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No
Texto 9, relativo à 5.ª Sessão, o formador
expôs:
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Sejam, de acordo com a figura seguinte, BA e BC os lados que
determinam o ângulo ABC que pretendemos trissectar.
Pelo ponto A dum
dos lados, tiram-se uma paralela e uma perpendicular ao outro
lado. O segmento DE é inserido entre estas duas rectas de
modo a que o seu comprimento seja duplo do comprimento do segmento
AB e, ainda, de tal modo que o ponto B, vértice do ângulo a
trissectar, esteja no seu prolongamento. Então, o ângulo DBC é
a terça parte do ângulo ABC.
Temos assim a nossa construção efectuada e deixamos a cargo
do leitor a prova de que o ângulo ABC é trissectado pelo
recta BD. |
| [1] É um excelente
exercício que poderá ou não ser publicado na Zona de Trabalhos.
A prova em causa poderá, posteriormente, ser consultada no anexo
ao texto 9. |
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Os
geómetras gregos reduziram o problema da trissecção do ângulo
a um outro tipo de problema: um problema de construções por
nêusis.
Pensa-se que este tipo de construções eram já conhecidas de Hipócrates
no séc. V a.C.. Esta redução foi de extrema importância, visto
que permitiu o aparecimento de novas técnicas geométricas.
Algumas das construções apresentadas pelos geómetras gregos têm
por objectivo resolver esta nêusis, como é o caso da solução
de Nicomedes e de uma das soluções apresentadas por Papo.
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Texto
9 |
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Seja
H o ponto médio do segmento de recta [DE] e construa-se o segmento [AH].
Por construção, o
ângulo DAE é recto, logo pode ser inscrito numa semicircunferência de
diâmetro [DE] (III.31).
Como o segmento inserido
[DE] tem comprimento duplo do de [AB] (é um dado), então são iguais os
três segmentos [AB], [HD] e [HE], pois H é o ponto médio de [DE] (I.10).
Sendo os segmentos [HA], [HD] e [HE] raios da mesma circunferência, então
são iguais entre si (Def.15).
Ora, como os segmentos [AB] e [HA] são iguais ao segmento [HD], então são
iguais entre si, pois coisas iguais a uma terceira são iguais entre si (NC1).
Logo, [HA] é igual aos segmentos de recta [HD], [HE] e [AB].
Como provámos, os segmentos [AH] e [HE]
são iguais. Logo, o triângulo [AHE] é isósceles (Def.20).
Também, os segmentos [AB] e [AH] são iguais. Logo, o triângulo [ABH]
também é isósceles (Def.20).
Ora, como parece ter dito
Tales, os ângulos da base de qualquer triângulo isósceles são iguais (I.5).
Logo:
-
no triângulo [AHE], os
ângulos da base, HAE
e HEA, são iguais;
-
no triângulo [ABH], os
ângulos da base, ABH
e AHB, são iguais.
O ângulo AHB
é um ângulo externo do triângulo [AHE], logo é igual à soma dos ângulos
HAE e HEA,
os internos não adjacentes (I.32).
Mas, os ângulos ABH
e AHB são iguais, logo o
ângulo ABH é também
igual à soma dos ângulos HAE
e HEA.
Mas, a recta DE
intersecta as rectas paralelas AE e BC, logo os ângulos alternos internos
HEA e DBC
são geometricamente iguais (I.29),
pelo que os ângulos HAE, HEA
e DBC são iguais entre si.
Logo:
-
o ângulo ABH
é o dobro do ângulo DBC
-
e, consequentemente, o
ângulo DBC é a terça
parte do ângulo ABC.
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Os ângulos que
se podem inscrever em semicircunferências são os rectos.
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Os ângulos da base de qualquer triângulo isósceles são
iguais.
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Num triângulo, a lados iguais opõem-se ângulos iguais. |
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Um ângulo
externo dum triângulo é igual à soma dos ângulos internos não
adjacentes.
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A
soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a dois
rectos.
(Porquê?) |
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