLENGE

http://www.euclidchallenge.org/